数分ch10 定积分在几何学上的应用

1、四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充) 三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积 一、一、 平面图形的面积平面图形的面积 二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 1. 直角坐标情形直角坐标情形 设曲线)0()(xfy与直线 )(,babxax及 x 轴所围曲 则 xxfAd)(d x bao y)(xfy x xxd xxfA b a d)( 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 y o b xa )( 2 xfy )( 1 xfy xxfxfA b a d)()( 21 xxxd 22 ,xyxy在第一象限所围 所围图

2、形的面积 . x xy 2 o y 2 xy x xxd 解解: 由 xy 2 2 xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0( ) 1 , 1 ( 1 xxxAdd 2 2 3 3 2 x 0 1 3 3 1 x 3 1 1 0 A x xy2 2 o y 4 xy xy2 2 与直线 的面积 . 解解: 由 xy2 2 4 xy 得交点 )4,8( , )2,2( )4,8( yyyAd)4(d 2 2 1 18 4 xy所围图形 )2,2( 2 2 1 yy4 4 2 3 6 1 y 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 y yyd 4 2 A a b xo y x 1 2 2 2

3、 2 b y a x 解解: 利用对称性 , xyAdd 所围图形的面积 . 有 a xyA 0 d4 利用椭圆的参数方程 )20( sin cos t tby tax 应用定积分换元法得 0 2 4 Atbsinttad)sin( 2 0 2 dsin4 ttba ba4 2 1 2 ba 当 a = b 时得圆面积公式 xxd o y xab ab o y x )( )( ty tx 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 21 ,tt 则曲边梯形面积 2 1 d)()( t t tttA )( 1 axt对应)( 1 bxt对应 )cos1 (, )sin(tayttax)0( a

4、 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . )cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 ( 2 0 22 t t ad 2 sin4 2 0 42 ) 2 ( t u 令uuadsin8 0 42 uuadsin16 2 0 42 2 16a 4 3 2 1 2 2 3 a 2 0 A x y o a2 ,0)(, ,)(C设求由曲线)(r 及 ,射线 围成的曲边扇形的面积 . )(r x d 在区间,上任取小区间d, 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d)( 2 1 d 2 A 所求曲边扇形的面积为 d)( 2 1 2 A 对应 从 0 变 解解: )0( a

5、ar x a 2 o d d)( 2 1 2 a 2 0 A 2 2 a 3 3 1 0 2 23 3 4 a 点击图片任意处点击图片任意处 播放开始或暂停播放开始或暂停 到 2 所围图形面积 . ttadcos8 2 0 42 所围图形的 面积 . 解解: )0()cos1 (aar xa2 o d d)cos1 ( 2 1 22 a 0 2A 0 2 a d 2 cos4 4 (利用对称性) 2 t令 2 8a 4 3 2 1 2 2 2 3 a 2 coscos21 )2cos1 ( 2 1 a a2 o x y d)cos1 ( 2 1 22 a 与圆 所围图形的面积 . 解解: 利用

6、对称性 , )0()cos1 (aar 2 2 2 1 aA 2 22 2 1 aa d)2cos 2 1 cos2 2 3 ( 所求面积 )2 4 3 ( 2 1 22 aa 22 2 4 5 aa ar 2 a 2sin 2 a 所围图形面积 . 解解: 利用对称性 , 2cos 22 ar d2cos 2 1 2 a 4 0 4 A 4 0 2 a)2(d2cos 0 则所求面积为 4 2 a 思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆 sin2ar 所围公共部分的面积 . 2A dsin 2 0 2 6 a d2cos 2 1 4 6 2 a y ox 4 4 答案答案: 定义定义: 若在弧

7、 AB 上任意作内接折线 , 0 M 1i M i M n M A B y o x 当折线段的最大 边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. ii MM 1 定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) n i 1 0 lim s 则称 sd y xab o )()(bxaxfy )(xfy 弧长元素(弧微分) : xxxd xyd1 2 因此所求弧长 xys b a d1 2 xxf b a d)(1 2 22 )(d)(ddyxs )( )( )( t ty tx 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 ttt

8、sd)()( 22 tttd)()( 22 22 )(d)(ddyxs )()( rr ,sin)(,cos)(ryrx令 因此所求弧长 d)()( 22 rrs d)()( 22 yx d)()( 22 rr 则得 sd 弧长元素(弧微分) : (自己验证) )ch( c x c c x c csh 1 )(chbxb c x cy 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解解: xysd1d 2 x c x dsh1 2 x c x dch b x c x s 0 dch2 c x c sh2 0 b c b csh2 2 ch xx ee x ) (chx 2 sh xx ee x ) (sh

9、x xsh xch c xbb o y 下垂 悬链线方程为 tty x dcos 2 解解:,0cosx 22 x xysd1 2 2 2 的弧长. xxd)cos(12 2 0 2 x x d 2 cos22 2 0 0sin222 2 2 x 4 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a 一拱)20(t 的弧长 . 解解:ts t y t x d)()(d 2 d d2 d d )cos1 ( 22 tata 22 sintd ttad)cos1 (2 t t ad 2 sin2 t t asd 2 sin2 2 0 2 cos22 t a 0 2 a8 x y oa2 d

10、 222 aa 相应于 02 一段的弧长 . 解解: )0( aar x a2 o ar d)()( 22 rrsd d1 2 a d1 2 0 2 as 2 1 2 a 2 1ln 2 1 0 2 )412ln( 2 41 22 a a 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在 则对应于小区间d,xxx的体积元素为 xxAVd)(d 因此所求立体体积为 xxAV b a d)( x a b xxxd )(xA 上连续, x y oa bx y oa b )(xfy 2 )(xf 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 轴绕xbxaxfy)()( xd b a V 当考虑连续曲

11、线段 )()(dycyx 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 2 )(yyd d c V x x o y )(yx c d y a y x b 1 2 2 2 2 b y a x 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程 )( 22 axaxa a b y 则 xxa a b a d)(2 2 0 2 2 2 (利用对称性) 32 2 2 3 1 2xxa a b 0 a 2 3 4 ab o a V 0 2xy d 2 x tby tax sin cos 则xyV a d2 0 2 ttabdsin2 32 2 2 ab 3 2 2 3 4

12、 ab 1 0 2 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 . 3 4 3 a x y oa2 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a的一拱与 y0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 xyV a x d 2 0 2 利用对称性利用对称性 2 0 22 )cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2 0 33 t t ad 2 sin16 0 63 uuadsin32 2 0 63 3 32 a 6 5 4 3 2 1 2 32 5a a y ) 2 ( t u 令 x y oa2a

13、 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( aa2 yyxV a y d)( 2 0 2 2 22 )sin(ttattadsin 2 yyx a d)( 2 0 2 1 )( 2 yxx 22 )sin(ttattadsin 0 注意上下限 ! 2 0 23 dsin)sin(tttta 33 6a注注 )( 1 yxx 分部积分 对称关于 2 2 0 2 dsin)sin(tttt 2 0 322 d)sinsin2sin(tttttt)( tu令 uuusin)2( 22 uu 2 sin)(2 uu dsin 3 (利用“偶倍奇 零”) 0 dsin4uuu 0 2 dsi

14、n4uu 2 4uudsin8 2 0 2 22 1 84 2 2 6 a2 柱壳体积 xxxd y 也可按柱壳法求出 y V yx2 柱面面积 xyxd2 )cos1 ( )sin( tay ttax xyxV a y d2 2 0 2 )sin(tta)cos1 (ta 22 td 0 2 偶函数 y V ttattad)cos1 ()sin(2 22 2 0 2 0 43 d 2 sin)sin(8t t tta 2 t u 令 0 43 dsin)2sin2(16uuuua 2 uv令 vvvvadcos)2sin2(16 43 2 2 奇奇函数 33 6a 轴所围图及表示xtxxfy

15、tV)0(, )()( )(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: . )(2)(tftV 证证: x )(xf xo y t xxd 利用柱壳法 xxfxtVd)()(2d 则 xxfxttV t d)()(2)( 0 xxft t d)(2 0 xxfx t d)(2 0 xxftV t d)(2)( 0 )(2tft)(2tft )(2)(tftV 故 并 与底面交成 角, 222 Ryx 解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 tan)( 2 1 )( 22 xRxA)

16、(RxR R xxRV 0 22 dtan)( 2 1 2 32 3 1 tan2xxR 0 R tan 3 2 3 R 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . o R x y x o R x y 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? ),(yx )(yA 提示提示: tan2yx 22 tan2yRy V R 0 tan2yyRyd 22 ab z x y c o 垂直 x 轴的截面是椭圆 1 )1 ()1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a x c z b y 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所围立体(椭球体) 解解: 它的面积为

17、)1 ()( 2 2 a x bcxA 因此椭球体体积为 xbc a x d)1 ( 2 2 bc2 0 a bca 3 4 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . )(axa a V 0 2 x 2 3 3a x x 的体积. ox 1 2 y B C 3 A 13 2 xy 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解解: 利用对称性 , y 10 x,2 2 x 21 x,4 2 x 故旋转体体积为 V432xxd)2(32 1 0 22 xxd)1 (236 1 0 22 xxd) 1(2 2 1 22 xxd) 1(2 2 0 22 15

18、448 在第一象限 xxd)4(32 2 1 22 x y oa b 设平面光滑曲线, ,)( 1 baCxfy 求 上的圆台的侧面积位于d,xxx sySd2d 积分后得旋转体的侧面积 xxfxfS b a d)(1)(2 2 ,0)(xf且 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: )(2xf xxfd)(1 2 x y oa b )(xfy a b x x y o )(xfy a b x sySd2d 侧面积元素 xyd2 sd xd xyd2因为 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 )( )( )( t ty tx 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的

19、不是薄片侧面积S 的 )(2t tttd)()( 22 S 侧面积为 xR y o 上绕在, 21 222 RRxxxRyx x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解解: 对曲线弧 , 21 22 xxxxRy 应用公式得 2 1 2 x x S 22 xR 2 1 22 xR x xd 2 1 d2 x x xR)(2 12 xxR 当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式 2 4RS 1 x 2 x o z y x 一周所得的旋转体的表面积 S . 解解: 利用对称性 2 0 22 Sta 3 sin 2 2 ttasincos3 2 td 2 0 42 dcossin12 ttta

20、ta 52 sin 5 1 12 0 2 2 5 12 a ttacossin3 2 绕 x 轴旋转 taytax 33 sin,cos taytax 33 sin,cos a 星形线是内摆线的一种. t 点击图片任意处点击图片任意处 播放开始或暂停播放开始或暂停 大圆半径 Ra 小圆半径 4 a r 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程参数方程方程 极坐标方程 22 )(d)(ddyxs弧微分: d)()(d 22 rrs 直角坐标方程 上下限按顺时针方向 确定 直

21、角坐标方程 注意注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小 2 1 d)()( t t tttA d)( 2 1 2 A b a xxAVd)( 旋转体的体积 2 )(yxA绕 x 轴 : 4. 旋转体的侧面积 sySd2d侧面积元素为 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) yxxA2)( 绕 y 轴 : (柱壳法) )(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 ( yAd 3 1 2 yx 032 yx y x o 1 3 y )32(y 2 y 3 32 yd 3 1 2 41y yd 3

22、1 2 21 弧线段部分直线段部分 )52ln()376ln( 4 1 55373 s 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. )()( 222 bRRbyx绕 x 轴 ox y R b R 上上 半圆为 22 xRby y 22 xR x 下下 222 )(xRb 222 )(xRb R V 0 2xd bR 22 2 求体积 : 提示提示: 方法方法1 利用对称性 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . R b R Vdy2x2yd Rb Rb V4 ox y ybyRyd)( 22 y bR 22 2 说明说明: 上式可变形为 2 RVb2d 2 bR 2

23、0 上上 半圆为, 22 xRby 下下 y 22 xR x 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). dd 2 bRV ox y R b R R 0 2 )(2 22 xRbxyd1 2 R 0 2)(2 22 xRbxyd1 2 相同二者 2 y R b 0 8xyd1 2 bR 2 4 利用对称性 RS2b2 S 上式也可写成 d2bR 2 0 上上 半圆为, 22 xRby 下下 y 22 xR x 它也反映了环面微元的另一种取法. 解：解： 1. 求曲线所围图形的面积.1lnlnyx 显然1ln,1lnyx y ox e 1 e 1 e 1 1 e eyeexe 11 , xln ,ln x ,ln