第二章 地图的数学基础(3)

1、 等角投影 等积投影 等距投影 任意投影 l 为了保证地形图具有良好的精度，我国目前常采为了保证地形图具有良好的精度，我国目前常采 用的地图投影为以下三种：用的地图投影为以下三种： 1、高斯高斯克吕格投影克吕格投影：适用于（大于或等于：适用于（大于或等于 1：50万）大、中比例尺的地形图万）大、中比例尺的地形图 2、正轴等角圆锥投影正轴等角圆锥投影：适用于小比例尺地形图：适用于小比例尺地形图 （小于或等于（小于或等于1：100万）万） 3、等角正圆柱投影等角正圆柱投影墨卡托投影：墨卡托投影：使用于海使用于海 图制作图制作 500km O O Y X X 55222 423322 6622242

2、 4442222 cos)5814 185( 120 1 cos)1 ( 6 1 cos cos)3302705861( 720 1 cos)495( 24 1 cos 2 1 Blt ttNBltNBlNy BltttNt BltNtBlNtSx )1 (cos 2 1 1 222 Bl 表2-5 高斯克吕格投影长度比 0123 900.000000.000000.000000.00000 800.000000.000000.000020.00004 700.000000.000020.000070.00016 600.000000.000040.000150.00034 500.00000

3、0.000060.000250.00057 400.000000.000090.000360.00081 300.000000.000120.000460.00103 200.000000.000130.000540.00121 100.000000.000140.000590.00134 00.000000.000150.000610.00138 500km O O Y X X 12121314151617181920212223 1380612667278849096102108114120126132 1232527293133353739414345 3969758187 939910

4、5111117123129135 广东省位于哪广东省位于哪 一个带区？一个带区？ 分带的优缺点分带的优缺点: 优点优点: 控制变形，提高地图精度；控制变形，提高地图精度； 减轻坐标值的计算工作量，提高工作效率。减轻坐标值的计算工作量，提高工作效率。 鉴于高斯投影的鉴于高斯投影的带与带之间的同一性带与带之间的同一性及及每个带内上下、每个带内上下、 左右的对称性左右的对称性，全球全球60个带或个带或120个带，只需要计算各自的个带，只需要计算各自的1/4 个带各经纬线交点的坐标值，通过冠以相应的带号和坐标值变个带各经纬线交点的坐标值，通过冠以相应的带号和坐标值变 负，就可以得到全球每个投影带的经纬

5、网坐标值。负，就可以得到全球每个投影带的经纬网坐标值。 不足不足: 分带投影亦带来邻带互不联系，邻带间相邻分带投影亦带来邻带互不联系，邻带间相邻 图幅不便拼接的缺陷。图幅不便拼接的缺陷。 高斯投影坐标网高斯投影坐标网 通常在地图上绘有一种或两种坐标网，即经纬网和方里网。 (1) (1) 经纬网经纬网 概念:指由经线和纬线所构成的坐标网，又称地理坐标网。 重要作用：(1)编制地图的控制系统之一，用以确定地面点 和整个地形的实地位置；(2)是计算和分析地图投影变形 的依据，用来确定地图比例尺和量测距离、角度和面积。 差异？差异？ 经纬网的表现形式经纬网的表现形式: : 1：50万地形图，除在内图廓

6、线上绘出加密分划短线外，还 在图面上直接绘出经纬网(图248b)； 在1：5000至1：25万比例尺地形图上，经纬线只以内图廓 线形式直接表现出来，并在图幅四个角点处注出相应的 度数。在1:25万地形图上，除在内图廓线上绘有分度带 外，在图内还以10为单位绘出加密用的十字线。 高斯投影坐标网高斯投影坐标网 (2)(2)方里网方里网 概念概念: :高斯-克吕格投影带内布置的平面直角坐标系统-直角坐标网称方 里网。它是由两组平行的直线两组平行的直线所构成的方格网，距离高斯投影带纵、 横坐标轴均为整公里数均为整公里数。 规定：规定： 投影带的中央经线中央经线为纵坐标轴X轴，赤道赤道为横坐标轴Y轴，中

7、央经线与 赤道的交点交点为原点。 比较：比较：经纬线在实地和地图上均为曲线， 其单位长度不是常数，不便于在图上迅 速而精确地确定所需要的距离和方向。 因而，在大比例尺地形图上除绘有地理 坐标网外还加绘了直角坐标网。 地形图比例尺地形图比例尺 方里网图上间隔（方里网图上间隔（cm） 相应实地距离（相应实地距离（km） 1 10000101 1 2500041 1 5000021 1 10000022 1 250000410 方里网间隔 地形图比例尺地形图比例尺图幅经差图幅经差图幅纬差图幅纬差经纬线间隔经纬线间隔 1 25000013011510 1 500000323020 经纬线网间隔 由于我

8、国位于北半球，x值全为正值。在每个投影带中有一半y值为 负值。为避免计算中因出现负值易造成的差错，规定纵坐标轴向西平移 500km，以超过半个投影带的最大宽度，这样就使全部横坐标值均为正 值。此时中央经线的y值不是0而是500km。 地图上标注的地图上标注的y y值是根据值是根据“高斯高斯克吕格投影坐标表克吕格投影坐标表”上查取的上查取的y y值加上值加上 500km500km后的数值后的数值。 如图第20投影带中的A、B两点，横坐标的查表值分别为； yA245 863.7(m) yB一245 863.7m 纵坐标轴西移500km后，地图上的标注分别为； yA245 863.7十500 000

9、745 8637(m) yB一245 863.7十500 000245 1363（m) XA、XB值不变。 通用坐标表示法通用坐标表示法: : 因高斯投影带间的同一性，带内某点， 只要其纬度及与中央经线的经差值相等，其坐标值在 60(或120)个带内都相同，即坐标成果在各带均通用；为 了加以区别，特规定在横坐标值加上横坐标值加上500km500km后，于百于百kmkm的的 位数前面冠上所在的带号位数前面冠上所在的带号,化成通用坐标。 上例中A、B两点的通用Y坐标为： yAyA20 745 86320 745 8637 (m)7 (m) yByB20 245 13620 245 1363 (m)

10、3 (m) 是指一幅地形图上所绘的相邻投影带的坐标网，即重 叠绘出相邻投影带的坐标系统(图251)。 为了能使邻带的相邻图幅拼接使用，便于计算位于两 带里两地点间的距离和方向，规定在一定范围内将本带坐 标网延伸到邻带图幅中去，使邻带图幅上具有本带和邻带 的两种方里网系统 (图252) 。 Y Y X（ X） O O BS BN B2 B1 纬度范围纬差经差 BN B2 B1 u 大于等于大于等于1：50万的地形图万的地形图 u 小于等于小于等于1：100万的地形图万的地形图 u 航海图航海图 （六）其它投影类型（六）其它投影类型 P73 一、伪圆锥投影一、伪圆锥投影 伪圆锥投影是对圆锥投影的经

11、纬线形状加以改变而成的。纬线形状类 似圆锥投影为同心圆弧，圆心位于中央经线上，但经线则不同，除中央经 线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的曲线。 伪圆锥投影只有等积投影和任意投影，最常用的是等积伪圆锥投影。 （六）其它投影类型（六）其它投影类型 等积伪圆锥投影。它是由法国水利工程师彭纳于1952年首 先提出并应用于法国地形图而得名。彭纳投影的纬线为同心圆 弧，其长度比等于1，中央经线为直线，其长度比等于1，其他 经线为对称于中央经线的曲线。 彭纳投影主要用于编制小比例尺的大洲图。 二、伪圆柱投影二、伪圆柱投影 伪圆柱投影是在圆柱投影经纬线形状的基础上，规定其伪圆柱投影是在圆柱投影经纬线形

12、状的基础上，规定其 纬线纬线投影的形状与圆柱投影相似即纬线为投影的形状与圆柱投影相似即纬线为平行直线平行直线，但经线，但经线 则不同，除则不同，除中央经线中央经线为为直线直线外，外，其余的经线其余的经线均为对称与中央均为对称与中央 经线的经线的曲线曲线。 按变形性质，伪圆柱投影没有等角投影。因为投影后按变形性质，伪圆柱投影没有等角投影。因为投影后 经纬线不正交。只有经纬线不正交。只有等积和任意投影等积和任意投影两种。两种。 （六）其它投影类型（六）其它投影类型 1.桑逊投影 它是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影。是法国人桑逊于1650 年所创。纬线为间隔相等的平行线，经线为对称与中央经线的正

13、弦曲线。 在每一条纬线上经线间隔相等。这种投影的所有纬线长度比均等于1。 纬线长度无变形，中央经线长度比等于1，其他经线长度比均大于1，而 且离中央经线越远，其数值越大。 赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线越远变形越大。所 以这种投影适合于作赤道附近南北延伸的地区地图。 2.摩尔魏特投影 是一种经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。由德国人摩尔魏特于 1805年设计而得名。 纬线为间隔不等的平行线，中央经线为直线，其他经线为对称与中央经 线的同中心的椭圆，在离中央经线的经差正负90度的经线为一个圆，圆 的面积等于地球面积的一半。在赤道上经线间隔相等。 在这种投影上没有面积变形。长度和角度

14、都有变形，赤道长度比等于0.9， 中央经线和南北纬40度的两交点是没有变形的点，从这两点向外变形逐 渐增大。 英国1962年出版的飞利浦世界地图集中的世界地图采用这种投影 。 3.古德投影 从伪圆柱投影的变形情况来看离中央经线越远变形越大，为了减小远 离中央经线部分的变形，美国地理学家古德于1923年提出了一种分瓣方法， 就是在地图上几个主要制图区域的中央都定一条中央经线，将地图分为几 个部分，按同一主比例尺及统一的经纬差展绘地图，然后沿赤道拼接起来， 这样每条中央经线两侧投影范围不宽，变形就小一些。 （六）其它投影类型（六）其它投影类型 三三 伪方位投影伪方位投影 正常情况下纬线投影为同心圆

15、，经线为对称于中央直 经线的曲线。 伪方位投影的最大特点： 等变形线可为椭圆形，三角形，三叶玫瑰 形，方形等规则的几何图形。 （六）其它投影类型（六）其它投影类型 四四 多圆锥投影多圆锥投影 1、多圆锥投影的产生： 在切圆锥投影中，离开标准纬线越远，变形越大。如果 制图区域包含纬差较大时，则在边远部分会产生相当大的变 形，因此采用双标准纬线圆锥投影比单标准纬线圆锥投影变 形要小些。如果有更多的标准纬线则变形会更小些，多圆锥 投影就是由这样的设想建立的。 假设有许多圆锥与球 面上的纬线相切，将球面 上的经纬线投影到这些圆 锥面上，然后沿同一母线 方向将圆锥面剪开展平， 并在中央经线上排接起来 就

16、得到了所谓多圆锥投影。 在多圆锥投影中，由于圆 锥顶点不是一个，所以纬 线投影为同轴圆弧。圆心 在中央经线上，中央经线 投影为直线。其他经线投 影为对称中央经线的曲线。 由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所 以它经常用于编制世界地图。 2.2.等差分纬线多圆锥投影等差分纬线多圆锥投影 这个投影是由我国地图出版社于这个投影是由我国地图出版社于19631963年设计的一种不等分年设计的一种不等分 纬线的多圆锥投影，纬线的多圆锥投影，是我国编制是我国编制“世界地图世界地图”常用的一种投影。常用的一种投影。 这种投影的特点是赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其这种投影的特点是赤道和中

17、央纬线是互相垂直的直线，其 他纬线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上。他纬线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上。 这种投影的变形性质属这种投影的变形性质属 任意投影。任意投影。 我国绝大部分地区的面积变我国绝大部分地区的面积变 形在形在10%10%以内以内， 面积比等于面积比等于1 1的等变形线自的等变形线自 东向西横贯我国中部，东向西横贯我国中部， 中央经线和纬线中央经线和纬线4444度的交点度的交点 处没有角度变形。处没有角度变形。 我国境内绝大部分地区的角我国境内绝大部分地区的角 度变形在度变形在1010度以内，少数地度以内，少数地 区在区在1313度左右。度左右。

18、我国位于地图的中央部位，我国位于地图的中央部位， 图形较正确，图形较正确，图形上太平洋图形上太平洋 保持完整，利于显示我国与保持完整，利于显示我国与 邻近国家的水陆联系。邻近国家的水陆联系。 无论是编绘地图还是使用地图，对地图投影的选择是非常重要无论是编绘地图还是使用地图，对地图投影的选择是非常重要 的。在选择地图投影时，受到许多地图因素的影响，这就需要正确的。在选择地图投影时，受到许多地图因素的影响，这就需要正确 处理好主要矛盾和次要矛盾的关系，一般的讲，在选择投影时，需处理好主要矛盾和次要矛盾的关系，一般的讲，在选择投影时，需 要考虑如下几个条件：要考虑如下几个条件： 1.1.制图区域的地

19、理位置、形状和范围制图区域的地理位置、形状和范围 任何一幅地图都希望变形减小到最小程度，这就要求投任何一幅地图都希望变形减小到最小程度，这就要求投 影的等变形线基本符合制图区域的轮廓，以保证制图中心地区影的等变形线基本符合制图区域的轮廓，以保证制图中心地区 和靠近中心的地区变形较小。和靠近中心的地区变形较小。 u制图区域是圆形或两极地区和东、西半球图多采用方位投影；制图区域是圆形或两极地区和东、西半球图多采用方位投影； u东西延伸且位于中纬度地区的国家，如中国采用正轴圆锥投影。东西延伸且位于中纬度地区的国家，如中国采用正轴圆锥投影。 u赤道附近的东西延伸国家易采用正轴圆柱投影。赤道附近的东西延

20、伸国家易采用正轴圆柱投影。 2. 2. 制图比例尺制图比例尺 不同比例尺地图对精度的要求不同，导致投影选择也不不同比例尺地图对精度的要求不同，导致投影选择也不 相同。相同。 3.3.地图内容地图内容 地图内容不同对地图投影要求也不一样。地图内容不同对地图投影要求也不一样。 例如例如人口图、人口图、地质图、经济图一般多采用等积投影地质图、经济图一般多采用等积投影 例如例如 航海图、航空图、军用图、航海图、航空图、军用图、风、洋流图风、洋流图等多采用等多采用 等角投影。等角投影。 交通图等采用等距离投影交通图等采用等距离投影 4.4.地图的出版方式地图的出版方式 对于单幅地图来说，选择投影就比较简

21、单，但如果它是对于单幅地图来说，选择投影就比较简单，但如果它是 地图集中或一组图中的一幅，就需要考虑它和其余地图的相地图集中或一组图中的一幅，就需要考虑它和其余地图的相 互关系，使他们比较协调一致。互关系，使他们比较协调一致。 5. 5. 地图的用途地图的用途 地图的用途不一样对投影的要求也不同。如地图的用途不一样对投影的要求也不同。如航海图航海图，航，航 空图要求方向正确，多采用空图要求方向正确，多采用等角投影等角投影。教学挂图教学挂图常要求图上常要求图上 各种变形都不太大，因此多采用各种变形都不太大，因此多采用任意投影任意投影。 地图投影变换，主要研究从一种地图投影变换为另一地图投影变换，

22、主要研究从一种地图投影变换为另一 种地图投影的理论。种地图投影的理论。 两曲面和两平面之间存在各种各样的对应关系，其中两曲面和两平面之间存在各种各样的对应关系，其中 点对应即使其中的一种。点对应即使其中的一种。 X、Y为曲面上一点的曲线坐标，为曲面上一点的曲线坐标，x、y为另曲面上对为另曲面上对 应点的曲线坐标。对于平面来说，此曲线坐标为笛卡应点的曲线坐标。对于平面来说，此曲线坐标为笛卡 儿直角坐标。儿直角坐标。 u 其实质是建立两平面场之间点的一一对其实质是建立两平面场之间点的一一对 应关系。应关系。 一、解析变化法一、解析变化法 二、数值变换法二、数值变换法 三、数值三、数值解析变化法解析

23、变化法 解析变化法解析变化法 反解变换法反解变换法 通过中间过渡的方法，反解出原投影点的地理坐 标，代入新投影中求得新投影之坐标。 确定地图资料和新编地图上相应的确定地图资料和新编地图上相应的 直角坐标系的直接联系。这种方法不要求直角坐标系的直接联系。这种方法不要求 反解出原投影点的地理坐标，而直接引出反解出原投影点的地理坐标，而直接引出 两种投影点的直角坐标关系式。它的表达两种投影点的直角坐标关系式。它的表达 式即为：式即为： 解析变化法解析变化法 正解变换法正解变换法 将反解变换法和正解变换法结合在将反解变换法和正解变换法结合在 一起的一种变换方法。通常是反解出原投一起的一种变换方法。通常

24、是反解出原投 影点的平面坐标之一，然后通过正解变换影点的平面坐标之一，然后通过正解变换 求出新投影点的坐标求出新投影点的坐标X、Y。 x , y X, Y 解析变化法解析变化法 综合变换法综合变换法 数值变换法数值变换法 如果原投影点的直角坐标的解析式是不知道的，或如果原投影点的直角坐标的解析式是不知道的，或 不易求出的两种投影点平面直角坐标之间直接联系，这不易求出的两种投影点平面直角坐标之间直接联系，这 时可用近拟方法分解关系式（时可用近拟方法分解关系式（1）为多项式。如下：）为多项式。如下： 数值数值解析变换法解析变换法 u利用数字化仪量取资料图上各经纬度交点利用数字化仪量取资料图上各经纬度交点 的直角坐标值的直角坐标值 x, y 。 u根据直角坐标值，带入多项式，求得地理根据直角坐标值，带入多项式，求得地理 坐标坐标, 即反解数值变换即反解数值变换 u然后将地理坐标带入已知的新编投影方程然后将地理坐标带入已知的新编投影方程 式中进行计算，即可式中进行计算，即可 投影变换示例投影变换示例 投影变换示例投影变换示例 投影变换示例投影变换示例 投影变换示例投影变换示例 投影变换示例投影变换示例 三、地图投影与三、地图投影与