轨迹方程的求法

1、 求曲线方程的步聚： 1、建立适当的直角坐标系，并设动点坐标 2、列出动点满足的条件等式 3、列方程 4、化简 5、检验 1）已知给定长度的线段 2）已知两条垂直的直线 3）对称图形 如何建立合适的直角坐标系？ 定义法定义法 若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件 时，可以利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的时，可以利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的 轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出 现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。 以下举一个例子

2、说明：以下举一个例子说明： 1. 1.定义法定义法 1 1ABCBC=aAsinC-sinB=sinA 2 A. 【例 】在中，已知，当动点 满足条件时， 求动点 的轨迹方程 22 22 BCxBCy. 1AB AC1BC sinC-sinB=sinA-= 22R2R22R 1 AB-AC=a. 2 A2c=a. xya -=12m=AB-AC= mn2 解：以边所在直线为 轴，以线段的垂直平分线为 轴建立直角坐标系 因为，由正弦定理得：， 所以（定值） 根据双曲线定义， 点的轨迹方程是双曲线的右支（除顶点），它的焦距是 设双曲线方程为：，则，所 2 2 2222 2222 22 aa m=m

3、 = 416 aa3axy n =c -m =() -=A-=1(x0) a3a21616 1616 2R R 以， 又，故动点 的轨迹方成为： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等且等于 （ 是三角形外接圆半径） 直译法直译法 动点直接与已知条件联系，直接列动点的关系式，即可求动点直接与已知条件联系，直接列动点的关系式，即可求 得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能 单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间 步骤。步骤。 以下举一个例子说明：以下举一个例子

4、说明： 2. 2.直译法直译法 求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹 方程。 P A Bx y o 22 (2)2 |xyx 变式变式：外切改为相切呢？ 解解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得 222 (2)(2 |)xyx 即 -4x+y2=4|x| 得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x0) 2【例 】 x 已知ABC底边BC的长为2,又知tanBtanC=t(t0).(t为常数).求 顶点A的轨迹方程. B C A 所求的轨迹方程为 tx2+y2=t y o 变式变式：把tanBtanC=t(t0)改为C=2B呢？ tanC=tan2B 2 2tan 1tan B

5、B 解解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线 为y轴，建立如图直角系。则B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y). tan,tan ( 1)1 ABAC yy BKCK xx 又tanBtanC=t (x 1) 3【例 】 相关点法相关点法 如果动点如果动点P P（x,yx,y）依赖于已知曲线上另一动点）依赖于已知曲线上另一动点Q Q （u,vu,v）( (这种点叫相关动点这种点叫相关动点) )而运动，而而运动，而Q Q点的坐标点的坐标u u、 v v可以用动点可以用动点P P的坐标表示，则可利用点的坐标表示，则可利用点Q Q的轨迹方程，的轨迹方程， 间接地求得间接地求得P P点的轨

6、迹方程点的轨迹方程. .这种求轨迹方程的方法这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法叫做变量代换法或相关点法. .此类问题的难度属中档此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。易的题目。 以下举一个例子说明：以下举一个例子说明： 3.3.相关点法相关点法 过双曲线过双曲线x2-y2=1 上一点上一点Q引直线引直线x+y=2的垂线的垂线,垂足为垂足为N,求求 线段线段QN的中点的中点P的轨迹方程的轨迹方程. 4【例 】 解

7、:设点P,Q的坐标分别为P(x,y),Q(u,v),则N点坐标为(2x-u,2y-v). 点N在直线x+y=2上, 2x-u+2y-v=2 又PQ垂直于直线x+y=2, 所以 联立 得: 又点Q在双曲线上,即u2-v2=1,即得动点即得动点P的轨迹方程为的轨迹方程为: 2x2-2y2-2x+2y-1=0 1, yu xv 即x-y+v-u=0 31 1 22 13 1 22 uxy vxy 求圆求圆x2+y2-2x+4y=0关于直线关于直线x-y=0对称的圆方程。对称的圆方程。 练习练习 3 如图如图, ,过点过点A(-3,0)A(-3,0)的直线的直线l l与曲线与曲线 ：x x2 2+2y

8、+2y2 2=4=4交于交于C,BC,B两两 点点. .作平行四边形作平行四边形OBPCOBPC，求点，求点P P的轨迹。的轨迹。 A o x y B C P G 解法一：利用韦达定理解法一：利用韦达定理 解法二：点差法解法二：点差法 连连PO交交CB于于G. 设设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则则 x x1 12 2+2y+2y1 12 2= 4= 4 x x2 22 2+2y+2y2 22 2=4=4 作差，得作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ 2(y2-y1) (y2+y1)=0 即即x0+2y0k=0 又又k= 0 0 3 y x 解得，

9、解得， x0= 2 2 6 12 k k 2 3 12 k k y0= x= 2 2 12 12 k k 2 6 12 k k y= 因此因此 消去消去k,得得(x-3)2+2y2=9 故所求轨迹为故所求轨迹为(3,0)为中心，焦点在为中心，焦点在x轴的椭圆轴的椭圆. ? 4.4.参数法参数法 5【例 】 A B Q P x y o G 变式：已知圆：变式：已知圆：x2+y2=r2,定点定点A(a,0),其中其中a，r0.P,B是圆上两是圆上两 点，作矩形点，作矩形PABQ，求点，求点Q的轨迹。的轨迹。 设设P(xP(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则

10、222 11 222 22 012 012 2 2 xyr xyr xaxxx yyyy 又又ABABPA,PA, 所以所以0AB AP x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=a(x=a(x1 1+x+x2 2)-a)-a2 2=ax=ax即即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0, (x,y) (1) (2) (3) (4) (5) (3)(3)2 2+(4)+(4)2 2, , 得得:(x+a):(x+a)2 2+y+y2 2=2r=2r2 2+2(x+2(x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2) ) 结合结合(5),得点得点Q的坐标满足方程的坐标满足方程x2+y

11、2=2r2-a2 解：连解：连PB,AQPB,AQ交于点交于点G G。设。设Q(x,y),G(xQ(x,y),G(x0 0,y,y0 0),),则则 则则x+a=2xx+a=2x0 0,y=2y,y=2y0 0. 讨论讨论: (i) , 表示原点为圆心表示原点为圆心, 为半径的圆为半径的圆. (ii) , 表示原点表示原点. (iii) , 无轨迹无轨迹. 2ra 22 2ra 2ra 2ra A B Q P x y o G 又又ABABPA,PA, 所以所以0AB AP (x,y) (1) (2) (3) 另解：设另解：设Q(x,y),G(xQ(x,y),G(x0 0,y,y0 0),),则

12、则x+a=2xx+a=2x0 0,y=2y,y=2y0 0. . 设设B(rcos ,rsin ),P(rcos ,rsin ),B(rcos ,rsin ),P(rcos ,rsin ),则则 (coscos) (sinsin) xar yr 22 (coscossinsin)(coscos)0rara 22 cos()(coscos)0rara即 1 1、抛物线、抛物线 的顶点的轨迹方的顶点的轨迹方 程是程是 。 22 2coscos2cosy xx y=2x,11x 练习练习 4 交轨法交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线 的方程直接求出交

13、线的方程，即为所求动点的方程直接求出交线的方程，即为所求动点 的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交 轨法。此类问题难度较大，曾经在高考压轴轨法。此类问题难度较大，曾经在高考压轴 题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把 握曲线相交的性质就把握了解题的关键。握曲线相交的性质就把握了解题的关键。 以下举两个例子说明：以下举两个例子说明： 5.5.交轨法交轨法 (2010年广东理数年广东理数,20) 已知双曲线已知双曲线 的左右顶点分别为的左右顶点分别为 ，点，点 ， 是双曲线上不同的两动点。是双曲线上不同的两动点。 (1)

14、 求直线求直线 与与 交点的轨迹交点的轨迹E的方程；的方程； (2) 若过若过H(0,h)(h1)的两条直线的两条直线 和和 与轨迹与轨迹E都只都只 有一个交点，且有一个交点，且 ,求求h的值。的值。 1 2 2 2 y x 12 ,A A 11 (,)P x y 11 (,)Q xy 1 A P 2 A Q 1 l 2 l 12 ll 121212 1 122 12 11 122122 1122 . ( , )( , )(,)( ,)( ,). AAPPA A APA P A AxO ORP m nAPA PP x yAR OA R OP mn APPAP 【例6】设 、是一个圆的一条直径的

15、两个端点，是垂直的弦， 求直线与交点的轨迹方程 解：以直线位 轴，圆心 为原点，建立平面直角坐标系，如图. 设 的半径为 ，与交点，则， 因为 、 、 三点共线， 、 222 222 P yn xRmR mnR yn xRRm xyR 、 三点共线， 所以，且 所以即为所求的轨迹方程. A1A2 P P2 P1 Ox y AB CD E F G P Ox y 04 4 . aABCDAB BCaOABEFGBCCDDA BECFDG PGEOF BCCDDA P 【例7】（2003年高考数学全国卷第22题）已知常数，在矩形中， ， 为的中点.点 、 、 分别在、上移动， 且为与的交点（如图）.

16、 问：是否存在两个定点，使 到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐.标及此定值；若不存在，请说明理由 ( 2,0)(2,0)(2,4 )(, 2,4 ). (01).(2,4)(24 ,4 )( 2,44). 2(21)0 P PABCaDa BECFDC kkEakFkaGaak BCCDDA OFaxkyGE 解：根据题设条件，首先求出点 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点， 使得 到两定点距离的和为定值.按题意有， 设，由此有， 直线的方程为：，直线 222 22 2 2 2 2 (21)20. ( , )220 () 1. 1 2 1 2 1 2 1 2 akxya k

17、P x ya xyay xya a aP aPP aP 的方程为： 从两直线方程中消去参数 ，得点坐标满足方程， 整理得 当时，点 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 当时，点 的轨迹为椭圆的一部分，点 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当时，点 22 222 11 (, )(, )2. 22 111 (0,)(0,)2 . 222 aaaa aPaaaaa 到椭圆两个焦点和的距离之和为定值 当时，点 到椭圆两个焦点和的距离之和为定值 依题意有依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a) 设设 =k(0k1),由此有由此有 E(2,4ak), F(2-4k,4a),

18、 G(-2,4a-4ak) DA DG CD CF BC BE x y 变式变式 (2003(2003年高考第年高考第2222题变式题变式) )已知常数已知常数a0,a0,在矩形在矩形ABCDABCD中，中， AB=4,BC=4a,OAB=4,BC=4a,O为为ABAB中点，点中点，点E,F,GE,F,G分别在分别在BCBC、CDCD、DADA上移动，上移动， 且且 ,P,P为为GEGE与与OFOF的交点的交点, ,求点求点P P轨迹方程。轨迹方程。 DA DG CD CF BC BE AB C D E F G o P 直线直线OF的方程为的方程为 2ax+(2k-1)y=0 直线直线GE的方

19、程为的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0 从从消去参数消去参数k，得点，得点P(x,y)坐标满足方程坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（去掉（0，0） 解：解：以以ABAB所在直线为所在直线为x x轴轴, ,过过o o垂直垂直ABAB 直线为直线为y y轴轴, ,建立如图直角坐标系建立如图直角坐标系. . 几何法几何法 运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的 知识，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程，知识，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程， 这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决 某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用 此种方法，可