平面向量1——平面向量的概念及线性运算等

1、平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的概念及线性运算、平面向量的概念及线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 教学老师 敬老师 2017/11/18 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 1、向量的有关概念、向量的有关概念 名称名称定义定义 向量向量 既有既有 又有又有 的量叫作向量，向量的大小叫的量叫作向量，向量的大小叫 作向量的作向量的 (或称或称 ) 大小大小 方向方向 长度长度模模 基础知识基础知识 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 名称名称定义定义 零向量零向量

2、的向量叫作零向量，其方向是的向量叫作零向量，其方向是 的，零向量记作的，零向量记作0. 单位向量单位向量 与向量与向量a ，且长度，且长度 的向的向 量，叫作量，叫作a方向上的单位向量，记作方向上的单位向量，记作a0. 平行向量平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线如果表示两个向量的有向线段所在的直线 ，则称这两个向量平行或共线，规，则称这两个向量平行或共线，规 定零向量与任一向量定零向量与任一向量 相等向量相等向量长度长度相等相等且方向且方向 的向量的向量 相反向量相反向量长度长度相等相等且方向且方向 的向量的向量. 长度为零长度为零 同方向同方向为单位为单位1 任意任意 平行或重合

3、平行或重合 平行平行 相同相同 相反相反 基础知识基础知识 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 2向量的线性运算向量的线性运算 向量向量 运算运算 定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律 加法加法 求两个向量和的求两个向量和的 运算运算 三角形法则三角形法则 平行四边形法则平行四边形法则 (1)交换律：交换律：a b ; (2)结合律：结合律：(a b)c 减法减法 求求a与与b的相反向的相反向 量量b的和的运的和的运 算叫做算叫做a与与b的差的差 三角形法则三角形法则 ba (bc) a 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示

4、 向量向量 运算运算 定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律 数乘数乘 向量向量 实数实数与向量与向量a的的 积是一个向量，记积是一个向量，记 作作a，它的长度，它的长度 为为|a| . 它的方向：当它的方向：当 0时，时，a与与a 的方向的方向 ； 当当1时，表示时，表示 向量向量a的有向线段在原方向的有向线段在原方向 (0)或反方向或反方向(0) 上上 ； 当当|0) 或反方向或反方向(|b|，则，则ab； ，为实数，若为实数，若ab，则，则a与与b共线共线 其中假命题的个数为其中假命题的个数为 ( ) A1B2 C3 D4 考点透视考点透视 平面向量平面向量的概念、线性运算

5、、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 答案答案C 不正确两向量不能比较大小不正确两向量不能比较大小 不正确当不正确当0时，时，a与与b可以为任意向量，可以为任意向量， 满足满足ab，但，但a与与b不一定共线不一定共线 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 1平面向量的概念辨析题的解题方法平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特 别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用

6、反 例进行否定也是行之有效的方法例进行否定也是行之有效的方法 2几个重要结论几个重要结论 (1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关向量平行与起点的位置无关. 解题反思解题反思 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 A0 B1 C2 D3 1设设a0为单位向量，若为单位向量，若a为平面内的某个向量，则为平面内的某个向量，则a |a|a0；若；若a与与a0平行，则平行，则a|a|a0；

7、若；若a与与a0平平 行且行且|a|1，则，则aa0.上述命题中，假命题的个数是上述命题中，假命题的个数是 () 实战演练实战演练 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 解析：向量是既有大小又有方向的量，解析：向量是既有大小又有方向的量，a与与|a|a0的模的模 相同，但方向不一定相同，故相同，但方向不一定相同，故是假命题；若是假命题；若a与与a0 平行，则平行，则a与与a0的方向有两种情况：一是同向，二是的方向有两种情况：一是同向，二是 反向，反向时反向，反向时a|a|a0，故，故也是假命题综上也是假命题综上 所述，假命题的个数是所述，假命题的个数是3. 答案：答案

8、：D 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 考点透视考点透视 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 答案答案 (1)D(2)A 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 答案：答案：3 拓展探究拓展探究 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四 边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则 求解，并注意利

9、用平面几何的性质，如三角形中位线、求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、 相似三角形等知识相似三角形等知识 解题反思解题反思 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 A0个个 B1个个 C2个个 D3个个 实战演练实战演练 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 答案：答案：C 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 例例3设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线 (2)试确定实数试确定实数k，使，使kab和和akb共线共线 考点透视考点透视 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示

10、 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 1当两向量共线时，只有非零向量才能表示与当两向量共线时，只有非零向量才能表示与 之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数 法和方程思想的运用法和方程思想的运用 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，证明三点共线问题，可用向量共线来解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 解题反思解题反思 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 实战演练实战演

11、练 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 考向一平面向量基本定理及其应用 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 答案答案6 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 考向二平面向量的坐标运算 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 解决向量的坐标

12、运算问题，关键是掌握线性运算解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算 法则及坐标运算的特点一般地，已知有向线段两端点的法则及坐标运算的特点一般地，已知有向线段两端点的 坐标，应先求出向量的坐标解题时注意利用向量相等坐标，应先求出向量的坐标解题时注意利用向量相等(横、纵横、纵 坐标分别相等坐标分别相等)建立方程建立方程(组组)的思想的思想 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2) A(2，4) B(3，5) C(3,5) D(2,4) 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 答案答案(1)D(

13、2)B 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 (1)求满足求满足ambnc的实数的实数m，n； (2)若若(akc)(2ba)，求实数，求实数k. 审题视点审题视点 (1)向量相等对应坐标相等，列方程向量相等对应坐标相等，列方程 解之；解之；(2)由两向量平行的条件列方程解之由两向量平行的条件列方程解之 考向三平面向量共线的坐标运算 【例例3】 平面内给定三个向量平面内给定三个向量a(3,2)，b( 1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：，请解答下列问题： 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基

14、本定理及坐标表示 (1)一般地，在求与一个已知向量一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可共线的向量时，可 设所求向量为设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的方程，求出 的值后代入的值后代入a即可得到所求的向量即可得到所求的向量 (2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若若a(x1， y1)，b(x2，y2)，则，则ab的充要条件是的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便解题比较方便 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 (2)已知向量已知向量a(m，1)

15、，b(1，2)，c(1,2)， 若若(ab)c，则，则m_. 解析解析(1)由条件中的四边形由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以的对边分别平行，可以 判断该四边形判断该四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 【训练训练3】 (1)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，四边形中，四边形ABCD的边的边 ABDC，ADBC.已知点已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)， 则则D点的坐标为点的坐标为_ 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示 教你审题教你审题 思路思路1 利用向量的夹角公式和模长公式结合待定系数法求解利用向量的夹角公式和模长公式结合待定系数法求解 思路思路2 利用旋转角求解利用旋转角求解 思路思路3 排除法、验证法相结合求解排除法、验证法相结合求解 平面向量平面向量的概念、