数学建模论文水资源短缺风险综合评价

1、数学建模论文 题目：b题：水资源短缺风险综合评价 姓名： 学号： 2011-6-15题目：水资源短缺风险综合评价摘要近年来，随着经济的快速发展，工业用水，农业用水量有逐年增大的趋势，加之工业污染的日益加剧，人口规模的逐渐增加，各种不确定因素使得水资源短缺的风险日渐上升，对北京而言，虽然从2003年开始加大对再生水的利用，也启动了南水北调工程，但水资源短缺的风险因子仍然具有很大的不确定性。为此建立模型找出水资源短缺的主要风险因子，并对其进行评价，同时作出风险等级划分是很有必要的。这将有利于我们分析各个因子是如何影响水资源短缺风险的，并由此作出相应调控，来降低短缺风险。第一问要找出主要的风险因子，

2、采用比较简单的灰色关联分析，用matlab编程算出各风险因子与缺水量序列的关联度，并以此为主要标准，按其大小对各因子作出排序，从而找出主要风险因子。第二问要对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 并作出风险等级划分，我们采用层次分析法，将缺水量作为目标层，将供水量，用水量，外部因素作为第一准则层，将所考虑的各个风险因子作为第二准则层，将对风险等级的选择作为方案称，从上往下依次作出下层对上层的成对比较矩阵，并作一致性检验，得出各因子对上一层的影响权重，最终得到各风险因子的层次总排序，由此分析出各因素对缺水风险的影响，并采取相应对策，降低风险。由于作比较判断矩阵一般用专家评分发法，但鉴于条件限制，在

3、这里，我将充分利用所给数据，结合灰色关联分析的原理，做出下一层相对上一层的关联度，并以此为依据做出两两比较矩阵。经检验，层次模型用于短缺风险的评价以及分析个因子的影响是比较有效的，尤其是对于我们适当作出方案决策，降低风险很有帮助。关键词：水资源短缺 风险因子 风险等级 灰色关联分析 层次分析1.问题的重述1.1问题的提出：水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。近年

4、来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。题目第一问要求我们评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子，在这里取如下因子进行研究：再生水利用量，污水总量，降雨量，农业用水，工业用水，生活用水，人口规模以及水资源总量。题目第二问要求建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由，依次为依据来调控各风险因子，达到降低缺水风险的目的。1.2 问题的分析第一问由于问法较简单，而且所给数据随机性太强，波动性大，数据量不足，不便用回归分析的方法来做，所以

5、采用邓聚龙教授提出的灰色系统理论比较合适，这里只需用到灰色关联分析即可。第二问要稍微复杂一些，要求对水资源短缺风险作出综合评价，那就需要找出各因子对水资源短缺风险的影响权重，不同风险等级中各因子的权重系数是不同的，由此我们可以按照低风险区的权重系数为标准对各因子进行调控，从而降低缺水风险，按照这个思路，我们采取层次分析法来建立模型，详细找出不同年份各因子比重以及风险的等级。2.模型的基本假设（1）.题中所给数据都是有效的（2）.再生水的利用是从2003年开始的，以前的都为0（3）.缺水量的多少可以代表缺水的程度及风险大小（4）.第二问中同一层因素间不存在支配关系，且上层对下层有支配作用（5）.

6、除了供水和用水之外，其他因素均列为外部因素3.符号说明3.1第一问符号说明时间序列：t(t1,t2,tn),按提供的数据,从1979年到2008年共30年；缺水量序列： x0(x01,x02,x0n)再生水利用量：x1(x11,x12,x1n)污水总量序列：x2(x21,x22,x2n)降雨量序列： x3(x31,x32,x3n)农业用水序列：x4(x41,x42,x4n)工业用水序列：x5(x51,x52,x5n)生活用水序列：x6(x61,x62,x6n)人口规模序列：x7(x71,x72,x7n)水资源总量序列：x8(x81,x82,x8n)其中n=30定义：缺水量=用水量-水资源总量即

7、x0i=x4i+x5i+x6i-x8i3.2第二问符号说明目标层：a表示对缺水风险的综合评价第一准则层：由3个因子组成：水资源总量b1，总用水量b2，其他外部因素b3;第二准则层：由9个因子组成：降雨量c1,再生水量c2，南水北调c3,农业用水c4，工业用水c5,生活及其他用水c6，污水总量c7,人口规模c8,水利工程c9;方案层：由四个等级组成：高风险d1，中度风险d2，低风险d3，无风险d4;4.问题一模型的建立，分析与求解4.1建立模型对第一题，采用灰色关联分析理论进行建模，其相关理论如下：设x=x0,x1,xn为灰色关联因子集，x0作为参考序列(即目标序列)，xi为比较序列(即相关因素

8、序列)，x0k和xik（k=1,2,n）分别为x0和xi的第k个点的数值，即x0=(x01,x02,x0n)x1=(x11,x12,x1n)xk=(xk1,xk2,xkn) xm=(xm1,xm2,xmn)其中比较序列共有m行；任取(0,1),令min0,k=minkminjx0j-xkj,max0,k=maxkmaxjx0j-xkj,x0j,xkj=min0,k+max0,kx0j-xkj+max0,k称x0j,xkj为x0与xk的灰关联系数，x0,xk=j=1njx0j,xkj为数据x0与xk的灰色关联度，称为分辨系数, j称为j点权重,满足0j1，j=1nj=1。一般地，若x0,xkx0

9、,xi,则说明x0与xk的关联程度比x0与xi的关联程度要高，或者理解为xk对x0的影响程度比xi对x0的影响程度要大。按照定义，上述关联度为x0与xi的灰色关联度,记为0i，相对关联度主要反映x0与xi相对于初始点的变化率的相似程度。由于x0与xi长度相同，且初值不为零，x0与xi分别是二者的初值像，令|si|为初值像所连折线与t轴所围曲边梯形的面积，则x0与xi的灰色绝对关联度为：绝对关联度主要反映折线x0与xi之间的相似程度。取(0,1),则x0与xj的灰色综合关联度为：0i=0i+(1-)0i灰色综合关联度能够较为全面地表征序列之间的的联系是否紧密，表示绝对关联度所占的比重，(1-)表

10、示相对关联度所占的比重。 本题取缺水量序列x0为灰色关联因子集，即目标序列，x1x7分别为7个相关因子集，按照上述理论，用matlab编程，计算出各相关因子序列与目标序列的相对关联度，然后按照这7个关联度的大小对着7个因子进行排序，从而找出主要的风险因子。4.2.模型的求解用matlab编程先对矩阵a=(x0t,x1t,x7t)进行归一化处理，代码如下：function bdata=dataones(a)m,n=size(a);for i=1:m for j=1:n b(i,j)=a(i,j)/a(1,j); endendbdata=b;end得到归一化矩阵bdata。由归一化矩阵，算出各因子

11、序列与目标序列的关联度,代码如下：m文件1：%计算两个序列x与y之间的相对关联度;%t为分辨系数;function rxy=relate(x,y,t)m,n=size(x);a=abs(x-y);a1=min(a);a2=max(a);rxy=0;for i=1:m b=abs(x(i,1)-y(i,1);r(i)=(a1+t*a2)/(b+t*a2);rxy=rxy+r(i)/m;endendm文件2：%计算矩阵a中各列与第一列的相对关联度;function rel=relates(a,t)m1,n1=size(a);for i=1:n1 x=a(:,1); y=a(:,i); rel(i,

12、1)=relate(x,y,t);end end4.3.模型的结果用matlab算得各因子与缺水量的关联度如下（取分辨系数t=0.8）：rel = nan 0.6929 0.7113 0.7713 0.7020 0.7036 0.8843 0.6886 0.7239再按此关联度对各因子排序如下：人口(万人)0.8843降雨量0.7713水资源总量0.7239污水总量0.7113工业用水0.7036农业用水0.702再生水0.6929生活用水0.6886由此可见缺水量的主要影响因子为人口和降雨量，其次为水资源总量，污水量，工业用水，农业用水，再生水和生活用水几乎处于同等地位。所以我们把人口规模，

13、降雨量，水资源总量和工业污染作为北京市水资源短缺风险的主要风险因子。5.问题二模型的建立，分析与求解5.1.建模原理5.1.1 层次分析模型简介层次分析法解决问题的基本思想与人们对一个多层次、多因素、复杂的决策问题的思维过程基本一致，最突出的特点是分层比较，综合优化其解决问题的基本步骤如下：(1) 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，一般层次结构分为三层，第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为方案层。(2) 构造两两比较矩阵（判断矩阵）,对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，构造出两两比较的判断矩阵。(3) 由比较矩阵计算被比较因素对每一准则的

14、相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验。(4) 计算方案层对目标层的组合权重和组合一致性检验，并进行排序。利用层次分析法研究问题时，首先要把与问题有关的各种因素层次化，然后构造出一个树状结构的层次结构模型，称为层次结构图。一般问题的层次结构图分为三层， 最高层为目标层(o): 问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。中间层为准则层(c): 包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当准则多于个时可分为若干个子层。最低层为方案层(p): 方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同。实际

15、中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定。构造比较矩阵构造比较矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用。而不是把所有因素放在一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响。设要比较个因素对上一层（如目标层）的影响程度，即要确定它在中所占的比重。对任意两个因素和，用表示和对的影响程度之比，按的比例标度来度量。于是，可得到两两成对比较矩阵，又称为判断矩阵，显然,因此，又称判断矩阵为正互反矩阵。比例标度值标度 含 义 1 与的影响

16、相同 3 比的影响稍强 5 比的影响强 7 比的影响明显地强 9 比的影响绝对地强 2,4,6,8 与的影响之比在上述两个相邻等级之间 与的影响之比为上面的互反数比例标度的确定：取的个等级，而取的倒数（见表6-1）。由正互反矩阵的性质可知，只要确定的上（或下）三角的个元素即可。在特殊情况下，如果判断矩阵的元素具有传递性，即满足则称为一致性矩阵，简称为一致阵。5.1.2 相对权向量确定相对权向量的确定有多种方法，一般分为和法、求根法（几何平均法）及特征根法。在本次项目中我们采取的相对较为容易的和法来确定特征根。其具体算法如下：取判断矩阵个列向量归一化后的算术平均值，近似作为权重，即 类似地，也可

17、以对按行求和所得向量作归一化，得到相应的权重向量。5.1.3 一致性检验通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性。实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内。主要考查以下指标：(1) 一致性指标：。(2) 随机一致性指标：，通常由实际经验给定的，如表6-2。表6-2：随机一致性指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.56 1.58 1.59(3) 一致性比率指标：，当时

18、，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，则对应的特征向量可以作为排序的权重向量。此时其中表示的第个分量。5.2建立模型 该问要求对水资源短缺风险作出综合评价，我们要找出各因子对水资源短缺风险的影响权重，并得到最终的各因素层次总排序，并由此对问题进行分析。按照层次分析方法的原理，将整个模型分为四层：第一层为目标层a,即缺水量a；第二层为第一准则层b，即总供水量b1，总用水量b2，其他外部因素b3；第三层为第二准则c，即降雨量c1，再生水c2，农业用水c3，工业用水c4，生活及其他用水c5，污水总量c6，人口规模c7；建立的层次模型如下：5.3.模型的求解由于1979年到2002年没有对再生水进行利用

19、量为0，故这段时间不考虑再生水的影响，或者将其看成是负影响。首先按照所给数据求出缺水量的大小，将缺水的风险等级分为四级，分类如下：无风险低风险中风险高风险年份缺水量年份缺水量年份缺水量年份缺水量1987-7.7119940.45198210.62198923.091985-6.2919840.74200711200023.541996-5.8620080.9200511.3199223.991991-0.2619982.73198312.86198124.1119883.25200413.2198024.5419794.69199514.54199325.5519905.26200317.41

20、99927.4919869.52199718.0720069.8200218.5200119.7其中却水量为负时，水量过剩，表示无风险；缺水量为010时，表示风险较小；缺水量为 1020时，表示中度风险；缺水量为20以上时表示风险较大；根据第一问的灰色关联理论，计算出各层次对上一层因子的灰色关联度并以此来构造成对比较矩阵。由matlab编程求得各层次间的灰色关联度如下：缺水风险关联度水资源总量b10.6794总用水量b20.6794其他因素b30.6867第一准则层对目标层：第二准则层对第一准则层：水资源总量b1关联度总用水量b2关联度外部因素b3关联度降雨量c10.6887农业用水c40.6

21、167污水总量c70.7113再生水c20.7307工业用水c50.6859人口规模c80.8843南水北调c30.7504生活用水c60.7132水利工程c90.6563方案层对第二准则层：高风险d1中风险d2低风险d3无风险d4降雨量c10.75110.68750.68750.7467再生水c20.75110.68750.68750.7467南水北调c30.75110.68750.68750.7467农业用水c40.6130.61410.61410.7352工业用水c50.7610.6130.6130.7373污水总量c60.66760.74350.74350.833生活用水c70.663

22、70.68190.68190.7093人口规模c80.71490.70510.70510.7401水利工程c90.66760.74350.74350.833构造目标层的成对比较矩阵：ab1b2b3b1111/3b211/3b31构造第二准则层对第一准则层的成对比较矩阵：b1c1c2c3c111/51/3c211/3c31b2c4c5c6c411/31/4c511/2c61b3c7c8c9c711/42c814c91构造方案层对第二准则层的成对比较矩阵：c1d1d2d3d4c2d1d2d3d4c3d1d2d3d4d11332d11443d11332d2111/3d2111/3d2111/2d31

23、1/3d311/3d311/3d41d41d41c4d1d2d3d4c5d1d2d3d4c6d1d2d3d4d111/21/21/3d11442d111/41/41/5d2111/3d2111/4d2111/3d311/4d311/4d311/2d41d41d41c7d1d2d3d4c8d1d2d3d4c9d1d2d3d4d111/21/31/5d11221/3d111/31/31/5d2111/3d2111/3d2111/4d311/3d311/3d311/4d41d41d41用层次分析法软件yaahp得到结果如下：5.4.结果分析 从计算结果看出，各个成对判断矩阵均经过了一致性检验，说明模

24、型的效果比较好。各个因子对总目标，即风险等级的权重汇总如下：第一准则层：一致性比例对总目标的权重lambda_max水资源总量0.06880.28643.0715总用水量0.00000.28643其他外部因素0.00430.42723.0044第二准则层各个因子：一致性比例对总目标的权重lambda_max降雨量0.00190.06164.005再生水量0.00190.10494.005南水北调0.00190.11994.005农业用水0.00560.06644.015工业用水0.00190.0994.005生活及其他用水c60.00190.1214.005污水总量0.00190.11934.

25、005人口规模80.00190.20344.005水利工程c90.00190.10444.005从上述数据对各因子作权重排序如下：人口规模80.2034生活及其他用水0.121南水北调0.1199污水总量0.1193再生水量0.1049水利工程c90.1044工业用水0.099农业用水0.0664降雨量0.0616结合结果中的数据，可以看出：1.外部因素包括污水总量，人口规模，水利工程设施等对风险等级的权重最大，对这些因素作适当的控制可以较好的降低风险等级；而外部因素中，人口规模有占有最大的比重，达到0.4762，从北京历年人口数量上可以看出，自1979年以来，人口数量基本上呈稳步上升的趋势，

26、其走势图如下：所以人口的迅速增长对缺水风险的影响还是比较大的，从后面生活用水对风险度得影响也可以看出，人口的的增长主要不断加大了生活用水量，加之浪费又比较严重的话，会导致生活用水量的严重不足，因而仅仅依靠控制人口是不太现实的，所以大力宣扬节约用水的良好作风才是最关键的；2.水资源总量，即水的来源如果不能较好的保障，将会引起较高的缺水风险，所以，应该继续加大再生水的利用，同时利用好南水北调工程所带来的效用；3.由表6和表7可以看出，再生水量和南水北调都会对缺水量造成较高的风险，从数据上也可以看出自从2003年加大再生水的利用之后，缺水程度也有减轻的趋势，所以应该继续加大再生水的利用量，同时充分利用南水北调工程所带来的水量；5.5.模型评价层次分析法的优点：系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）； 实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题； 简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法