第十一章 习题课 常数项级数审敛

1、1 1、常数项级数、常数项级数 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) ) n n s lim存在存在( (不存在不存在) ). . 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: 习题课习题课 常数项级数审敛常数项级数审敛 一、主要内容一、主要内容 常数项级数审敛法常数项级数审敛法 正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数 1. 2. 4.充要条件充要条件 5.比较法比较法 6.比值法比值法 7.根值法根值法 4.绝对收敛绝对收敛 5.交错级数交错级数 (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) 3.按基本性质按基本性质; ;,则级数收敛则级数收敛若若SSn ;, 0

2、,则则级级数数发发散散当当 n un 一般项级数一般项级数 4.绝对收敛绝对收敛 2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法 .有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛 n s (1) (1) 比较审敛法比较审敛法 (2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式 ( (3 3) ) 极极限限审审敛敛法法 0, 0 nn vu设设 nn vu 与与若若 是同阶无穷小是同阶无穷小 同敛散同敛散与与则则 nn vu 特别特别 nn vu 若若（等价无穷小）（等价无穷小） 同敛散同敛散与与则则 nn vu ( (4 4) ) 比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝

3、尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) ) ( (5 5) ) 根根值值审审敛敛法法 ( (柯柯西西判判别别法法) ) 3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法 Leibniz定理定理 绝对收敛，条件收敛绝对收敛，条件收敛 附：附：正项级数与任意项级数审敛程序正项级数与任意项级数审敛程序 n u 0 n u n u发散 发散 N Y n n u u 1 lim 1 Y nn vu 0 n n ulim N 1 N 改改 用用 它它 法法 Y n u收敛收敛 n v收敛收敛 n u发散发散 n u收敛

4、 收敛 n v发散 发散 n u 0 n u N 发散发散 n u Y 敛敛 | n u Y 绝绝对对收收敛敛 n u 收敛收敛 n u N 用检比用检比 法法用比较法用比较法 用用L准则或考察部分和准则或考察部分和 N 收敛 n u N Y 条件收敛条件收敛 例例1 求极限求极限 n n n n 2! 3 lim 解解 考察正项级数考察正项级数 n n n n u 2! 3 n n n n n n n n n nu u 3 2! 2)!1( 3 limlim 1 1 1 10 )1(2 3 lim n n 由检比法由检比法 n n n 2! 3 收敛收敛 由级数收敛的必要条件得由级数收敛的必

5、要条件得 0 2! 3 lim n n n n 二、典型例题二、典型例题 例例2 设设 0lim anan n 试证试证 n a发散发散 证证不妨设不妨设 a 0 由极限保号性知由极限保号性知 N 时当Nn 0 n a 由于由于0 1 limlim a n a na n n n n 故由比较法的极限形式得故由比较法的极限形式得 n a 发散发散 例例3 若若 n u n v都发散都发散 则则 A )( nn vu 必发散必发散 B nnv u 必发散必发散 C | nn vu必发散必发散 D以上说法都不对以上说法都不对 例例3 3 ; ) 1 ( )1( : 1 1 n n n n n n n

6、 判断级数敛散性判断级数敛散性 解解 n n n n n n nn u ) 1 ( 1 , ) 1 1( 2 1 n n n n n n n n n nn 1 22 ) 1 1(lim) 1 1(lim 2 ; 1 0 e x x n n xn 11 limlim ln 1 limexpx x x 1 limexp x x ; 1 0 e , 01lim n n u 根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散 1 ).0( ) 1 ( )2ln( )2( n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 )2ln( limlim , )2ln(li

7、m 1 n n n a ,2,2 n enn 时时从而有从而有 ,)2ln(1 n n nn , 1lim n n n由于由于 , 1)2ln(lim n n n . 1 lim a u n n n ,1 1 01时时即即当当 a a原级数收敛；原级数收敛； ,1 1 10时时即即当当 a a原级数发散；原级数发散； ,1时时当当 a, ) 1 1( )2ln( 1 n n n n 原级数为原级数为 , ) 1 1( )2ln( lim n n n n 原级数也发散原级数也发散 敛敛？是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收 敛敛？如如果果收收敛敛，是是否否收收判判断断级级数数 1 ln )1

8、( n n nn 例例4 4 解解, 1 ln 1 nnn , 1 1 发散发散而而 n n , ln 1 ln )1( 11 发发散散 nn n nnnn 即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛 , ln )1( 1 级数级数是交错是交错 n n nn 由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理： x x n n xn ln lim ln lim , 0 1 lim x x , 0 ln 1 1 lim ln 1 lim n n n nn nn ),0(ln)( xxxxf ),1(0 1 1)( x x xf,), 1(上单增上单增在在 , ln 1 单减单减即即 xx ,1 ln 1 时时单单减减当当

9、故故 n nn ),1( )1ln()1( 1 ln 1 1 nu nnnn u nn 所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛 n a n c都收敛都收敛 且且 nnn cba 例例5 设设 试证试证 n b收敛收敛 证证由由 nnn cba 知知 nnnn acab 0 因因 n a n c都收敛都收敛 故正项级数故正项级数 )( nn ac收敛收敛 再由比较审敛法知再由比较审敛法知 正项级数正项级数 )( nn ab 收敛收敛 而而 nnnn aabb )(即即 n b可表为两个收敛级数可表为两个收敛级数之和之和 )( nn ab n a 故故 n b

10、 收敛收敛 例例6 设设 0, 0 nn ba且且 n n n n b b a a 11 若若 n b收敛收敛 则则 n a也收敛也收敛 证证由题设知由题设知 1 1 1 1 b a b a b a n n n n nn b b a a 1 1 而而 n b收敛收敛由比较法得由比较法得 n a收敛收敛 Cauchy积分审敛法积分审敛法 设设 0)( xfy 单调减少单调减少)(nfu n 则则 1n n u与与 1 )(dxxf 同敛散同敛散 例例7 证证由由 f(x) 单调减少知单调减少知 1 1 )()()1( k k kk ukfdxxfkfu 即即 n k n n k kk udxxf

11、u 1 1 1 1 1 )( n n n SdxxfSS 1 1 11 )( 故故 1n n u 与与 1 )(dxxf同敛散同敛散 例例8 设设 n u是单调增加且有界的正数数列是单调增加且有界的正数数列 试证明试证明 )1( 11 nn n u u 收敛收敛 证证记记 1 1 n n n u u v则则0 1 1 n nn n u uu v 且且 1 1 u uu v nn n 而正项级数而正项级数 1 1 )( n nn uu 的部分和的部分和 n k nkkn uuuuS 1 111 )( 又又 n u单调增加且有界单调增加且有界 故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aun n li

12、m存在存在 1 limuASn n 即即 1 1 )( n nn uu 收敛收敛进而进而 1 1 1 )( 1 n nn uu u 收敛收敛 由比较法得由比较法得 1n n v 收敛收敛 设正数数列设正数数列 n a单调减少，级数单调减少，级数 1 1 )1( n n n a 发散发散 考察考察 n nn a ) 1 1 ( 1 的敛散性的敛散性 证证 记记 n n n a u) 1 1 ( 由由 n a单调减少单调减少0 n a 故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aan n lim 存在存在 且且 0 A 若若 0 A 由由Leibniz审敛法得审敛法得 交错级数交错级数 1 1 )1(

13、 n n n a 收敛收敛 与题设矛盾与题设矛盾 0 A n n n n n a u 1 1 limlim1 1 1 A 由检根法知由检根法知 n nn a ) 1 1 ( 1 收敛收敛 例例9 已知已知 n un n ln 1 ln lim0 n u 证明证明 收敛收敛 n u1 发散发散 n u1 的的敛敛散散性性不不定定 n u1 由由 1 ln 1 ln lim n un n 知知对对1 NnN , 有有 1 ln 1 ln q n un nq un ln 1 ln nqu n lnln 证证 例例10 qn n u 1 而而 q n 1 收敛收敛 故由比较法知故由比较法知 n u收敛

14、收敛 由由 1 ln 1 ln lim n un n 知知NnN 当, 有有 1 ln 1 ln r n un nr un ln 1 ln nrunlnln rn n u 1 而而 r n 1 发散发散故由比较法知故由比较法知 n u发散发散 如如 pn nn u )(ln 1 1 ln )ln(lnln lim ln 1 ln lim n npn n u n n n 但但收敛收敛时时 n up1发发散散时时 n up1 讨论讨论 1n p n n a 的敛散性的敛散性), 0(常数常数ap 解解对级数对级数 1n p n n a |) 1 (limlim 1 aa n n u u p n n

15、 n n 1| a 1n p n n a 收敛收敛 1n p n n a 绝对收敛绝对收敛 1| a 1n p n n a 发散发散 1n p n n a 发散发散 1| a 分情况说明分情况说明 例例11 1 a 级数成为级数成为 1 1 n p n 1 p 收敛收敛1 p发散发散 1 a级数成为级数成为 1 )1( n p n n 1 p 绝对收敛绝对收敛 1 p 条件收敛条件收敛 例例12 对对 , 的值，研究一般项为的值，研究一般项为 n nn Vn 2 sin 的级数的敛散性的级数的敛散性 解解 )(sin n nVn )sin()1( n n 由于当由于当 n 充分大时，充分大时，

16、 )sin( n 定号定号 故级数从某一项以后可视为交错级数故级数从某一项以后可视为交错级数 整整数数当当 为为何何值值无无论论 总有总有 |)sin(|lim|lim n V n n n 0|sin| 0lim n n V级数发散级数发散 整整数数当当 n V n n sin)1( 时当 n n sin 非增地趋于非增地趋于 0 由由Leibniz审敛法知审敛法知 1n n V 收敛收敛 但但 | sin |lim 1 | lim n n n V n n n 而而 1 1 n n 发散发散故由比较法的极限形式故由比较法的极限形式 时当0 1 sin n n 发散发散 1n n V 条件收敛条

17、件收敛 0 0 n V级数显然收敛级数显然收敛 正项级数正项级数 由级数收敛的必要条件要使由级数收敛的必要条件要使 收敛必须收敛必须 n u 0 n u 但在一般项趋于但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的级数中为什么有的收敛有 的却发散，的却发散， 0 n u 因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更 基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则 更能说明问题的实质，使用起来也更有效更能说明问题的实质，使用起来也更有效 的的阶阶 问题的实质是级数收敛与否取决于问题的实质是级数收敛与否取决于 关于常数项级数审敛关于常数

18、项级数审敛 n n n u u 1 lim 和和 n n n u lim 作为作为 n u变化快慢变化快慢 得到检比法和检根法，检比法得到检比法和检根法，检比法 和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数 作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失失 效效”的情况。的情况。 收敛收敛收敛收敛 nn uu | 这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项 级数的敛散性判定级数的敛散性判定 注注 比较法、比较法的极限形式、检比法、比较法、比较法的极限形式、检比法、 检根法、积分审敛法，只能对检根法、积分审敛法，只能对正项级数正项级数方方 可使用可使用 的一种估计的一种估计 检比法、检根法只是检比法、检根法只是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件 L准则也是准则