高中数学 第一章 坐标系 1.1.1 平面直角坐标系与曲线方程练习 北师大版-4

1、学必求其心得，业必贵于专精1。1。1平面直角坐标系与曲线方程课后篇巩固探究a组1。已知平行四边形abcd的三个顶点a，b，c的坐标分别为（1,2），(3，0)，（5，1),则点d的坐标是(）a。(9,-1）b.(-3，1）c.(1,3）d。(2，2）解析：设点d的坐标为（x,y）。则-1+5=3+x,2+1=0+y,解得x=1,y=3.故点d的坐标为（1，3)。答案：c2.已知abc中,a（4，-3),b（5,-2），重心g（2,1),则点c的坐标为()a.(3,2）b.（3,-2）c。(2，3)d.(2,3)解析:设点c（x，y），线段ab的中点d92,-52。依题意得gc=2dg，即(x2

2、,y+1）=22-92,-1+52.得x-2=-5,y+1=3,解得x=-3,y=2,故c（3,2)为所求.答案:a3。方程(x2-4）2+(y24)2=0表示的图形是（)a。两条直线b。四条直线c.两个点d.四个点解析：由方程得x2-4=0,y2-4=0,解得x=2,y=2或x=-2,y=-2或x=-2,y=2或x=2,y=-2,故选d.答案:d4.将圆x2+y2-2x4y+1=0平分的直线是(）a.x+y1=0b.x+y+3=0c。x-y+1=0d。xy+3=0解析:因为（x1)2+(y2)2=4，所以圆心是(1,2）,将圆心坐标代入各选项验证知选c.答案：c5。平面上有三个点a(2,y）

3、,b0,y2,c（x,y),若abbc，则动点c的轨迹方程是.解析： ab=0,y2-（2，y）=2,-y2,bc=(x，y）0,y2=x,y2，abbc，abbc=0.2,-y2x,y2=0，即y2=8x。动点c的轨迹方程为y2=8x。答案:y2=8x6。在平面直角坐标系中,已知点a为平面内的一个动点,点b的坐标为（2，0）。若oaba=|ob（o为坐标原点),则动点a的轨迹为.解析：设动点a的坐标为(x,y),则oa=（x，y),ba=(x-2,y),ob=22+0=2.代入已知条件得x(x-2）+y2=2，即(x-1)2+y2=3,它表示一个圆.答案：圆7.已知真命题：若点a为o内一定点

4、，点b为o上一动点，线段ab的垂直平分线交直线ob于点p,则点p的轨迹是以点o,a为焦点,ob长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题：若点a为o外一定点，点b为o上一动点，线段ab的垂直平分线交直线ob于点p,则点p的轨迹是。解析:如图，连接ap，因为p是线段ab的垂直平分线上一点，所以|pa|=|pb.因此pa|-|po|=|pb|-po|=ob|=r=定值,其中r为o的半径.由于点a在圆外，故|pa|po|=ob=r3）d.x216-y29=1（x4）解析:如图,ad=ae=8,bf=be=2，|cd|=|cf|，所以|ca|-cb=ad-|bf|=82=6。根据双曲线定义，所求轨

5、迹是以点a,b为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29-y216=1(x3).答案:c2。已知椭圆的焦点是f1，f2,点p是椭圆上的一个动点.若点m是线段f1p的中点,则动点m的轨迹是（）a.圆b.椭圆c.双曲线的一支d.抛物线解析：如图，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（ab0）.则pf1|+|pf2|=2a,连接mo，由三角形的中位线可得,|f1m|+|mo|=a（af1o），则动点m的轨迹是以点f1,o为焦点的椭圆.故选b。答案：b3.设圆（x+1）2+y2=25的圆心为c,点a（1,0）是圆内一定点,q为圆周上任一点。线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m,则点m的轨迹方程

6、为（）a。4x221-4y225=1b.4x221+4y225=1c.4x225-4y221=1d。4x225+4y221=1解析：点m为aq垂直平分线上一点,|am|=mq,mc+ma=mc|+|mq=|cq=5|ca=2,故点m的轨迹为椭圆.a=52,c=1,则b2=a2c2=214，椭圆的标准方程为4x225+4y221=1。答案：d4.已知两条直线l1为2x-3y+2=0,l2为3x2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l1,l2都相交,且l1，l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,则动圆圆心的轨迹方程是。解析:设动圆的圆心为m（x，y)，半径为r，点m到直线l1,l2的距离分别

7、为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得,2r2-d12=26,2r2-d22=24,即r2-d12=169,r2-d22=144,消去r得动点m满足的几何关系为d22-d12=25,即(3x-2y+3)213-(2x-3y+2)213=25。化简得（x+1)2-y2=65,此即为所求的动圆圆心的轨迹方程.答案：(x+1)2-y2=655.已知双曲线x22y2=1的左、右顶点分别为a1，a2,点p（x1,y1)，q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点.（1)求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程；（2）若过点h(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹e都只有一个交点,且l1l2,求

8、h的值.解(1)由题设知|x12，a1(-2,0）,a2(2,0），则直线a1p的方程为y=y1x1+2（x+2）,直线a2q的方程为y=-y1x1-2(x-2)。联立解得交点坐标为x=2x1，y=2y1x1，即x1=2x,y1=2yx，则x0，|x|1),联立x22+y2=1与y=kx+h（h1），得（1+2k2）x2+4khx+2h22=0。令=16k2h2-4(1+2k2)(2h22)=0，得h2-12k2=0,解得k1=h2-12，k2=-h2-12。由于l1l2，则k1k2=-h2-12=1，故h=3.过点a1,a2分别引直线l1，l2通过y轴上的点h（0,h）,且使l1l2,因此a

9、1ha2h,由h2-h2=-1，得h=2.此时,l1，l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2,它们与轨迹e分别仅有一个交点-23,223与23,223。所以，符合条件的h的值为3或2。6。学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验。设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2100+y225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、m0,647为顶点的抛物线的实线部分,降落点为d(8，0)。观测点a（4,0），b（6,0)同时跟踪航天器.(1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程。（2)试问:当航天器在x轴上方时，观测点a,b测得离航天器的距

10、离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？解（1）由题意，可设曲线方程为y=ax2+647,将点d(8，0）的坐标代入，得0=a64+647，解得a=17.故所求曲线方程为y=17x2+647.（2）设变轨点为c（x,y)。根据题意可知x2100+y225=1,y=-17x2+647,消去x得4y2-7y-36=0，解得y=4或y=94(舍去)，于是x=6或x=6（舍去），故点c的坐标为(6，4)。应用两点间距离公式计算,得ac=25，bc|=4。故当观测点a,b测得离航天器的距离分别为25,4时,应向航天器发出变轨指令。7.导学号73144003设椭圆方程为x2+y24=1,过点m(0，1)的

11、直线l交椭圆于a,b两点，o为坐标原点，点p满足op=12(oa+ob),点n的坐标为12,12,当直线l绕点m旋转时,求：（1)动点p的轨迹方程；（2)|np的最大值和最小值。解(1)直线l过定点m(0，1),设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.设a(x1,y1），b（x2，y2），由题意知，a，b的坐标满足方程组y=kx+1,x2+y24=1.消去y得（4+k2)x2+2kx-3=0。则=4k2+12(4+k2）0，x1+x2=2k4+k2,x1x2=-34+k2。由op=12(oa+ob）,得点p是ab的中点.设p(x，y），则x=12(x1+x2)=-k4+k2,y=12(y1+y2)=12(kx1+1+kx2+1)=44+k2,消去k得4x2+y2-y=0.当斜率k不存在时,ab的中点是坐标原点，也满足这个方程，故点p的轨迹方程为4x2+y2y=0。(2)由(1)知4x2+y-122