信号与系统第四章连续时间信号与系统的复频域分析

1、第四章第四章 连续时间信号连续时间信号 与系统的复频域分析与系统的复频域分析 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件狄利克雷条件的信号，而有的信号，而有 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制；受到限制； 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。无穷积分求解

2、困难。 ttfd )(d 2 1 )( 1j tfFeFtf t 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引 入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利 用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 优点：优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 缺点：缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那

3、样清楚。 本章内容及学习方法 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。域分析。 同时介绍系统函数以及同时介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。注意与傅氏变换的对比，便于

4、理解与记忆。 学习目标 掌握拉氏变换定义及其基本性质； 牢记常用典型信号的拉氏变换； 掌握求解信号拉氏变换（包括正变换和 反变换）的基本方法； 掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法； 掌握系统函数H(s)收敛域与系统因果稳 定性的关系：定性分析方法。 学习目标 理解信号时域特点与拉氏变换收敛域的 关系：定性分析方法。 掌握系统的典型表示方法：H(s)、h(t)、 微分方程、模拟框图、信号流图、零极 点+收敛域图，以及它们之间的转换。 掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零 系统的分析方法。 能应用拉氏变换分析具体电路。 拉氏变换在工程中的主要作用是对因果拉氏变换在工程中的主要作用是对因果 LTIL

5、TI系统的稳态分析和瞬态分析。系统的稳态分析和瞬态分析。 为系统特性，如稳定性、为系统特性，如稳定性、 因果性及频率响应提供因果性及频率响应提供 了新的分析工具。了新的分析工具。 求解具有初始条件的微求解具有初始条件的微 分方程的方便工具。分方程的方便工具。 拉氏变换拉氏变换 双边拉氏变换双边拉氏变换 单边拉氏变换单边拉氏变换 引言引言 连续时间对应的复频域是用直角坐标 表示的复数平面，简称为 S平面或连续时间复频域（s域）. sj S平面上的每一个点平面上的每一个点s都代表一个复指都代表一个复指 数信号数信号 ,整个整个S平面上所有的点代平面上所有的点代 表了整个复指数信号集。表了整个复指数

6、信号集。 st e j 000 sj 0 0 j S S平面平面 S平面上虚轴上的所有点代表整个周期平面上虚轴上的所有点代表整个周期 复指数信号集复指数信号集 j t e 第四章第四章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 本章重点本章重点 1、Laplace变换的定义和基本性质；变换的定义和基本性质； 2、Laplace变换应用于线性系统分析；变换应用于线性系统分析； 3、系统函数系统函数H（S）的概念；）的概念； 4、H（S）的零极点与频率特性以及系统的）的零极点与频率特性以及系统的 稳定性之关系。稳定性之关系。 ourier变换的局限性。变换的局限性。 Laplace变换的特

7、点：变换的特点： 1、变换简单且容易计算；变换简单且容易计算； 2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义；可应用复频率的概念具有更普遍的意义； 3、可处理的信号范围更广；可处理的信号范围更广； 4 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数、在微分方程的求解中变微分运算为代数 运算；运算； 5 5、自动引入初始条件，直接求出全解。、自动引入初始条件，直接求出全解。 4.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t

8、时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换为 4-1 Laplace变换变换 一、一、 从从ourier变换到变换到aplace变换：变换： ourier变换对：变换对： deF 2 1 tf dtetfF tj tj 对某些增长信号引入收敛因子对某些增长信号引入收敛因子 为正实数 t e dtetfsF js dteetfF st tjt 令 1 则有：则有： j j st tj 1 t dsesF j2 1 tf jj:s : j ds djs deF 2 1 etf 1、双边、双边aplase变换变换(double-sided

9、 Laplase transform) Laplase变换对：变换对： j j st st dsesF j2 1 tf dte ) t (f) s (F象函数 原函数 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 的乘积，将时的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以间表示的微分方程，变成以 表示的代数方程。表示的代数方程。 2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 0 d)()()(tetftfLsF st 复变量复变量 原函数原

10、函数 象函数象函数 拉氏变换符号拉氏变换符号 ：在一定条件下，把实数域中的实变函数：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变变 换到复数域内与之等价的复变函数换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。 设有时间函数设有时间函数 f(t)，当，当 t 时，其拉氏变换 存在。收敛域如图所示。收敛域如图所示。 解：解： 例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 可见，对于反因果信号，仅 当Res=时，其收敛域 为Res的一个带 状区域，如图所示。如图所示。 S-plane Re ReRe ImIm Im RLL R 1)( )2)(1

11、( 1 )( s ss sX设设： 对对X(s) 进行部分分式展开：进行部分分式展开： 1 ( ) (1)(2) X s ss (1)(2) AB ss 11 (1)(2) ss Re Im -1 xx -2 X(s) 的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示： 1 ,Re 1 1 L s s 11 , (1) (2)ss 分别对 应什么 时间信 号？ 1 ,Re 1 (1)(2) L s ss 1 ,Re 2 2 L s s ( ) t e u t 2 ( ) t eu t 2 ( )() ( ) tt x teeu t 1 ( )( )2 (1)(2) X ss ss 设设： 对对

12、X(s) 进行部分分式展开：进行部分分式展开： 1 ( ) (1)(2) X s ss (1)(2) AB ss 11 (1)(2) ss X(s) 的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示： 1 ,Re 1 1 L s s 11 , (1) (2)ss 分别对 应什么 时间信 号？ 1 ,Re 2 (1)(2) L s ss 1 ,Re 2 2 L s s () t e ut 2 () t eut 2 ( )() () tt x teeut Re Im -1 xx -2 1 ( )2( )1 (1)(2) X ss ss 设设： 对对X(s) 进行部分分式展开：进行部分分式展开： 1

13、 ( ) (1)(2) X s ss (1)(2) AB ss 11 (1)(2) ss X(s) 的零极点图和的零极点图和ROC如图所示：如图所示： 1 ,Re 1 1 L s s 11 , (1) (2)ss 分别对 应什么 时间信 号？ 1 ,2Re 1 (1)(2) L s ss 1 ,Re 2 2 L s s () t e ut 2 ( ) t eu t 2 ( )()( ) tt x te uteu t Re Im -1 xx -2 例例 ：考虑一：考虑一LTILTI系统，系统函数系统，系统函数 1 ( ) (1)(2) s H s ss ReRe ImIm - -1 1 x xx

14、 x 2 2 s s= =jwjw s s-plane-plane ReRe ImIm - -1 1 x xx x 2 2 s s= =jwjw s s-plane-plane ReRe ImIm - -1 1 x xx x 2 2 s s= =jwjw s s-plane-plane ReRe ImIm - -1 1 x xx x 2 2 s s= =jwjw s s-plane-plane 因果、因果、 不稳定不稳定 系统系统 非因果、非因果、 稳定系稳定系 统统 非因果、非因果、 不稳定系不稳定系 统统 解解 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t

15、 (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t) 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变 换必须标出收敛域。 结论： 1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和 收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即： 2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛 域不同； 不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然 不同！ 三、单边拉氏变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻 为坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。本课程主要讨论单边拉氏变换。 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉

16、普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数定义：单位阶跃函数定义： 2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 0, 1 0, 0 )( t t tU 0 00 1 dd)()( 1 ststst e s tetetUtL ： s e s e s st t 111 lim 0 单位脉冲函数定义：单位脉冲函数定义： 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 1d)(tt且：且： 0, 0 0, )( t t t (0)d)()(fttft ： 1d)()( 00 t stst etettL 单位速度函数定义：单位速度函数定义： 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换

17、 0, 00 )( tt t tf ： 00 d 1 d stst et s ttetL 2 0 2 00 11 d 11 s e s te s e t s ststst 指数函数表达式：指数函数表达式： 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 at etf )( 式中：式中：a是常数。是常数。 ： as teteeeL tasstatat 1 dd 0 )( 0 0 2 0 2 0 0 0 Re(s) )( )( cose 0 s s tut Lt 0 2 0 2 0 0 0 Re(s) )(s )(sine 0 Lt ttu 0Re(s) )( )(cos 22

18、0 2 2 0 2 0 s s ttut L 0Re(s) )( 2 )(sin 22 0 2 0 0 s s ttut L 时域微分方程时域微分方程时域响应时域响应y(t) S域响应域响应Y(s) 拉氏变换拉氏变换 拉氏反变换拉氏反变换 解微分方程解微分方程 解代数方程解代数方程 S域代数方程域代数方程 四、利用单边拉氏变换分析增量线性系统四、利用单边拉氏变换分析增量线性系统: : 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t) 11 (单位阶跃函数单位阶跃函数) 1 s 2 (t) (单位脉冲函

19、数 单位脉冲函数)1 3K (常数常数) K s 4t (单位斜坡函数 单位斜坡函数) 1 s2 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t) 5t n (n=1, 2, ) n! s n+1 6e -at 1 s + a 7tn e -at (n=1, 2, ) n! (s+a) n+1 8 1 T 1 Ts + 1 t T e 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t) 9sin t s

20、2+ 2 10cos t s s2+ 2 11e -at sin t (s+a)2+ 2 12e -at cos t s+a (s+a)2+ 2 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t) 13 (1- -e -at ) 1 s(s+a) 14 (e -at - -e -bt ) 1 (s+a) (s+b) 15 (b be -bt - -ae at ) s (s+a) (s+b) 16sin( t + ) cos + s sin s2+ 2 1 a 1 b- -a 1 b- -a 4.1.

21、4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t) 17 e - nt sin n 1- - 2 t n2 s2+2ns+ n2 18 e - nt sin n 1- - 2 t 1 s2+2ns+ n2 19 e - nt sin( n 1- - 2 t - - ) s s2+2ns+ n2 = arctan n 1- - 2 1 n 1- - 2 1 1- - 2 1- - 2 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(

22、s) = Lf(t) 20 1- - e - nt sin( n 1- - 2 t + + ) n2 s(s2+2ns+ n2) = arctan 211- -cos t 2 s(s2+ 2) 22 t - - sin t 2 s(s2+ 2) 23 t sin t 2 s (s2+ 2)2 1 1- - 2 1- - 2 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、(t) 1，Re(S) - 2、(t)或1 1/s , Re(S) 0 3、 (t) 1， Re(S) - 4、 t(t) 1/s2 , Re(S) 0 解： 例例4.1 求复指数函数（式中求复指数函数（式中s0为复常数）为复常数） f(t)

23、=es0t (t)的象函数的象函数 ReRe, 1 )( 0 0 0 )( 0 000 ss ss dtedteeteL tsssttsts 若s0为实数，令s0，则有 Re, 1 )( Re, 1 )( s s te s s te t t 若s0为实数，令s0j，则有 0Re, 1 )( 0Re, 1 )( s js te s js te tj tj 三、常用信号的拉氏变换三、常用信号的拉氏变换 1、 (t) 2、 U(t) 3、 e-at 4、cos( ot ) 5、sin( ot ) 6、 te-at s 1 2 0 2 s s as 1 2 0 2 0 s 2 )( 1 as 1 常见

24、函数的拉普拉斯变换 1、(t) 1，Re(S) - 2、(t)或1 1/s , Re(S) 0 3、 (t) 1， Re(S) - 4、 t(t) 1/s2 , Re(S) 0 解： 例例 求复指数函数（式中求复指数函数（式中s0为复常数）为复常数） f(t)=es0t (t)的象函数的象函数 ReRe, 1 )( 0 0 0 )( 0 000 ss ss dtedteeteL tsssttsts 若s0为实数，令s0，则有 Re, 1 )( Re, 1 )( s s te s s te t t 若s0为实数，令s0j，则有 0Re, 1 )( 0Re, 1 )( s js te s js t

25、e tj tj 拉氏变换的基本性质（1） 线性)( 1 tfk i n i i )(. 1 tfLTk n i i dt tdf)( 微分)0()( fsSF 积分 t df)( s f s sF)0()( 时移 )()( 00 ttuttf)( 0 sFe st 频 移 at etf )( )(asF 拉氏变换的基本性 质（2） 尺度变换)(atf a s F a 1 )(lim)0()(lim 0 ssFftf st 终值 定理 )(lim)()(lim 0 ssFftf st 卷积 定理 )(*)( 21 tftf)().( 21 sFsF 初值定理 )().( 21 tftf )(*)

26、( 2 1 21 sFsF j 拉氏 变换 对 称为象函数。 称为象函数。称为原函数，称为原函数，sFtf 正弦信号函数定义：正弦信号函数定义： 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 0,sin 00 )( tt t tf 由欧拉公式，正弦函数表达为：由欧拉公式，正弦函数表达为： tjtj j2 1 sin - eet tte sinjcos tj tte- sinjcos tj 两式相减两式相减 ： 0 tjtj 0 d j2 1 dsinsinteeetettL st-st 22 0 t )j(t )j( j 1 j 1 j2 1 d j2 1 sss- tee

27、 s-s- 余弦信号函数定义：余弦信号函数定义： 4.1.4 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 0,cos 00 )( tt t tf 由欧拉公式，余弦函数表达为：由欧拉公式，余弦函数表达为： tjtj 2 1 cos - eet tte sinjcos tj tte- sinjcos tj 两式相加两式相加 ： 0 tjtj 0 d 2 1 dcoscosteeetettL st-st 22 0 t )j(t )j( j 1 j 1 2 1 d 2 1 s s ss- tee s-s- 零极点图 为了更好分析复指数s的取值范围，我们构建一个复 平面称为s s域域。水平轴称

28、为轴轴，垂直轴称为jj轴轴，s域 上每一个点表示一个s值 X(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)都是关于s的多项 式，则称X(s)为有理的有理的（rationalrational）。）。只要x(t)是实指 数或者复指数信号的线性组合则X(s)一定是有理的。将 X(s)化简约分后，使得N(s)=0的s值称为X(s)的零点零点（ zerozero），使得D(s)0的s值称为X(s)的极点极点（polepole）。 在s域上零点用表示，极点用表示，形成的图称为零零 极点图极点图。 可以表示为如下形式： 例 1 ( ) (1)(2) X s ss Re Im s平面 Re Im s平面

29、-2 -1-2 -1 例 1 ( ) (1)(2) X s ss Re Im s平面 -2 -1 Re Im s平面 -2 -1 例 1 ( ) (1)(2) X s ss Re Im s平面 -2 -1 Re Im s平面 -2 -1 Re Im s平面 -2 -1 例例 1 ( ) (1)(2) X s ss Re Im s平面 -2 -1 2 1 ( ) 32 11 12 X s ss ss 可以形成三种可以形成三种 ROC： ROC： ROC： 1) ROC： Re 2s Re 1s 2Re 1s j 1 2 ( )x t此时此时 是右边信号。是右边信号。 ( )x t此时此时 是左边

30、信号。是左边信号。 ( )x t此时此时 是双边信号。是双边信号。 例例 拉氏变换与傅氏变换 的关系 dtetf tj )( 因果 0 乘衰减因子 t e dtetf tj 0 )( )( js 0 )(dtetf st dtetf st )( js dtetf tj )( )( 0 0)( 0 tf t 一些常用函数的拉氏变换 0 de1)(ttuL st 1.阶跃函数 2.指数函数 0 dee)(ettuL sttt ss st 1 e 1 0 0 e s ts s 1 全全s域平面收敛域平面收敛 1de 0 tttL st 0 ede 0 00 stst tttttL 3.单位冲激信号

31、4 4t tn nu u( (t t) ) 0 detttL st 2 0 1 e 11 sss st stnstnn det s tttL 00 1 de 0 1 dett s n stn 0 de 1 st t s 0 0 dee 1 tt s stst 2 n 32 2 2122 sss tL s tL 3 n 43 23 6233 sss tL s tL 1 nn tL s n tL 0 e st n s t 0 1 dett s n stn 1 ! n n s n tL 1 n 所所以以 所所以以 傅氏变换与拉氏变换的关系 t sj 双双边边拉拉氏氏变变换换 t sj 傅傅氏氏变变换

32、换 t s 0 j 单边拉氏变换单边拉氏变换 0)( 0 tf t当当 0 )j( e s tutfFtfL t 小结 对于因果信号，求单边拉氏变换中，一般是对于因果信号，求单边拉氏变换中，一般是t0的的 信号，所以收敛域在收敛轴右边。对信号，所以收敛域在收敛轴右边。对F(s)分解因式，找分解因式，找 出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐 标。标。 :)(j的的关关系系和和FsF n nns ksFjF j 则 s sFjFs j0 , 0 则平面的左半平面收敛轴位于 不存在则平面的右半平面收敛轴位于jFs, 0 0 收敛轴位于虚轴收

33、敛轴位于虚轴, 0 0 三、常用信号的单边拉普拉斯变换三、常用信号的单边拉普拉斯变换 s ttuL sttt 1 dee)(e 0 s tu Lt 1 )(e 0 j j 1 )(e 0 s tu Lt )j( 1 )(e 00 )j( 00 s tu Lt 同理：同理： 0 0 )( 2 ee )(cos 00 jj 0 tutut tt 2 0 2 00 ) j 1 j 1 ( 2 1 s s ss L )( j2 ee )(sin 00 jj 0 tutut tt 2 0 2 0 00 ) j 1 j 1 ( j2 1 s ss L 0 0 三、常用信号的单边拉普拉斯变换三、常用信号的单

34、边拉普拉斯变换 s tuLtuL t 1 )(e lim)( 0 0)Re(0s或 三、常用信号的单边拉普拉斯变换三、常用信号的单边拉普拉斯变换 )(),( )( tt n tttL st de )()( 0 1 )Re(s tttL st de )( )( 0 s tttL stnn de )()( 0 )()( n s 0 )( t st e dt d 0 )() 1( t st n n n e dt d 三、常用信号的单边拉普拉斯变换三、常用信号的单边拉普拉斯变换 tt s n s t tttutL stnst n stnn de)e (de )()( 0 1 00 tt s n stn

35、 de 0 1 )( 1 tutL s n n 根据以上推理根据以上推理,可得可得 )( 1 )()( 21 tutL s n s n tutL s n tutL nnn )( 1221 0 tutL sss n s n s n 0)Re(, ! )( 1 s s n tut n Ln 三、常用信号的单边拉普拉斯变换三、常用信号的单边拉普拉斯变换 0)Re( )( cos 2 0 2 0 s s s tut L -Re(s) 1 )( L t 0)Re( )( sin 2 0 2 0 0 s s tut L -Re(s) )( )(nLn st 0)Re(, ! )( 1 s s n tut

36、n Ln 0)Re( 1 )(s s tu L 0Re(s) 1 )( 2 s ttu L 0Re(s) ! )( 1 n Ln s n tut Re(s) )( 1 )(e 2 s tut Lt 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 (1) 若若 、 是任意两个是任意两个，且：，且： 2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 ,)()( 11 sFtfL)()( 22 sFtfL ： 0 2121 d)()()()(tetftftftfL st 0 2 0 1 d)(d)(tetftetf stst )()( 21 sFsF 则：则： )()()()( 2121 sFsFtftfL

37、5-3 拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质 )()( 11 sFtf1、线性性质：、线性性质：若若 )()( 22 sFtf )()()()( 22112211 sFCsFCtfCtfC 其中：其中：C C1 1,C,C2 2为任意常数为任意常数 则则 例：例：)cos()( 0t tf tjtj ee 00 2 1 00 11 2 1 )( jsjs sF e-at as 1 2 0 2 s s f(t)=sin( ot ) tjtj ee j 00 2 1 00 11 2 1 )( jsjsj sF 2 0 2 0 s dtetfsF ts 0 )( 例例1 1f(t) = (t) + (t

38、)1 + 1/s， 0 时移性时移性 若：若： 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 )()(asFtfeL at ： 则：则： )()(sFtfL 0 d)()(teetftfeL statat 0 )( d)(tetf tas )(asF 尺度变换尺度变换 若若f(t) F(s) , Res 0，且有实数，且有实数a0 ， 则则f(at) )( 1 a s F a 0 de)()(tatfatfL st ，则则令令at 0 de)()( a fatfL a s 0 de)( 1 f a a s a s F a 1 证明：证明： )( 1 a s F a )( a s F a

39、 a 1 1 f f( (a at t) ) 2、尺度变换性：、尺度变换性： 若若f(t) F(s)，则，则 3、时移性：、时移性： 若若f(t)U(t) F(s)，则，则 0 )() st esF 0 00 0 t t) )U U( (t tt tf f( (t t s a b e a s F )( a a 1 1 b b) )- -f f( (a at t ) 2()( tUetf t 例例1: ) 2( )2(2 tUee t s e s e sF 2 2 1 )( 例例2:求图示信号的拉氏变换。求图示信号的拉氏变换。 2 1 s 0 2 1 st e s s t s 11 0 2 )(

40、)(ttUtf )()()( 001 ttUtttf )()()( 02 tUtttf 例例3: 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。 )(0 )0 ( )( 1 Tt tE tf ) )e e( (1 1 s s E E ( (s s) )F F s s 1 1 【解】【解】设设 )2()()()( 111 TtfTtftftf sTsT esFesFsFsF 2 111 )()()()( sT e sFsF 1 1 )()( 1 sT s e e S E sF 1 1 )( )()(tUtUE )1)( 2 1 sTsT eesF 时移特性时移特性 若若f(t) F

41、(s) , Res 0, 且有实常数且有实常数t00 , 则则f(t-t0)U(t-t0)e-st0F(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合 f(at-t0) (at-t0) a s F a s a t0 e 1 例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。 01 1 f1(t) t 0 1-1 1 t f2(t) 解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1) F1(s)=)e1 ( 1 s s F2(s)= F1(s) 例例2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s) 解：解： f2(t) = f1(0

42、.5t) f10.5(t-2) 01 1 f1(t) t 0 24 1 t f2(t) -1 f1(0.5t) 2F1(2s) f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2s f2(t) 2F1(2s)(1 e-2s) )sF(sf(t)e ts 0 0 4、频移性：、频移性： 若若f(t) F(s)，则，则 解：解： )cos( 0t 2 0 20 cos s s te t 2 0 2 s s 的的拉拉氏氏变变换换。求求例例)cos( 0t e t 证明：证明： dtef(t)e stts 0 0 dtf(t)e tss 0 )( 0 )sF(s 0 2 0 2 0 0 )sin( s t 同

43、同样样对对于于),sin( 0t e t 2 0 2 0 0 )( )sin( s te t 复频移（复频移（s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa= a+j a, 则则f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 1 2 s s 求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1( 3 2 2 e 9) 1( 1 s s s 例例2: f(t)=cos(2t/4) F(s)= ? 解解 cos(2t/4) =cos(2t)cos

44、(/4) + sin(2t)sin (/4) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 )( 222 s s ss s sF 5、时域微分性：、时域微分性：若 若f(t) F(s)，则，则 )f(sF(s)(t)f 0 )(fsF(s)s(t)f m n m mnnn 0 )( 1 0 1)( 若：若： 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 )0()( d )(d fssF t tf L ： 则：则： )()(sFtfL f(0)是是 t =0 时的时的 f(t) 值值 00 )(dd d )(d d )(d tfete t tf t tf L stst )0()(d)()(

45、 00 fssFtetfstfe stst 同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换： t f sfsFs t tf L d )0(d )0()( d )(d 2 2 2 推广到推广到n阶导数的拉普拉斯变换：阶导数的拉普拉斯变换： 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 如果：函数如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即及其各阶导数的初始值均为零，即 )0()0()( d )(d 21 fsfssFs t tf L nnn n n )0()0( 1)(2)(n-n- fsf 0)0()0()0()0()0( )1()2( nn fffff 则

46、：则： )( d )(d sFs t tf L n n n 时域的微分特性（微分定理）时域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则f(t) sF(s) f(0-) )0()0()( )0(0 d )(d 2 2 fsfsFs ffsFs t tf L 1 0 )(1 )0()( d )(d n r rrnn n fssFs t tf L 推广：推广： 证明：证明： )(0 deede 000 ssFf ttsftfttf ststst 举例 若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 例例1: (n)(t) ? ?2cos d d t t

47、 例例2: )0()( d )(d fssF t tf L 若若f(t) F(s)，则，则6、时域积分性：、时域积分性： s F(s) )df t 0 )( 若：若： 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 则：则： ： tf s sF s ttfLd)0( 1 )( 1 d)( )()(sFtfL 函数函数 f(t) 积分的初始值积分的初始值 00 d 1 d)(dd)(d)( stst e s ttftettfttfL 0 0 d)(d)(ttf s e s e ttf stst )( 1 d)0( 1 sF s tf s 同理，对于同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：重积分的

48、拉普拉斯变换： 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 tf s sF s ttfL nn n d)0( 1 )( 1 d)( )( tf s tf s n n d)0( 1 d)0( 1 )()2( 1 ：函数：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有各重积分的初始值均为零，则有 )( 1 d)( )( sF s ttfL n n ：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利 用微分定理和积分定理，可将微分用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。积分方程变为代数方程。 )( 1 d)( 0 sF s xxf

49、n n t 例例1: t2 (t)? )(d)( 0 ttxx t tt t t xxxxx 0 22 0 )( 2 d)(d)( 3 2 2 )( s tt 例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s) f(t) t0 2 2 解：对解：对f(t)求导得求导得f(t)，如图，如图 f(t) t (-2) 1 20 )0()(d)( 0 ftfxxf t 由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故 f(0-)=0 t xxftf 0 d)( )( f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s) ss s 22 e)e1 ( 1 s sF sF )( )( 1 结论：若

50、结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s) 则则 f(t) Fn(s)/sn sin( ot ) 若若f(t) F(s)，则，则 。求求)(, sin )()1 11 sF t t tf 。求求）)(, sin )(2 2 0 2 sFdx x x tf t 例：例： 6、时域积分性：、时域积分性： 解：解： 2 0 2 0 s 1 1 sin 2 s t 7、频域微分性：、频域微分性：若若f(t) F(s)，则，则 ds dF(s) tft)()( n n n ds F(s)d tft)()( 8、频域积分性：、频域积分性： 若若f(t) F(s)，则，则 s

51、 dxxFtf t )()( 1 t tsin dx x s 1 1 2 s arctg 1 s arctg s sF 11 )( 2 s F(s) )df t 0 )( 5、时域微分性：、时域微分性：若 若f(t) F(s)，则，则 )f(sF(s)(t)f 0 )(fsF(s)s(t)f m n m mnnn 0 )( 1 0 1)( 两个时间函数两个时间函数 f1(t)、f2(t) 卷积的拉普拉斯变换等于这两个卷积的拉普拉斯变换等于这两个 时间函数的拉普拉斯变换的乘积。时间函数的拉普拉斯变换的乘积。 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 )()( 11 sFtfL )()

52、(d )()( 21 0 21 sFsFftfL 式中：式中：)()( 22 sFtfL )()(d )()( 21 0 21 tftfftf 称为函数称为函数 f1(t)与与f2(t) 的的 而而 9、时域卷积定理：、时域卷积定理： 若若 )()( 11 sFtf )()( 22 sFtf )()()(*)( 2121 sFsFtftf 则则 10、频域卷积定理：、频域卷积定理： )()( 11 sFtf )()( 22 sFtf 则则 )(*)( 2 1 )()( 2121 sFsF j tftf 若若 七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t)

53、F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 jc jc sFFtftf d)()( j2 1 )()( 2121 例例1：t (t) ? 例例2：已知：已知F(s)= ? )e1 ( 1 2 s s 00 )2()2(*)( nn ntntt Ts sT sT2 e1 e1 e1 1 例例3： 若：若： 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 则：则： )(lim)(lim 0 ssFtf st )()(sFtfL ：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普

54、拉斯变换的微分定理，有 )0()(limd d )(d lim 000 fssFte t tf s st s 由于由于 ，上式可写成，上式可写成 1lim 0 st s e )0()(limd d )(d 00 fssFt t tf s )0()(lim)0()(lim 0 fssFftf st 5、时域微分性：、时域微分性：若 若f(t) F(s)，则，则 )f(sF(s)(t)f 0 若：若： 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 则：则： )(lim)(lim 0 ssFtf st )()(sFtfL ：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有 )0

55、()(limd d )(d lim 0 fssFte t tf s st s 由于由于 ，上式可写成，上式可写成 0lim st s e )0()(lim0fssF s )(lim)0(ssFf s 4.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 5、时域微分性：、时域微分性：若 若f(t) F(s)，则，则 )f(sF(s)(t)f 0 初值初值: f(t)|t=0+=f(0+) 若若f(t) 有初值，且有初值，且f(t) F(s)，则，则 )(lim)0( 00 BAsFsf s )(lim)0(ssFf s )0()(lim)0( fssFsf s )0()(lim)0( )( 1

56、 0 1)( m n m mnn s n fssFssf 12、终值定理：、终值定理： 终值终值: f(t)|t= =f( ) 若若f(t) 有终值，且有终值，且f(t) F(s)，则，则 )(lim)( 0 ssFf s 11、初值定理：、初值定理： 注意：终值存在的条件：注意：终值存在的条件：F(s)在在s右半平面和右半平面和j 轴上无极点。轴上无极点。 当当f(t)含有冲激含有冲激Ao (t)、Bo (t) 等时，有等时，有 ？0 5-4 0 2 1 00 tdseF(s) j t tfts j j （1 1）查表法）查表法 （2 2）利用常用信号拉氏变换与基本性质）利用常用信号拉氏变换

57、与基本性质 （3 3）部分分式法）部分分式法 ( (亥维赛德展开定理亥维赛德展开定理) ) （4 4）留数法）留数法回线积分法回线积分法 （5 5）数值计算方法）数值计算方法计算机计算机 方法：方法： 例例1: ？，求求已已知知 )() 1 ()( 2 tf s e sF s )()1()( 0 ntUtf n n 例例2: )2()2() 1() 1(2)()(tUttUtttUtf ？，求求已已知知 )( )1 ( 1 )(tf es sF s 利用拉氏变换性质和常用信号变换，有利用拉氏变换性质和常用信号变换，有 解：解： 2 ) 1 ()( s e sF s )21 ( 1 2 2 ss

58、 ee s 解：解： )1 ( 1 )( s es sF )1 ( 1 432 ssss eeee s )4() 3()2() 1()()(tUtUtUtUtUtf 4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 将象函数将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之的过程，称之 为拉普拉斯反变换。其公式：为拉普拉斯反变换。其公式： 2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数， 可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用。 j j d)( j2 1

59、 )( a a st sesFtf 简写为：简写为：)()( 1 sFLtf 如果把如果把 f(t) 的拉氏变换的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即分成各个部分之和，即 2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 )()()()( 21 sFsFsFsF n 假若假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变的拉氏反变换很容易由拉氏变 换表查得，那么换表查得，那么 )()()()()( 1 2 1 1 11 sFLsFLsFLsFLtf n )()()( 21 tftftf n 当当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分不能很简单地分解成各个部分之和时，

60、可采用部分 分式展开将分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏 变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换的拉氏反变换 f(t) 函数。函数。 在系统分析问题中，在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：常具有如下形式： 2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 式中式中A(s)和和B(s)是是s的多项式，的多项式， B(s)的阶次较的阶次较A(s)阶次要高。阶次要高。 对于这种称为有理真分式的象函数对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母，分母