函数的求导法则

1、2. 2 函数的求导法则教学目的要求：1. 掌握导数的运算法则，并能灵活应用。.2. 熟记基本求导公式。教学重点难点：重点：导数的运算法则难点：复合函数的求导法则教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数, 并且 u(x) v(x)=u(x) v(x) ; u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x); . 证明 (1) =u(x)v(x). 法则(1)可简单地表示为 (uv)=uv . (2) =u(x)v(x)+u(x)v(x), 其中v(x+h)=v(x)是

2、由于v(x)存在, 故v(x)在点x连续. 法则(2)可简单地表示为 (uv)=uv+uv. (3) . 法则(3)可简单地表示为 . (uv)=uv, (uv)=uv+uv, . 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可导, 则有 (u+v-w)=u+v-w. (uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw. 即 (uvw) =uvw+uvw+uvw. 在法则(2)中, 如果v=c(c为常数), 则有 (cu)=cu. 例1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y

3、 解: y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7)= 2 (x 3)- 5( x 2)+ 3( x) =23x 2-52x+3=6x 2-10x+3. 例2. , 求f (x)及. 解: , . 例3y=e x (sin x+cos x), 求y. 解: y=(e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例4y=tan x , 求y. 解: .即 (tan x)=sec2x . 例5y=sec x, 求y. 解: =

4、sec x tan x . 即 (sec x)=sec x tan x . 用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)=-csc2x , (csc x)=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则 定理2 如果函数x=f(y)在某区间iy 内单调、可导且f (y)0, 那么它的反函数y=f -1(x)在对应区间ix=x|x=f(y), yiy内也可导, 并且 . 或. 简要证明: 由于x=f(y)在i y内单调、可导(从而连续), 所以x=f(y)的反函数y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在i x内也单调、连续. 任取x i x, 给x以增量dx(dx

5、0, x+dxi x), 由y=f -1(x)的单调性可知 dy=f -1(x+dx)-f -1(x)0, 于是 . 因为y=f -1(x)连续, 故 从而 . 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6设x=sin y, 为直接函数, 则y=arcsin x是它的反函数. 函数x=sin y在开区间内单调、可导, 且 (sin y)=cos y0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间i x=(-1, 1)内有 . 类似地有: . 例7设x=tan y, 为直接函数, 则y=arctan x是它的反函数. 函数x=tan y在区间内单调、可导, 且 (tan y)

6、=sec2 y0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间i x=(-, +)内有 . 类似地有: . 例8设x=a y(a0, a 1)为直接函数, 则y=loga x是它的反函数. 函数x=a y在区间i y=(-, +)内单调、可导, 且 (a y)=a y ln a 0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间i x=(0, +)内有 . 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导

7、, 则复合函数y=fg(x)在点x可导, 且其导数为 或. 证明: 当u=g(x)在x的某邻域内为常数时, y=fj(x)也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时, du0, 此时有 , = f (u)g (x ). 简要证明: . 例9 , 求. 解 函数可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此 . 例10 , 求. 解 函数是由y=sin u , 复合而成的, 因此 . 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11lnsin x, 求. 解: . 例12, 求. 解: . 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.

8、例如, 设y=f(u), u=j(v), v=y(x), 则 . 例13y=lncos(e x), 求. 解: . 例14, 求. 解: . 例15设x0, 证明幂函数的导数公式 (x m)=m x m-1. 解 因为x m=(e ln x)m=e m ln x, 所以 (x m)=(e m ln x)= e m ln x(m ln x)= e m ln xm x-1=m x m-1. 四、基本求导法则与导数公式 1基本初等函数的导数:(1)(c)=0, (2)(xm)=m xm-1,(3)(sin x)=cos x, (4)(cos x)=-sin x,(5)(tan x)=sec2x, (

9、6)(cot x)=-csc2x,(7)(sec x)=sec xtan x, (8)(csc x)=-csc xcot x,(9)(a x)=a x ln a, (10)(e x)=ex,(11) (12) ,(13) (14) (15) , (16) . 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x), v=v(x)都可导, 则(1)(u v)=uv,(2)(c u)=c u,(3)(u v)=uv+uv,(4). 3反函数的求导法则 设x=f(y)在区间iy 内单调、可导且f (y)0, 则它的反函数y=f -1(x)在ix=f(iy)内也可导, 并且 . 或. 4复合函数的求导法则 设y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数y=fg(x)的导数为 或y(x)=f (u)g(x). 例16. 求双曲正弦sh x的导数.解: 因为, 所以 , 即 (sh x)=ch x. 类似地, 有 (ch x)=sh x. 例17. 求双曲正切th x的导数. 解: 因为, 所以 . 例18. 求反双曲正弦arsh x的导数. 解: 因为, 所以 . 由, 可得. 由, 可得. 类似地可得, . 例19y=sin nxsinn x (n为常数)