2983.抗旱的优化方案

1、抗旱的优化方案摘要：本论文对某农村的严重缺水问题建立了数学模型。我们对该怎样解决打井和铺设管道等问题进行了分析讨论，并用线性规划模型对费用支付进行了优化，目的是使总开资尽量最少，在满足供水量的条件下尽量节省费用的开资。通过分析，在最近三年内由于管道不能铺设完成对此应以打井为主及怎样选井进行研究。利用最小二乘法拟合的数学思想及matlab绘图建立了一个模型拟合出近五年来原有四口井所能提供的水量。并分别运用线性规划和0-1规划建立了模型二和模型三选出前三年所需打井的个数及编号，最后运用电子表格及lingo软件对其进行求解，解决了其缺水问题并使其供水量最大且费用最低关键词：管道铺设 线性规划 最小二

2、乘法拟合 0-1线性规划 一、问题的重述现对位于我国西南的缺水地区其利用村里现有的四口水井生存。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量逐渐减少。如数据中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。（年份产水量编号 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 1号井 32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7 ；2号井 21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0 ；3号井 27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2 ；4号井 4

3、6.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3）2009年以来由于水井的水远远不能满足生存需要，以致大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。对此，政府将给予支援从两方面考虑：一是地质专家经过勘察在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同如数据8个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号 1 2 3 4 5 6 7 8 打井费用 5 7 5 4 6 5 5 3 当年产水 25 36 32 15 31 28 22 12。而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少；二

4、是从长远考虑、可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。铺设管道的费用为p=0.66q0.51l(万元）。其中q表示每年的可供水量（万吨/年）,l表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间、且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后、每年能够通过管道至少提供100万吨水。 政府从2010年开始、连续三年、每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道、为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水、请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划、以使整个计划的总开支尽量节省二、问题分析由题意知：0

5、1到09年原有四口井的产水量如下：年份产水量编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.3利用matiab绘出四口井产水的曲线图：（详见附表一）现就对于解决该村用水问题政府给出的每年60万元，如何使打井和铺设管道的花费最少且供水量最大。对此我们考虑怎样选井，选那口井最终达到话费

6、最低。我们对此选用线性规划，0-1规划等数学方法进行解答。三、模型的假设及符号说明1.模型假设：（1）假设各个打井位置取水量和预计一样且互不影响；（2）假设管道能够在三年内顺利完工且第四年便能供水；（3）假设每口水井的年产量以固定10%的速率减少；（4）假设该村的用水仅由打井和铺设管道提供；（5）假设不考虑小蓄水池的作用和利息的因素。2.符号说明：xi：表示各年打井需产生的水量（i=1,2，3）ni:表示原有井的产水量（i=1,2,3,4）p：表示铺设管道的费用l：表示管道长度q： 表示每年可供水量p1：表示打井所需总费用p2：表示每年打井所需费用xl：表示10年往后的年份(i=10,11,1

7、2,)xb：表示打井的序号（b=1,2,3 8）q1:表示原四口井在10年所提供的水量q2: 表示原四口井在11年所提供的水量q3: 表示原四口井在12年所提供的水量四、模型的建立与求解4.1模型建立：模型一: 由题意知：01到09年原有四口井的产水量如下：年份产水量编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723

8、.020.018.917.516.3二号井一号井利用matiab绘出四口井产水的曲线图：（详见附表二）1234567892468101214161820221234567892224262830323412345678910121416182022242628三号井234567891520253035404550四号井 模型二：运用如下线性方程（具体见附表三） 目标函数：min=x1+x2+x3 约束条件：. x1=150-q1 x2+x1*（1-10%）=160-q2s.t. x3+x2*（1-10%）+x1*（1-10%）2=170-q3 2.71*x1+1.9*x2+x3=150+160

9、+170-(q1+q2+q3)模型三：利用0-1线性规划（详见附表四），列目标函数为：min=5*1+7*2+5*3+4*4+6*5+5*6+5*7+3*8约束条件为：25*1+36*2+32*3+15*4+31*5+28*6+22*7+12*8并用lingo软件求出各年需打井的数量，进而求出各年铺设管道的投资。4.2模型求解：根据已知条件，可以得出：铺设管道费用（万元），p1= (n=1,2,3)因为产水量与费用之间存在关联由模型一得出了关系式 ：n1=-1.2017*xl+33.4639n2=0.3216*xl2-5.5031*xl+25.8857 n3=-2.085*xl+29.9806

10、n4=0.8083*xl2-12.5964*xl+65.7345 通过电子表格演算出了10-14年的现有四口井的产水量 年份20102011201220132014产水量编号1号井21.7308220.8030119.9184219.0645518.250582号井1.4864511.1047680.8210920.6102560.4535583号井9.9971698.9235167.9651697.1097446.3461894号井14.1064612.2081110.565239.1434357.91297647.320943.0394139.2663135.9279932.9633又从2

11、010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水所以10年需打井来提供的水量为：2010年打井需产生的水量为：x1=150-=103（万吨）所以需要打井来维持水量，且使得费用尽可能的低，由此编号12345678打井费用57546553当年产水2536321531282212由模型三解得10年应该选取的井的编号为3,5,6,8号井且其花费的金额为p2=19万元，所以第一年用于铺筑管道的费用p=60-19=41万元。（详见电子表格）因为所打井的水量每年以10%的速率递减，所以来年还需打井才能满足下一年的用水需求；根据以上得：我们应用分析法对其考虑，使其费用低

12、且产水量高，所以打井的顺序见下表：201020112012243,5,6,8 其三年的打井总费用为30万元，铺设管道所需最少费用=0.66*1000.51*20=138.221(万元)，即使得三年的费用支配为：打井需要支出30万元，前三年铺设管道的最小费用为139万元，最后解得在满足该村用水可以满足需求的情况下为该村节省11万元，用于它用。五.模型的评价及推广模型的优点：1）我们利用了lingo软件程序，解决了最优产水问题，因此比较准确；2) 我们在同一时间进行打井和铺设管道使时间达到合理利用；3) 对于实际问题的应用较为合理； 4) 我们利用图表法较为直观。缺点：1）没能合理利用雨水资源；2

13、）模型的最优方案，主观意识决定因素较多，可能对解决实际问题也有不足之处，还需改进；3）模型还存在一些不足，为了使模型简化，有些费用都固定不变，而在实际中是变化的。模型的推广： 1）可以用于油田开采选井问题；2）可用于合理的灌溉工程；3）费用合理支配问题。六.心得体会通过对数学建模的了解，使我感触良多，他所教我们的不单是数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与培养。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼与提高。它还让我们了解了多方面的数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题