简明材料力学总复习

1、第第 1 章章 绪绪 论论 一一 材料力学的任务材料力学的任务 构件应有足够的承受荷载的能力。因此它应满足下述要求：构件应有足够的承受荷载的能力。因此它应满足下述要求： (1) 在规定荷载作用下构件不能发生破坏。即应具有足够的强度。在规定荷载作用下构件不能发生破坏。即应具有足够的强度。 强度：构件抵抗破坏的能力强度：构件抵抗破坏的能力 (2) 在规定荷载作用下，某些构件除满足强度要求外，所产生的变在规定荷载作用下，某些构件除满足强度要求外，所产生的变 形应不超过工程上允许的范围，即要求有足够的刚度。形应不超过工程上允许的范围，即要求有足够的刚度。 刚度：构件抵抗变形的能力刚度：构件抵抗变形的能

2、力 (3) 有些受压力作用的细长杆件，应始终保持原有的直线平衡形有些受压力作用的细长杆件，应始终保持原有的直线平衡形 态，保证不被压弯。即要满足稳定性的要求。态，保证不被压弯。即要满足稳定性的要求。 稳定性：构件维持其原有平衡形式的能力稳定性：构件维持其原有平衡形式的能力 二二 变形固体的基本假设变形固体的基本假设 （1） 连续性假设连续性假设 认为固体在其整个体积内充满了物质而毫无空隙认为固体在其整个体积内充满了物质而毫无空隙. （2） 均匀性假设均匀性假设 认为固体内各点处的力学性质是完全相同的认为固体内各点处的力学性质是完全相同的 认为固体沿各个方向，固体的力学性能都是相同的。认为固体沿

3、各个方向，固体的力学性能都是相同的。 （3） 各向同性假设各向同性假设 第第2章章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切 一一 轴向拉压横截面上的内力轴向拉压横截面上的内力（轴力）（轴力） 截面法是求内力的一般方法截面法是求内力的一般方法 1, 轴力符号的规定：轴力符号的规定： 把拉伸时的轴力把拉伸时的轴力 ( 轴力背离截面轴力背离截面)，规定为正，称为拉力。，规定为正，称为拉力。 把压缩时的轴力把压缩时的轴力 ( 轴力指向截面轴力指向截面)，规定为负，称为压力。，规定为负，称为压力。 2, 画轴力图画轴力图 二，直杆横截面上的应力二，直杆横截面上的应力 杆受轴向拉伸（压缩）时，横截面上只有杆受轴

4、向拉伸（压缩）时，横截面上只有正应力正应力 , 且处处相等且处处相等。 A FN 式中：式中：FN 为横截面上的轴力为横截面上的轴力, A 为杆横截面的面积。为杆横截面的面积。 的符号与的符号与轴轴 力力 FN的符号相同的符号相同。 当轴力为正号时（拉伸）当轴力为正号时（拉伸）, 正应力也正应力也为正号，称为拉为正号，称为拉应力，应力， 当轴力为负号时（压缩）当轴力为负号时（压缩）, 正应力也正应力也为负号，称为压为负号，称为压应力，应力， FN F o 三三 材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能 低碳钢拉伸时的应力应变图低碳钢拉伸时的应力应变图 直线部分直线部分 Oa 的最高点的最高

5、点 a 所对应的应力所对应的应力 p 称为比例极限。称为比例极限。 p a o p a 弹性阶段的最高点弹性阶段的最高点 b 所对应的应力所对应的应力 e 称为弹性极限。称为弹性极限。 b e 曲服阶段内最低点曲服阶段内最低点 C 所对应的应力所对应的应力 s 称为屈服极限称为屈服极限。 C s 强化阶段中的最高点强化阶段中的最高点 e 所对应的应力所对应的应力 b 称为强度极限。称为强度极限。 e b 四四 强度计算强度计算 应力可能达到的极限值称为材料应力可能达到的极限值称为材料极限应力极限应力 u 。 脆性材料以拉断的方式失效时，以脆性材料以拉断的方式失效时，以强度极限强度极限 b 为极

6、限应力为极限应力 塑性材料以出现变形的方式失效时，以塑性材料以出现变形的方式失效时，以屈服极限屈服极限 s 为极限应力为极限应力 杆件能安全工作的应力最大值杆件能安全工作的应力最大值应该低于应该低于极限应力，称为极限应力，称为许用应力许用应力 。 ns 或或 nb 是大于是大于 1 的因数，称作的因数，称作安全因数安全因数。 S Sn b bn NF A 构件轴向拉伸或压缩时的强度条件：杆内的最大工作应力不超过构件轴向拉伸或压缩时的强度条件：杆内的最大工作应力不超过 材料的许用应力。材料的许用应力。 五五 杆件轴向拉伸或压缩的变形杆件轴向拉伸或压缩的变形 1, 杆件的轴线方向的变形杆件的轴线方

7、向的变形 l l l 1 轴线方向的线应变为轴线方向的线应变为 l l 伸长时轴线方向线应变为正，缩短时轴线方向线应变为负。伸长时轴线方向线应变为正，缩短时轴线方向线应变为负。 2 杆件横向变形杆件横向变形 1 bb b 杆件的横向线应变为杆件的横向线应变为 b b 伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正。 3 泊松比泊松比 横向线应变与横向线应变与轴轴向线应变之间的关系向线应变之间的关系 称为称为泊松比或横向变形因数泊松比或横向变形因数 4 胡克定律胡克定律 EA l F l N 式中式中 E 称为称为 拉拉, 压压 弹性模量弹性模量 ，EA 称

8、为称为 抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度 。 上式称上式称 虎克定律虎克定律 E 在线弹性范围，正应力与线应变成正比在线弹性范围，正应力与线应变成正比 。 六六 解超静定问题步骤解超静定问题步骤 (3) 将力与变形的关系（将力与变形的关系（虎克定律虎克定律-物理方程物理方程）代入几何方程）代入几何方程 得得补充方程补充方程 (4) 联立静力平衡方程与补充方程，解出未知力联立静力平衡方程与补充方程，解出未知力 (2) 画画变形图变形图将各（段）杆之间变形的几何关系代入相容条件将各（段）杆之间变形的几何关系代入相容条件 得得几何方程几何方程 (1) 画画受力图受力图列列 静力平衡方程静力平衡方程 七七

9、 剪切与挤剪切与挤 压压 1 剪切的强度条件剪切的强度条件 A FS 2 挤压的强度条件挤压的强度条件 b bSbs bS F A 式中，式中， FS 为剪切面上的剪力为剪切面上的剪力 , A 为剪切面的面积。为剪切面的面积。 式中，式中， Fb 为接触面上的挤压力为接触面上的挤压力, AbS 为为计算挤压面的面积计算挤压面的面积 b bSbs bS F A (1) 当挤压面为半圆柱面时，挤压面面积当挤压面为半圆柱面时，挤压面面积 AbS为实际接触面在直径为实际接触面在直径 平面上的投影面积平面上的投影面积 d 实际接触面实际接触面 直径投影面直径投影面 d AbS (2) 当挤压面为平面时，

10、挤压面面积当挤压面为平面时，挤压面面积 AbS 为实际接触面面积为实际接触面面积 一一 画轴力图，指出杆内最大轴力画轴力图，指出杆内最大轴力 FNmax , 最小轴力最小轴力FNmin 45kN55kN 25kN 20kN FNmax= 50kN FNmin= 5kN D A B C E 20kN 5kN 50kN 5kN (-) (+) (+) (+) 20kN 20kN 35kN AB C D 二二 画轴力图，指出杆内画轴力图，指出杆内 AB 段，段，CD段的轴力及段的轴力及BC 段沿轴线方向段沿轴线方向 的变形。的变形。 FNAB= -35kN FNCD= -20kN lBC = 0 2

11、0kN 35kN (-) (-) 三三 拉杆长拉杆长 l , ,横截面是边长为横截面是边长为 a 的正方形，在线弹性范围内工的正方形，在线弹性范围内工 作作，泊松比是，泊松比是 ,其伸长量是其伸长量是 l , 计算其横向变形计算其横向变形 a . l l a a l l aa 四：四：图示平行杆系图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁悬吊着横梁 AB ( ( AB 的变形略去的变形略去 不计不计) )，在横梁上作用着荷载，在横梁上作用着荷载 G。如杆。如杆 1、2、3 的截面积、长度、的截面积、长度、 弹性模量均相同，分别弹性模量均相同，分别 为为 A ，l ，E 。试求。试求 1、 2、3 三杆

12、的轴力三杆的轴力 平衡方程，几何方程，物理方程及补充方程。平衡方程，几何方程，物理方程及补充方程。 A B C G 1 1 2 23 3 aa l A B C G 1 1 2 23 3 aa l B A C G FN1 FN2 FN3 解：解：(1) (1) 平衡方程平衡方程 123 0 0,yNNN G FFFF 02, 0 21 a F a FMNNB A B C G 1 1 2 23 3 aa l B A C G FN1 FN2 FN3 (2) (2) 变形几何方程变形几何方程 B A C l 3 l 2 l 1 1322lll A B C G 1 1 2 23 3 aa l B A C

13、 l 3 l 2 l 1 1322lll 1 1 N l F l EA 2 2 N l F l EA 3 3 N l F l EA (3) 物理方程物理方程 （4 4）补充方程）补充方程 1322NNNFFF 五五 水平刚性梁水平刚性梁 AB，A 端与墙铰接，在端与墙铰接，在 B 点和点和 C 点由点由 1 , 2两根钢两根钢 杆支承。杆的横截面积记作杆支承。杆的横截面积记作 A2 和和 A1，长度记作，长度记作 l2和和 l1，材料的弹，材料的弹 性模量记作性模量记作 E2 和和 E1。试写出求两杆轴力的平衡方程，几何方程，。试写出求两杆轴力的平衡方程，几何方程， 物理方程，补充方程物理方程

14、，补充方程 。 F 2 1 1m 1m 1m D BA C F 2 1 1m 1m 1m D BA C 12 0,230 ANN F MFF 21 2ll N1 1N2 2 12 12 12 , F lF l ll AA EE 1212 1122 2 NNllFF E AE A (1) 作受力图平衡方程作受力图平衡方程 （4）补充方程）补充方程 (2) 画变形图列几何方程画变形图列几何方程 A F DC FN1 FN2 FAy FAx B l1 l2 （3）物理方程）物理方程 D d t F 六六 销钉盖的剪切面面积销钉盖的剪切面面积 A 和挤压面面积和挤压面面积 AbS D d t F 剪切

15、面剪切面 t d dt A D d t F 挤压面挤压面 挤压面挤压面 )( 4 22 dDAbS 七七：两矩形截面的木拉杆结头如图所示。写出结头处剪切面面积：两矩形截面的木拉杆结头如图所示。写出结头处剪切面面积 A 和挤压面面积和挤压面面积 AbS b ll a F F 挤压面面积：挤压面面积： AbS = ab 剪切面面积：剪切面面积： A=bl 第第 3 章章 扭扭 转转 一一 圆轴扭转时横截面上的内力（扭矩）圆轴扭转时横截面上的内力（扭矩） 从动轮从动轮 主动轮主动轮 从动轮从动轮 n Me2 Me1 Me3 1，传动轴的外力偶矩，传动轴的外力偶矩 . min 9549 kN N m

16、r P Me n 2 横截面上的内力横截面上的内力( 扭矩扭矩 ) 和扭矩图和扭矩图 n n Me MeMe x T 横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上 扭矩扭矩 扭矩符号的规定扭矩符号的规定(右手螺旋法则右手螺旋法则 )：使卷曲右手的四指转向与扭矩转：使卷曲右手的四指转向与扭矩转 向相同向相同, 若大拇指的指向离开横截面则该扭矩为正若大拇指的指向离开横截面则该扭矩为正; 反之为负。反之为负。 o T I T p 1, 圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式 二二 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力

17、o T 横截面周边各点处切应力将达到最大值，圆心处的切应力为零横截面周边各点处切应力将达到最大值，圆心处的切应力为零 说明：说明： max I T p o T max I T p R p t I W R max t T W Wt 称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或或 m3。 2 极惯性矩及抗扭截面模量极惯性矩及抗扭截面模量 D o 实心圆截面实心圆截面 32 4 D IP 3 16 t D W 空心圆截面空心圆截面 4 4 (1) 32 P D I 3 4 (1) 16 t D W D d D d 3 强度条件强度条件 max max t T W max t T W

18、对于等直杆对于等直杆 1 圆轴扭转时的变形是用两端面的相对扭转角圆轴扭转时的变形是用两端面的相对扭转角 来度量的来度量的 三三 扭转时的变形扭转时的变形 () P Tl rad GI GIP 称作抗扭刚度称作抗扭刚度 如果各段内的如果各段内的 T 不相同，或者各段内的不相同，或者各段内的 IP 不相同。应该分段计算不相同。应该分段计算 的各段的扭转角然后代数相加。的各段的扭转角然后代数相加。 1 n i i iPi lT GI 分段计算时，注意扭矩分段计算时，注意扭矩 T 的正负号。的正负号。 () P Td rad m dxGI 2 单位长度扭转角单位长度扭转角 3 刚度条件刚度条件 max

19、 max () P T rad m GI 0 max max 180 () P T m GI 一，一，直径为直径为 D 的受扭圆轴的受扭圆轴 , 最大切应力为最大切应力为 1 , 单位长度扭转角为单位长度扭转角为 1 , 若轴的直径改为若轴的直径改为 D/2, 计算最大切应力计算最大切应力 2 和单位长度扭转角和单位长度扭转角 2 。 21 3 3 2 8 8 () 16 16 2 P TTT DW D 1 3 1 16 P TT W D 1 4 1 32 P TT GI G D 214 2 16 () 32 2 P TT DGI G 二二 材料相同的两根轴，一根为实心，直径为材料相同的两根轴

20、，一根为实心，直径为D1 1, ,另一根为空心，内另一根为空心，内 径为径为d2 , 外径为外径为D2 , 且且 d2/D2 = , 若两根轴的扭矩，最大切应力均相若两根轴的扭矩，最大切应力均相 同，计算同，计算 D1/D2。 2max1max 33 12 4 (1) 1616 TT DD 334 12(1 )DD 14 3 2 1 D D 三三. 一空心轴一空心轴，其其轴内最大切应力为轴内最大切应力为 max , d /D = , 计算该横截面计算该横截面 内圆周上的切应力。内圆周上的切应力。 D d max 1 1 max 2 2 d d D D 1max 四四 直径为直径为 d = 40

21、mm 的一等截面实心圆轴的一等截面实心圆轴 , 若其传递的功率若其传递的功率 P=15kW，轴的转速，轴的转速 n = 900 rmin，杆长，杆长 l = 1m,材料的切变模量材料的切变模量 G = 80 GPa 。试求。试求: (1) 横截面上的最大切应力；横截面上的最大切应力；(2) 轴两端截面相轴两端截面相 对扭转角对扭转角 。 15 95499549159.2N.m 900 e P M n e TM 33 53 0.04 1.257 10 m 1616 t d W max 5 159.2 12.7MPa 1.257 10 t T W 44 74 P 0.04 2.513 10 m 3

22、232 d I 3 97 P 159.2 1 7.92 10 (rad)=0.45 80 102.513 10 Tl GI 五五：一传动轴如图所示，其转速：一传动轴如图所示，其转速 n = 300/min , 主动轮主动轮 A 输入的输入的 功率为功率为 P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率若不计轴承摩擦所耗的功率, 三个从动轮三个从动轮 B, C, D 输出的功率分别为输出的功率分别为 P2 = P3 = 150 kW, P4 = 200 kW。该轴是用。该轴是用 45 号钢制成的空心圆截面杆，其内外径之比号钢制成的空心圆截面杆，其内外径之比 = ,材料的许用切材料的许用切 应

23、力应力 = 40 MPa ，切变模量，切变模量 G = 8 104 MPa, 单位长度的许用扭单位长度的许用扭 转角转角 = 0.3(0)/m, 试试 : (1) 做轴的扭矩图做轴的扭矩图, (2) 按强度条件和刚度条按强度条件和刚度条 件选择轴的直径。件选择轴的直径。 A BC D n P1 P2P3 P4 解：计算轴上的外力偶矩解：计算轴上的外力偶矩 1 1 954915.9. P kN m M n kN.m. MM 784 32 mkN M . ABC D M2 M3 M1 M4 一，画扭矩图一，画扭矩图 mkN M .9 .15 1 kN.m. MM 784 32 mkN M . 4.

24、78 9.56 6.37 (+) (-) mkN T . max mkN T . max 二，分别按强度条件和刚度条件选择轴的直径二，分别按强度条件和刚度条件选择轴的直径 maxmax max 3 4 (1) 16 t TT DW mmD109 maxmax max4 4 180180 (1) 32 P TT DGI G mmD126 空心圆外径应取空心圆外径应取 D = 126 mm。 内径内径 d = 1/2 = 63 mm。 第第 章章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 一，静矩与形心一，静矩与形心 z Ay S y Az S o y z C z y 若截面对某一轴的静矩等于零，则该

25、轴必过截面形心。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过截面形心。 静矩等于截面面积与其形心坐标的乘积。静矩等于截面面积与其形心坐标的乘积。 二，二， 惯性矩惯性矩 z y o dA z z 2 z A dAy I 2 y A dA Iz b h y z C 3 12 y bh I 3 12 z hb I 4 64 zy D II z D o y 三三 平行移轴公式平行移轴公式 zC yC C C 截面形心截面形心 yc ，zc 通过形心通过形心 C 的坐标轴（的坐标轴（形心轴形心轴） zC yC C o z y y 轴平行于轴平行于 yC ，z 轴平行于轴平行于 zC 。 a b 形心形心 C

26、 在坐标系在坐标系 yoz 下的坐标分别为下的坐标分别为 a，b zC yC C o z y a b 已知截面对形心轴已知截面对形心轴 yC ，zC 的惯性矩的惯性矩 求截面对与形心轴平行的求截面对与形心轴平行的 y ，z 轴惯性矩轴惯性矩 zC yC C o z y a b 则平行移轴公式为则平行移轴公式为 2 zzC A bII 2 yyC A aII 一：一：计算矩形截面对计算矩形截面对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩 h b y 2 33 ( ) 1232 z bhbhb bh I 2 yyc A aII yC 二：二：计算矩形截面对计算矩形截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩 h b a z

27、2 3 () 122 z bhb bh a I 2 zZc A aII zC 第第5章章 弯弯 曲曲 内内 力力 纵向对称面纵向对称面 ：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为 纵向对称面。纵向对称面。 一，对称弯曲一，对称弯曲 对称弯曲对称弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形 后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线。后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线。 二，二， 梁横截面上的内力梁横截面上的内力-剪力（剪力（ FS）和弯矩）和弯矩 （ M ） M F2 AB F3F1

28、FRA FRB x m m a FS x m A m C FRA F1a 梁在弯曲变形时，横截面上的内力有两个，即，梁在弯曲变形时，横截面上的内力有两个，即，剪力剪力 FS 和和弯矩弯矩 M （1）剪力）剪力 FS 的符号的符号 二，二， FS 和和 M 的正负号的规定的正负号的规定 FS (+) 当截面上的剪力使所考虑的脱离体有顺时针转动趋势时为正。当截面上的剪力使所考虑的脱离体有顺时针转动趋势时为正。 FS (+) FS (-) 当截面上的剪力使所考虑的脱离体有逆时针转动趋势时为负。当截面上的剪力使所考虑的脱离体有逆时针转动趋势时为负。 FS (-) 横截面上的弯矩使考虑的脱离体横截面上的

29、弯矩使考虑的脱离体下凸下凸（下边受拉，上边受压）下边受拉，上边受压）时时 为正为正 。 （2）弯矩符号）弯矩符号 （受拉）（受拉） M (+) M (+) （受压）（受压） （受拉）（受拉） （受压）（受压） （受拉）（受拉） M (-) M (-) （受压）（受压） （受拉）（受拉） （受压）（受压） 横截面上的弯矩使考虑的脱离体横截面上的弯矩使考虑的脱离体上凸（上边受拉，下边受压）上凸（上边受拉，下边受压）时时 为负。为负。 （1）横截面上的）横截面上的剪力剪力在数值上在数值上等于等于此横截面的左侧或右侧梁段上此横截面的左侧或右侧梁段上 所有竖向外力（包括斜向外力的竖向分力）的代数和所有竖

30、向外力（包括斜向外力的竖向分力）的代数和 。 向上的外力引起正值的剪力向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力向下的外力引起负值的剪力 向下的外力引起正值的剪力向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力向上的外力引起负值的剪力 三，三， 求剪力和弯矩的简便方法求剪力和弯矩的简便方法 左侧梁段：左侧梁段： 右侧梁段：右侧梁段： （2）横截面上的）横截面上的弯矩弯矩在数值上在数值上等于等于此横截面的左侧或右侧梁段上此横截面的左侧或右侧梁段上 的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。 不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正

31、值的弯矩不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩, 而向下而向下 的外力则引起负值的弯矩。的外力则引起负值的弯矩。 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩 左侧梁段：左侧梁段： 右侧梁段：右侧梁段： 无外力段无外力段 向下倾斜的直线向下倾斜的直线 ( ) ) 上凸的二次抛物线上凸的二次抛物线 一段梁上的外力情况一段梁上的外力情况 剪剪 力力 图图 弯弯 矩矩 图图

32、 极值处极值处 FS= 0 水平直线水平直线 斜直线斜直线 q =常数常数0 当当 F(x) = 0 时时, 为水平直线为水平直线 四，简易法画内力图四，简易法画内力图 梁上的外力情况梁上的外力情况剪剪 力力 图图弯弯 矩矩 图图 集中力集中力 F 集中力偶集中力偶 M 在在 F 的作用处发生突的作用处发生突 变，突变值等于变，突变值等于F 。 在在 F 的作用处发生转折，的作用处发生转折， 形成尖角。形成尖角。 M 作用处无变化作用处无变化 M 作用处发生突变，作用处发生突变， 突变值等于突变值等于 M 。 一：一：绘制梁的剪力图和弯矩图。绘制梁的剪力图和弯矩图。 a A BC q a 解：

33、计算支座反力解：计算支座反力 FB FA 0,20 2 AB a aq a MF 4 B qa F 0,0 yBA qa FFF 3 4 A qa F 该梁分该梁分 AC，CB 两段画图两段画图 a A BC q a FB FA 剪力图剪力图 AC段：斜直线段：斜直线 3 4 SAA qa FF 右 3qa/4 1 4 SCA qaqa FF qa/4 CB段：水平直线段：水平直线 1 4 SB qa FF x 设剪力等于零的截面到设剪力等于零的截面到 A的距离为的距离为x，则则 ( )0 SA xqx FF 3 4 a x （+） （-） a A BC q a FB FA 3qa/4 qa/

34、4 CB段：斜直线段：斜直线 x （+） （-） 弯矩图弯矩图 AC段：上凸的二次抛物线段：上凸的二次抛物线 0 AM 2 1 24 CA a aqaqa MF 2 max 9 232 A x xqxqa MF qa2/4 9qa2/32 0 BM 3a/4 （+） 第第 6 章章 弯弯 曲曲 应应 力力 一，横力弯曲时横截面上的正应力一，横力弯曲时横截面上的正应力 I yxM x z )( )( M(x) 横截面上的弯矩。横截面上的弯矩。 y 求应力点的求应力点的 y 坐标坐标 。 Iz 横截面对中性轴横截面对中性轴 ( z 轴轴) 的惯性矩。的惯性矩。 中性轴过截面形心与对称轴垂直中性轴过

35、截面形心与对称轴垂直 1, 应用公式时，一般将应用公式时，一般将 M ，y 以绝对值代入。根据梁变形的实以绝对值代入。根据梁变形的实 际情况直接判断际情况直接判断 的正，负号。的正，负号。 当截面上的当截面上的弯矩为正时弯矩为正时，梁下边受拉，上边受压，所以，梁下边受拉，上边受压，所以中性轴中性轴 以下为拉应力以下为拉应力 ( 为正）为正），中性轴以上为压应力中性轴以上为压应力 ( 为负）为负）。 当截面上的当截面上的弯矩为负时弯矩为负时，梁上边受拉，下边受压，所以，梁上边受拉，下边受压，所以中性轴中性轴 以上为拉应力以上为拉应力 ( 为正）为正）， 中性轴以下为压应力中性轴以下为压应力 (

36、为负）为负）。 I yxM x z )( )( I yxM x z )( )( 2, 梁上最大的正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远的边缘上梁上最大的正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远的边缘上 W M z max max (1) 当中性轴是对称轴时当中性轴是对称轴时 (2) 当中性轴不是对称轴时当中性轴不是对称轴时 I yxM z c c )( max max I yxM z t t )( max max 3， 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 梁的横截面上最大工作正应力梁的横截面上最大工作正应力 max 不得超过材料的许用弯曲正应不得超过材料的许用弯曲正应 力力 即即 max (1)

37、对于中性轴为对称轴的截面对于中性轴为对称轴的截面 正应力强度条件为正应力强度条件为 max max z M W (2) 对于中性轴不是对称轴的截面对于中性轴不是对称轴的截面 tc 比如铸铁等比如铸铁等 脆性材料脆性材料 制成的梁，由于材料的制成的梁，由于材料的 因为梁横截面的中性轴不是对称轴，所以梁的因为梁横截面的中性轴不是对称轴，所以梁的 maxmaxtc （两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上） 正应力强度条件为正应力强度条件为 max max ( ) t tt z M x y I max max ( ) c cC z M x y I z h b y 二，矩形截

38、面梁弯曲切应力二，矩形截面梁弯曲切应力 FS y b I S F z Sz * z h b y FS y b I S F z Sz * Iz 横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩 b 矩型截面的宽度矩型截面的宽度 FS 横截面上的剪力横截面上的剪力 Sz* 该线任一边的横截面面积该线任一边的横截面面积 A* 对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。 z h b FS y A* b I S F z Sz * z h b FS y A* b I S F z Sz * y ) 4 ( 2 2 2 y h I F Z S ) 4 ( 62 2 3 y h bh F S y 可见可见 ，切应力沿，切应力

39、沿 截面高度按抛物线规律变化。截面高度按抛物线规律变化。 2 )1( h y 即在即在横截面上距中性轴最远处横截面上距中性轴最远处，切应力等于零，切应力等于零 ( = 0 ) (2) y = 0 即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处 ，切应力达到最大值，切应力达到最大值 max 3 2 SF A )(y h I F Z S ) 4 ( 62 2 3 y h bh F S 式中式中 ， A = bh , 为矩形截面的面积为矩形截面的面积 。 max 矩形截面剪应力沿截面高度的变化如图所示。矩形截面剪应力沿截面高度的变化如图所示。 A FS max 一一：一矩形截面木梁，梁上作用有均布荷载，已知：

40、一矩形截面木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l = 4 m ， b =140 mm ， h = 210 mm ， q = 2kN/m ，木梁的许用应力，木梁的许用应力 = 10 MPa 。校核梁该的强度。校核梁该的强度。 解：梁的最大弯矩发生在中间截面解：梁的最大弯矩发生在中间截面 mkN ql M . max m bh Wz 31 2 10103. 0 6 88. 3 max max MPa W M z b h z l q B A 二二：矩形截面简支梁上一作用有两个集中力：矩形截面简支梁上一作用有两个集中力, 已知已知 b = 70 mm , h = 140 mm, 梁的许用应力梁的许用应力

41、= 170 MPa 。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 2m AB C 21kN 12kN D 2m2m 解解: 求支座反力求支座反力 kN F kN FBA , h b (单位单位:mm) FB FA 0,6 12 221 40 ABMF 0,12210 yBAFFF h b (单位单位:mm) 2m AB C 21kN 12kN D 2m2m FB FA 画弯矩图画弯矩图 + 36kN.m 30kN.m mkN M . max kN F kN FBA , h b (单位单位:mm) 2m AB C 21kN 12kN D 2m2m FB FA maxmax max MPa bh M W M

42、 z mkN M . max 三三：矩形截面简支梁上一作用有两个集中力，已知：矩形截面简支梁上一作用有两个集中力，已知 梁的许用应梁的许用应 力力 = 160 MPa , 截面尺寸截面尺寸 h:b=2:1 。试计算。试计算 h 与与 b 的值的值 2m A B C 21kN12kN D 2m2m FB FA 解解: 求支座反力求支座反力 15,18 AB kNkN FF h b (单位单位:mm) 画弯矩图画弯矩图 max 36.kN m M 2m A B C 21kN12kN D 2m2m FB FA 15,18 AB kNkN FF + 36kN.m 30kN.m h b (单位单位:mm

43、) 6 1 2 maxmax max bh M W M z bh2 mmhmmb2 .139,6 .69 max 36.kN m M 2m A B C 21kN12kN D 2m2m FB FA maxmax max 2 1 (2 ) 6 z MM W bb 80 35 65 20 20 80 z 四四：T 形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。求横截面最大形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。求横截面最大 拉应力拉应力 t,max , 和最大压应力和最大压应力 C,max ,已知已知 Iz = 290. 6 10-8 m4 . F1=8kNF2=3kN A C B D 1m1m1m 解：支座

44、反力为解：支座反力为 kN. FA 画出弯矩图画出弯矩图 FA (-) (+) B 3 0112, 0 12 FFFMAB C 2.5 0 MA mkN FMAC .5 . 21 mkN FMB .31 2 0 MD 三段弯矩图均为斜直线三段弯矩图均为斜直线 梁分梁分AC , CB , BD 三段画弯矩图三段画弯矩图 F1=8kNF2=3kN A C B D 1m1m1m FA 80 35 65 20 20 80 z 最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面 C 上上 m.kN. MC 最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面 B上上 m.kN MB F1=8kNF2=3kN A C B D 1m1m1m (

45、-) (+) B 3 C 2.5 FA 80 35 65 20 20 80 z B 截面截面 MPa I M z B t 1 .36 035. 0 max max 0.065 67.1 B c z M MPa I t,max C,max 67.1 36.1 F1=8kNF2=3kN A C B D 1m1m1m (-) (+) B 3 C 2.5 80 35 65 20 20 80 z C 截面截面 MPa I M z C t 0 .56 065. 0 max max 0.035 30.2 C C z M MPa I t,max C,max 56.0 30.2 FA F1=8kNF2=3kN

46、A C B D 1m1m1m (-) (+) B 3 C 2.5 67.1 36.1 FA 80 35 65 20 20 80 z t,max = 56.0MPa 发生在发生在 C 截面的下边缘截面的下边缘 C,max = 67.1MPa 发生在发生在 B 截面的下边缘截面的下边缘 56.0 30.2 67.1 36.1 F1=8kNF2=3kN A C B D 1m1m1m 五，五， 一矩形截面简支梁。已知一矩形截面简支梁。已知 l = 3m，h = 160mm，b = 100mm, h1 = 40mm，F = 3kN，求，求 m m 上上 K 点的切应力和该截面最大的点的切应力和该截面最大

47、的 切应力。切应力。 b h z K h1 AB FF l/3l/3l/3 l/6 m b h z K h1 解：因为两端的支座反力均为解：因为两端的支座反力均为 F = 3kN 所以所以 mm 截面的剪力为截面的剪力为 FS = -3kN AB FF l/3 FB FA l/3l/3 l/6 m )(y h bh F S b h z K h1 AB FF l/3 FB FA l/3l/3 l/6 m )(y h bh F S 2 2 1 3 6 ()0.21 4 SFh MPa h bh max 3 0.28 2 SF MPa A 第第7章章 弯弯 曲曲 变变 形形 w挠度挠度 一，一， 度

48、量梁变形后横截面位移的两个基本量度量梁变形后横截面位移的两个基本量 C B x y A C （1）挠度挠度（w）: 横截面形心横截面形心 C ( 即轴线上的点即轴线上的点 ) 在垂直于在垂直于 x 轴轴 方向的线位移，称为该截面的挠度。方向的线位移，称为该截面的挠度。 w挠度挠度 C B x y A C （2）转角（）转角（ ） ：横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的称为该截面的 转角。转角。 转角转角 w挠度挠度 C B x y A C 转角转角 梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 。 挠曲线挠曲线 （3） 挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：

49、 ( )M x w EI 二，梁的挠曲线近似微分方程二，梁的挠曲线近似微分方程 ( )EIwM x 再积分一次挠度方程再积分一次挠度方程 上式积分一次得转角方程上式积分一次得转角方程 ( )EIEIwMx dxC ( )EIwM x dx dxCxD 式中：积分常数式中：积分常数 C 、D 可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线的边界条件边界条件和和变形连续变形连续 性条件性条件来确定。来确定。 (1) 边界条件边界条件 0 wA 0 wB 在简支梁或外伸梁中，铰支座处的挠度应等于零。在简支梁或外伸梁中，铰支座处的挠度应等于零。 在悬臂梁在悬臂梁 中，固定端处的挠度中，固定端处的挠度和转角都应等于零。

50、和转角都应等于零。 AB 0, 0 A Aw AB AB (2) 连续性条件连续性条件 在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。 梁分段后，相邻两段在交界处的截面应有相等的挠度和转角。梁分段后，相邻两段在交界处的截面应有相等的挠度和转角。 组合梁在光滑铰链的左，右截面有相等的挠度，但转角不相等。组合梁在光滑铰链的左，右截面有相等的挠度，但转角不相等。 一一：确定组合梁的边界条件和连续条件：确定组合梁的边界条件和连续条件 每段积分得出两个积分常数，全梁共有每段积分得出两个积分常数，全梁共有10个积分常数个积分常数。 ( )EIwM x 1 )(CdxxMw

51、EIEI 21 )(CxCdxdxxMEIw 该梁分该梁分 AB , BC , CD , DF , FG 五段写弯矩方程五段写弯矩方程 A BC D F G 10个积分常数分别由个积分常数分别由边界条件边界条件和和连续变形条件连续变形条件确定确定 边界条件边界条件 0, 0 ww BA 0, 0 G Gw A BC D F G A BC D F G 右左右左BBBBww , ww CC右左 右左右左DDDDww , ww FF右左 连续变形条件连续变形条件 二二 解：该梁分解：该梁分 AB，BC，CD 三段列挠曲线近似微分方程。需确定三段列挠曲线近似微分方程。需确定 六个六个积分常数。积分常数

52、。 边界条件：边界条件： 0;0 ww CB 连续条件：连续条件：, BBBBww 左右左右 CCCCww 左右左右 ， q l l/2l/2 D A BC 三三 解：该梁分解：该梁分 AB，BC，CD, DE 四段列挠曲线近似微分方程。需四段列挠曲线近似微分方程。需 确定确定八个八个积分常数。积分常数。 边界条件：边界条件：0;0;0 www ECA 连续条件：连续条件： ,; BBBBww 左右左右 CCCCww 左右左右 ， DDww 左右 q l/2l/2 D A B C l/2 F E l/2 第第8章章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 一一, 平面应力平面应力 cos2sin

53、2 22 xyxy x b a cd x y x y e f sin2cos2 2 xy x 1, 平面应力状态下任意斜截面上的应力平面应力状态下任意斜截面上的应力 2，主平面，主平面 主应力主应力 当某截面上的切应力等于零时，该截面称为主平面。即切应力等于当某截面上的切应力等于零时，该截面称为主平面。即切应力等于 零的平面为主平面零的平面为主平面 主平面上的正应力称为主应力主平面上的正应力称为主应力 平面应力状态存在两个主平面，它们互相垂直。所以一般存在两个平面应力状态存在两个主平面，它们互相垂直。所以一般存在两个 不为零的主应力，两者方向也互相垂直。不为零的主应力，两者方向也互相垂直。 可

54、以证明，受力物体内必有三个相互垂直的主平面和相应的三个可以证明，受力物体内必有三个相互垂直的主平面和相应的三个 主应力。主应力。 平面应力状态还有一个主应力为零平面应力状态还有一个主应力为零 3，平面应力状态下平面应力状态下主应力的计算主应力的计算 正应力达到极值的面上，切应力必等于零。此平面为主平面。正应力达到极值的面上，切应力必等于零。此平面为主平面。正应正应 力的极值为力的极值为主应力主应力值值。 任一点的任一点的主应力主应力值是过该点的各截面上值是过该点的各截面上正应力正应力中的中的极值，极值，一个是一个是 极极大大值，值，一个是一个是极极小小值。值。 max min 2 2 () 2

55、2 xy xy xy 4，极值切应力，极值切应力 2 31 max 5，平面应力状态的应力圆，平面应力状态的应力圆 2 xy 2 2 () 2 xy xy oC ba cd x y x y 二，广义胡克定律二，广义胡克定律 1 () x xy E 1 () y yx E () xy z E 1，平面应力状态下的胡克定律，平面应力状态下的胡克定律 )( 1 3211 E )( 1 3122 E )( 1 2133 E 2，三向应力状态下的广义胡克定律，三向应力状态下的广义胡克定律 2 2 1 1 3 3 1 2 3 三，强度理论三，强度理论 1、 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第

56、一强度理论） 2、 最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论） 3、 最大切应力理论最大切应力理论 (第三强度理论第三强度理论) 1 123 () 13 4， 畸变能密度理论（第四强度理论）畸变能密度理论（第四强度理论） r 把各种强度理论的强度条件写成统一形式把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r 称为复杂应力状态的称为复杂应力状态的相当应力相当应力 11r 2123 () r 313r 222 4 122331 1 2 r 解：解： x =25MPa， y=-75MPa， xy=-40MPa 一一 求图示单元体的主应力求图示单元体的主应力 x 75MPa 25M

57、Pa 40MPa x 75MPa 25MPa 40MPa max min 2 2 () 22 xy xy xy 39.0 MMPa -89.0MMPa 单元体的三个主应力为单元体的三个主应力为 MPaMPa0 .890,0 .39 321 二二 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示 , 已知已知 x = 30MPa , y = 50MPa, z = 20MPa , xy = 40MPa。试求该点的求出主应力试求该点的求出主应力 y x z xy MPa z 20 解解: 该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力 y x z xy 另外两个主应力由另外两个主应力由 x = 30MPa

58、 , y = 50MPa , xy = 40MPa。求出求出 x y xy MPa z 20 y x z xy x y xy MPa z 20 y x z xy MPaMPaMPa23. 1,20,23.81 321 2 2 () 22 xy xy xy min max MPa MPa 23. 1 23.81 三三，平面应力状态，已知：，平面应力状态，已知： x， y ， xy 。 其应力圆的圆心坐标为（其应力圆的圆心坐标为（ ）；圆的半径为）；圆的半径为 （ ）。）。 四四，单元体应力状态如图所示。其主应力（，单元体应力状态如图所示。其主应力（ 1= ），）， （ 2= ），）， （ 3=

59、），），第三强度理论的相当应力第三强度理论的相当应力 （ r3= )。 /2 0 , 2 yx 2 2 ) 2 ( xy yx 2 2 3 2 五，单元体应力状态如图所示。五，单元体应力状态如图所示。其主应力其主应力 ( 1= ），）， （ 2= ），）， （ 3= ），），第三强度理论的相当应力第三强度理论的相当应力 （ r3= )。 2 2 ) 2 ( 2 0 2 2 () 22 22 4 A xy yx x -450 六，六，单元体如图所示。求指定方向的线应变单元体如图所示。求指定方向的线应变 450 )( 1 454545 000 E 0 45 cos2sin2 22 xyxy xy

60、xy 0 45 cos2sin2 22 xyxy xy xy 000 454545 111 ()() xyxyxy EEE 第第9章章 组组 合合 变变 形形 一一 拉伸（压缩）与弯曲组合变形拉伸（压缩）与弯曲组合变形 一一 : 一矩形截面悬臂梁一矩形截面悬臂梁 . 已知已知 , l = 1.2m , b = 100mm , h =150mm , F1 = 2kN , F2 = 1kN . 试求横截面上最大拉应力和最大压应力试求横截面上最大拉应力和最大压应力. l F1 F2 h b z y l F1 F2 h b 解解: F1 产生轴向拉伸产生轴向拉伸 , F2 发生平面弯曲发生平面弯曲 z