平面向量数乘运算及其几何意义

1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: : a A b B C ba a a A b B b O C ba 特点特点: :尾首相接尾首相接, ,首尾相连首尾相连 特点特点:起点相同起点相同,连终点连终点 b a b B a A BAab O 特点：共起点，连终点，指向被减向量特点：共起点，连终点，指向被减向量 2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: : 3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: : 已知非零向量已知非零向量 ,作出作出 ,你能发现什么？你能发现什么？a aaa 类比上述结论，类比上述结论

2、， 又如何呢？又如何呢？()()()aaa a O a a a ABC 3a P Q a M a N a 3a 与与 方向相同方向相同 3a a 33aa 即 与与 方向相反方向相反 3a a 33aa 即 作一作，看成果作一作，看成果 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量向量， 这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向 规定如下：规定如下： a a | |;aa （1 1） （2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。

3、a a 0 a a 0 特别的，当特别的，当 时，时，00.a 书本书本P90,P90,练习练习2 2练一练练一练: : a )2(3a )2(3a a 6= ba ba 22 a 2 b 2 baba 22)(2 a b )() ; () 1 (2) (3) ; (). aa aaa abab ，是是 实实 数数 ， ） （ aa abab 特别地:（） 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算 例例1、计算下列各式、计算下列各式 a 4)3)(1 ( ababa )(2)(3)2( a 12 b 5 )23 ()32)(3 (cbacba cba

4、 25 书本书本P90,P90,练习练习5 5 练一练练一练: : :思考 ?,),0() 1 (位置关系如何则若baaab ?),0(/)2(是否成立则若abaab /ba 成立成立 向量共线定理：向量共线定理： 0 . ),(,aba ba 向量与 共线 当且仅唯一一个当有实数 使 书本书本P90,P90,练习练习4 4 练一练练一练: : a b ab 即 与 共线ba (0)a A A D D E E C C B B BCAB33 BCAB3 AC3 与与 共线共线 AEAC DEADAE 解解： 例例6.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作a b 、 2 ,3

5、.OBab OCab ,OAab 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之 间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ a b a b 2b 3b A B C O 总结总结: 12 121212 2362348 : ee ABee BCee CDee AB 已知两个非零向量 和 不共线，如果 ， 求证、 、D三点共线. 例例7.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M，且，且 ，你能用，你能用 、 来表示来表示 。 ,ABa ADb a b MA MB MCMD 、 、和和 AB DC M a b 书本书本P92,11P92,11题题练一练练一练:

6、 : 思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心， D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？ B D uuu r B C uuu r A D uuu r D M uuuu r A B C D M BCBD 2 1 DMAD3 共线共线 对于任意一个三角形，对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做三角形的三条高的交点叫做垂心垂心， 三角形的三条中线的交点所为三角形的三条中线的交点所为重心重心， 三角形的三条角平分线的交点叫三角形的三条角平分线的交点叫内心内心， 三角形的三条中垂线的交点叫三角形的三条中垂线的交点叫外心外心 设是两个不共线的向量，设是两个不共线的向量， ，若，若A、B、D三点共线，求三点共线，求