第一章傅里叶变换

1、 积分变换积分变换 中南大学数学与统计学院 王国富 引言引言 n在自然科学和工程技术中，为了把较复 杂的运算简单化，人们常常采用所谓的 变换的方法来达到目的。如十七世纪， 航海和天文学积累了大批观察数据，需 要对它们进行大量的乘除运算。在当时， 这是非常繁重的工作，为了克服这个困 难，1614年纳皮尔（Napier)发明了对数， 它将乘除运算转化为加减运算，通过两 次查表，便完成了这一艰巨的任务。 n十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积 分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪， 英国著名的无线电工程师海维赛德 （Heaviside）为了求解电工学、物理学领域 中的线性微分方程，逐步形成了一种

2、所谓的 符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。 即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。 同时，将函数的微积分运算转化为代数运算， 把复杂、耗时的运算简单、快速完成。 n积分变换的理论和方法不仅在数学的许多分 支中，而且在其它自然科学和各种工程技术 邻域中都有着广泛的应用。 第一章第一章 Fourier变换变换 n1.1 Fourier积分积分 n1.1.1 傅立叶级数的复指数形式傅立叶级数的复指数形式 n设 是以 为周期的周期函数，如果它在 区间 上满足狄利克雷条件： n（1） 在 上连续或者只有有限个 第一类间断点； n（2） 在 上只有有限个极值点。 n那么， 在 上就可以展开成傅氏

3、)(tf T , 22 TT )(tf )(tf )(tf , 22 TT , 22 TT , 22 TT n级数，在 的连续点处，级数的三角形 式为： n (1.1) n其中， )(tf )sincos( 2 )( 1 0 tnbtna a tf n n n ), 2 , 1 , 0( ,cos)( 2 , 2 2 2 ntdtntf T a T T T n ), 2 , 1( ,sin)( 2 2 2 ntdtntf T b T T n n若令 ， n则(1.1)式可写成 n n 0 1 0 1 ( )() 222 () 222 nnnn nn jtjtjtjt nn n jtjt nnn

4、n n aeeee f tab j aajbajb ee n这就是傅立叶级数的复指数形式。 2 2 2 2 2 2 2 2 cossin1 ( ) 22 1 ( ) cossin1 ( ) 22 1 ( ) T T T n T T T T n T nnnn jt nnnn jt ajbtjt f tdt T f t edt T ajbtjt f tdt T f t edt T 2 2 1 ( ),(0, 1, 2,) ( ) T T jnt n jn t n n cf t edt n T f tc e n1.1.2 傅立叶积分定理傅立叶积分定理 n若 在 上满足下列条件： n（1） 在任一有限

5、区间上满足狄利克雷 条件；（2） 在无限区间 上绝 对可积（即积分 收敛），则有 n (1.2) n成立，而左端的 在它的间断点处，应以 n 来代替。 )(tf),( )(tf )(tf ),( dttf| )(| dedeftf tjj )( 2 1 )( )(tf 2 )0()0(tftf n这个公式称为傅立叶积分公式。 n若 为奇函数，则有 n若 为偶函数，则有 n它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶 余弦积分公式。 )(tf )(tf tddftfsinsin)( 2 )( 00 tddftfcoscos)( 2 )( 00 例例1 求函数 的傅立叶积分表达 式。 其它 , 0 1|

6、 , 1 )( t tf 解解：根据Fourier积分公式的复数形式，有 dedeftf tjj )( 2 1 )( 1 1 )sin(cos 2 1 dedj tj 1 0 cos 1 ded tj dtjt)sin(cos sin1 ) 1( , cossin2 0 td t 当 时， 应以 代替。 1t )(tf 2 1 2 )01()01( ff 例例2: 求矩形单脉冲函数 的 傅里叶积分公式。 其它。, 0 ; 2 |, )( tE tf 解： dedeftf tjj )( 2 1 )( 2 2 2 1 dedEe tjj de tE tj ) 2 sin( 2 2 1 d tt E

7、 2 cos 2 sin2 2 1 n1.2 Fourier变换变换 n1.1.1 Fourier变换的概念变换的概念 n在(1.2)式中，设 n (1.3) n则 n (1.4) n(1.3)式称为 的傅立叶变换式傅立叶变换式，可记为 n dtetfF tj )()( deFtf tj )( 2 1 )( )(tf )(F )(tf n 叫做 的象函数象函数，(1.4)式称为 的傅立叶逆变换傅立叶逆变换，可记为 n n 叫做 的象原函数象原函数。 n当 为奇函数时， n叫做 的傅立叶正弦变换傅立叶正弦变换，而 n叫做 的傅立叶正弦逆变换傅立叶正弦逆变换。 )(F)(tf )(tf)(F )(

8、F )(tf)( 1 F )(tf 0 sin)( )(tdttfFs )(tf 0 s sin)( 2 )( tdFtf )(F n当 为偶函数时， n叫做 的傅立叶余弦变换傅立叶余弦变换，而 n叫做 的傅立叶余弦逆变换傅立叶余弦逆变换。 )(tf 0 cos)( )(tdttfFc )(tf 0 c cos)( 2 )( tdFtf )(F 例例1 求函数 的傅立叶变换及 其积分表达式，其中 ，这个 叫做 指数衰减函数，是工程技术中常碰到的一个 函数。 0, ; 0 , 0 )( te t tf t 0)(tf 解：解：傅里变换为 dtetfF tj )()( 0 dtee tjt 22

9、0 )( 1 j j dte tj 故所求积分表达式为 deFtf tj )( 2 1 )( de j tj 22 2 1 d tt 22 sincos 2 1 例例2 求函数 的正弦变换和 余弦变换。 1 , 0 , 10 , 1 )( t t tf 解解： 的正弦变换为)(tf 0 ; cos1 sin)()( tdttfFs 的余弦变换为)(tf . sin1 cos)()( 0 tdttfF c n1.2.2 单位脉冲函数及其傅立叶变换单位脉冲函数及其傅立叶变换 n在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外, 还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象 中,除了有连续分布的物理量外,

10、还会有集中在一 点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬 间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究 线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的 电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后 的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍 的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点 或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点 的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能 够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以 解决. n 函数的定义函数的定义 n满足下列两个条件的函数称为 函数： n ； n 函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图 ( )1t dt t )(t 1 o 0

11、, 0, 0 )( t t t n 函数的性质函数的性质 n（1）对任何一个无穷次可微函数 ，有 n ， n（2） 函数为偶函数,即 n（3） ， n其中， 称为单位跃进函数。 ( ) ( )=0 t f t dt f 00 () ( )ttf t dtf t )(tf ()( )tt t tud)()()()(ttu dt d 0, 1 0, 0 )( t t tu n（4）若 为无穷次可微函数，则有 n一般地，有 n 函数的傅立叶变换函数的傅立叶变换 )(tf )0()()( fdttft )0() 1()()( )()(nnn fdttft n = n可见，单位脉冲函数 与常数1构成了一

12、个 傅立叶变换对，同理， 和 也构成了 一个傅立叶变换对。 ( )F t ( ) j t t edt 1 0 j t e t )(t )( 0 tt 0 tj e n1.2.3 非周期函数的频谱非周期函数的频谱 n在频谱分析中，傅氏变换 又称为 的 频谱函数，而模 称为 的振幅频谱， 它是 的偶函数，即 。 )(F)(tf | )(|F )(tf | )()(| FF n1.3 Fourier变换的性质变换的性质 n1、线性性质、线性性质 n设 ， ， 是常数， 则 n n2、对称性质、对称性质 n若 ，则有 n ， )( 1 F)( 1 tf)( 2 F)( 2 tf, )()()()( 2

13、121 FFtftf )(F)(tf )(2)(ftF)(2)(ftF n3、位移性质、位移性质 n n例例1 求矩形单脉冲 的频谱函 数。 n解：先直接根据傅立叶变换的定义求，再根 据1.2中例6介绍的矩形单脉冲的频谱函数利 用位移性质可求得同样的结果。 其它, 0 ;0 , )( tE tf 0 0) ( tj ettf )(tf n4、微分性质、微分性质 n如果 在 上连续或只有有限个可 去间断点，且当 时， ，则 n推论：推论：若 在 上连续或只有有 限个可去间断点，且 n则有 )(tf),( |t0)(tf jtf)( )(tf )( )( tf k ),( 1, 2 , 1 , 0

14、, 0)(lim )( | | nktf k t nn jtf)()( )( )(tf n象函数的导数公式象函数的导数公式 n n例例2 已知函数 ，试求 n 及 。 n n n jF d d )()( )(tft n )0( 0, , 0, 0 )( te t tf t )(tft)( 2 tft n5、积分性质、积分性质 n若 时， n则 n运用傅立叶变换的线性性质、微分性质以 及积分性质，可以将线性常系数微分方程 （包括积分方程和微积分方程）转化为代 数方程，通过解代数方程与求傅立叶逆变 换，就可以得到相应的原方程的解。 t t dttftg0)()( t j dttf 1 )()(tf

15、 n1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数 n1. 卷积的概念卷积的概念 n若给定两个函数 和 ，则由积分 n确定的 的函数称为 和 的卷积， 记作 ，即 )( 1 tf)( 2 tf t )( 1 tf)( 2 tf )()( 21 tftf dtff)()( 21 dtfftftf)()()()( 2121 n卷积满足交换律和对加法的分配律： n例例1 若 n求 与 的卷积。 )()()()( 1221 tftftftf )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf )( 1 tf)( 2 tf . 0, ; 0 , 0 )( , 0, 1 ; 0, 0 )(

16、21 te t tf t t tf t n2.卷积定理卷积定理 n若 都满足Fourier积分定理中的条 件，且 ， ，则 n（1） n或 n（2） )(),( 21 tftf )()( 11 Ftf)()( 22 Ftf )()()()( 2121 FFtftf )()()()( 2121 1 tftfFF )()( 2 1 )()( 2121 FFtftf n例例2 求单位阶跃函数 n和指数衰减函数 n的傅立叶变换的卷积 。 n解： n 0, ; 0 , 0 )( te t tf t 0, 1 0, 0 )( t t tu )()( 21 FF 2)()( 21 FF)()( 21 tft

17、f 2)()( 2 tftu i 2 n1.5 Fourier变换的应用变换的应用 n例例1 求积分方程 n的解，其中 n解：该积分方程可以改写为 )(sin)( 0 tftdg t tt tf , 0 ;0 ,sin 2)( )( 2 sin)( 2 0 tftdg n故 可看作 的傅立叶逆变换，从 而有 )( 2 tf )(g 0 sin)( 2 )(tdttfg 0 sinsin tdtt 0 )1cos()1cos( 2 1 dttt 2 1 sin n例例2 求解积分方程 n其中 为已知函数，且 n和 的傅立叶变换都存在。 n解：设 ， ，和 ，由卷积定理知，积分 方程右端第二项等于

18、 ，因此 上述积分方程两端取傅立叶变换，由 卷积定理可得 dtgfthtg)()()()( )(),(tfth )(tg )(),(tfth )()(Gtg )()(Ftf )()(Hth )()(tgtf n所以 n由傅立叶逆变换，可求得积分方程的解 )()()()(GFHG )(1 )( )( F H G deGtg tj )( 2 1 )( de F H tj )(1 )( 2 1 n例例3 求常系数非其次线性微分方程 n的解，其中 为已知函数。 n解：设 ， ， n利用傅立叶变换的线性性质和微分性质， 对上述微分方程两端取傅立叶变换，可 得 )()()( 2 2 tftyty dt d )(tf )()(Yty)()(Ftf )()()()( 2 FYYj n故 n从而可得 n由于 的逆变换是 ，故有 )( 1 1 )( 2