第6章 梁的变形

1、材材 料料 力力 学学 第第6 6章章 梁的变形梁的变形 姓名：鲁晓俊姓名：鲁晓俊 单位：武昌理工学院单位：武昌理工学院 第第6 6章章 梁的变形梁的变形 6.1 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 6.2 直梁挠曲线近似微分方程直梁挠曲线近似微分方程 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 6.4 用叠加方法求梁的变形用叠加方法求梁的变形 6.5 梁的刚度条件梁的刚度条件 6.1.1 6.1.1 研究梁变形的目的研究梁变形的目的 6.1 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 研究范围：梁在研究范围：梁在平面弯曲平面弯曲时的位移（时的位移（绕度和转角绕度和转角）计算。）计算。 研究目的：研究目的：对梁

2、作对梁作刚度刚度校核校核 解解超静定梁超静定梁（变形协调条件作为补充方程）（变形协调条件作为补充方程） 为研究压杆稳定问题提供必要的理论基础为研究压杆稳定问题提供必要的理论基础 挠曲轴是一条连续、光滑曲线挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计, 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交 变弯后的梁轴，称为变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴 研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静研究弯曲变形的目的

3、，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础 6.1 梁的挠度和转角 6.1.2 6.1.2 挠度和转角挠度和转角 挠度挠度 转角转角 挠度与转角的关系挠度与转角的关系 挠度挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 )( xyy 挠曲轴方程挠曲轴方程 转角转角横截面的角位移横截面的角位移 )(x 转角方程转角方程 （rad） （小变形小变形） )( xf dx dy )( tanxf dx dy tan 正负号与坐标正负号与坐标 的正负号相同的正负号相同 顺为正，顺为正， 逆为负逆为负 6.1 梁的挠度和转

4、角 EI xM x xK )( )( 1 )( 3/2 2 1 )( 1 y y x EI xM y y)( 1 3/2 2 EI M K 1 （纯弯纯弯） （推广到非纯弯推广到非纯弯） y弯矩引起的挠度弯矩引起的挠度 s smax s sp 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 6.2 直梁挠曲线近似微分方程直梁挠曲线近似微分方程 小变形时小变形时：12y EI xM x y)( d d 2 2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 pmax s ss s 小变形小变形 坐标轴坐标轴y向向下下 应用条件：应用条件： EI xM x y)( d d 2 2 EI xM y y)( 1 3/2 2 6.

5、2 直梁挠曲线近似微分方程直梁挠曲线近似微分方程 EI xM dx yd)( 2 2 CdxxMEI dx dy EI )( DCxdxdxxMEIy )( 约束处位移应满足的约束处位移应满足的 条件条件 梁段交接处位移应满足梁段交接处位移应满足 的条件的条件位移边界条件位移边界条件位移连续条件位移连续条件 利用位移边界条件与连续条件确定积分常数利用位移边界条件与连续条件确定积分常数 6.3 例题例题6.1 有一受均布荷载作用的简支梁如图所示，有一受均布荷载作用的简支梁如图所示，EI为常数。为常数。 试求此梁的最大挠度试求此梁的最大挠度ymax（通常用符号（通常用符号f表示）以及两端截面的表示

6、）以及两端截面的 转角转角 A和和 B。 2 ql YY BA 22 )( 2 qxqlx xM 即得梁的挠曲线近似微分方程即得梁的挠曲线近似微分方程 22 2 2 2 qxqlx dx yd EI 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 ) 64 ( 1 32 C qxqlx EIdx dy ) 2412 ( 1 43 DCx qxqlx EI y 边界条件为：边界条件为： 0D 24 3 ql C 当当x x=0=0时，时，y y=0=0； 可得可得 当当x=l时，时，y=0。 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 ) 2464 ( 1 332 qlqxqlx EI 挠度方程

7、为挠度方程为) 242412 ( 1 343 xqlqxqlx EI y (4)求求ymax、 A、 B： 0 dx dy 即即 2 l x 处挠度最大处挠度最大 EI ql yfy l x 384 5 4 2 max ) 64 ( 1 32 C qxqlx EIdx dy ) 2412 ( 1 43 DCx qxqlx EI y 0D 24 3 ql C 2 l x 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 EI ql xA 24 3 0 lx 代入式（代入式（3），得），得 EI ql lxA 24 3 负号表示负号表示 B为反时针转向。为反时针转向。 ) 2464 ( 1 332 q

8、lqxqlx EI 挠度方程为挠度方程为) 242412 ( 1 343 xqlqxqlx EI y A 正号表示正号表示为顺时针转向。为顺时针转向。 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 例题6.2 承受集中荷载P的简支梁如图所示，EI为常数，试 求此梁的挠度方程和转角方程，并求最大挠度ymax（f）。 解解 （1）求转角方程和挠度方程）求转角方程和挠度方程 ax 1 0 11) (x l Pb xM AC段：段：CB段：段： lxa 2 )()( 222 axPx l Pb xM 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 （2）确定积分常数）确定积分常数 利用边界条件利用边界条

9、件 x1=0，y1=0；x2=l，y2=0 变形连续条件变形连续条件 axx 212121 ,yy 0 21 DD)( 6 22 21 bl l Pb CC )3( 6 2 2 1 2 11 bxl lEI Pb y )( 6 2 2 1 21 1 bxl lEI Pbx y )632( 6 2 2 2 2 2 22 alxxl lEI Pa y )2( 6 )( 2 2 22 2 2 axlx lEI xlPa y 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 (3) 求最大挠度求最大挠度 设设ba 0 1 0 1 ;当当x1=0时，时，；当时；当时x1=a时，时， 故在故在AC段内必存在段

10、内必存在0的位置，即最大挠度的位置，即最大挠度 f 的位置。的位置。 )3( 6 2 2 1 2 11 bxl lEI Pb y )( 6 2 2 1 21 1 bxl lEI Pbx y )632( 6 2 2 2 2 2 22 alxxl lEI Pa y )2( 6 )( 2 2 22 2 2 axlx lEI xlPa y 11 0y 3 22 1 bl x 最大挠度最大挠度 322 3 1max )( 39 22 1 bl EIl Pb yfy bl x 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 讨论讨论 1.当集中力当集中力P的作用点越靠近的作用点越靠近B支座，即支座，即b值越

11、小或值越小或0b 时，在这种极端情况下，最大挠度位置时，在这种极端情况下，最大挠度位置x1为：为： llx577. 03/ 2 1 中点的挠度中点的挠度 )43( 48 22 2 1 bl EI Pb y l x 03. 1 )43 (9 )( 316 0 22 322 0 2 1 max b b l x bll bl y y EI Pl 16 2 max EI Pl y 48 3 max 当集中力P作用于跨度中点时， 2 l ba 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 （2）积分常数的物理意义）积分常数的物理意义 CdxxMEI dx dy EI )( DCxdxdxxMEIy )(

12、 CdxxMEI)( x dxxMdxxM 0 )()( 0 0 0)(dxxM 上式表明，对于等截面梁（其抗弯刚度上式表明，对于等截面梁（其抗弯刚度EI=常量），积分常数常量），积分常数C 等于梁坐标原点处的转角与抗弯刚度等于梁坐标原点处的转角与抗弯刚度EI的乘积的负值。的乘积的负值。 在x=0处 00 EIEIC x 同理同理 xx dxdxxMdxdxxM 00 )()( 在在x=0处积分式恒为零处积分式恒为零 00 EIyEIyD x 积分常数积分常数D等于梁在坐标原点处挠度与抗弯刚度等于梁在坐标原点处挠度与抗弯刚度EI乘积的负值。乘积的负值。 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的

13、变形 由于坐标原点经常取在梁左端，故当左端为固定端时，由于坐标原点经常取在梁左端，故当左端为固定端时， 恒有恒有 对于两端铰支或只有右端外伸的外伸梁，对于两端铰支或只有右端外伸的外伸梁， 恒有恒有 0D 0 DC 00 EIEIC x 00 EIyEIyD x 6.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 分为分为n段，则有：段，则有： 关于对挠曲线近似微分方程关于对挠曲线近似微分方程)( 2 2 xM dx yd EI积分，若弯矩方程积分，若弯矩方程 (1)将坐标原点取在梁的左端，各段梁的弯矩方程均由截面左端梁将坐标原点取在梁的左端，各段梁的弯矩方程均由截面左端梁 段的外力列出；段的外力列出

14、； (2)M(x)方程所含因子（方程所含因子（x-a）的各项没有展开，而将（）的各项没有展开，而将（x-a）作自变）作自变 量进行积分，则所得两段的积分常数必然对应相等，量进行积分，则所得两段的积分常数必然对应相等，C1=C2， D1=D2。 同理，若弯矩方程分为同理，若弯矩方程分为n段，则挠曲线方程也相应地分为段，则挠曲线方程也相应地分为n段，段， 这时出现的这时出现的2n个积分常数，也必然存在个积分常数，也必然存在 321 CCC 0 EICn 321 DDD 0 EIyDn 这样只需利用边界条件确定两个积分常数就可以了。这样只需利用边界条件确定两个积分常数就可以了。 6.3 用积分法求梁

15、的变形用积分法求梁的变形 方法方法 qAFAA yyy , 分解载荷分解载荷分别计算位移分别计算位移 求位移之和求位移之和 83 43 EI ql EI Fl )( 3 3 , EI Fl y FA )( 8 4 , EI ql y qA ? A y 当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总 位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的 位移的代数和或矢量和 6.4 理论依据 )()()(xMxMxM qF )( d d 2 2 xM x y EI )()( xyxyy qF 故： )( d d 2 2 xM x y EI F )( xyy F )( d d 2 2 xM x y EI q )( xy

16、y q 上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合 （小变形小变形, ,比例极限内比例极限内）（小变形小变形） 叠加法适用条件：叠加法适用条件：小变形小变形，比例极限内，比例极限内 6.4 用叠加方法求梁的变形 分解梁分解梁 分别计算各梁段的分别计算各梁段的 变形在需求位移处引变形在需求位移处引 起的位移起的位移 ay B 1 EI lFa a EI Fal y 33 2 1 EI Fa y 3 3 2 21 yyy)( )( 3 2 al EI Fa 求总位移求总位移 在分析某梁段的变形在 需求位移处引起的位移 时，其余梁段视为刚体 EI lFa B 3

17、 6.4 用叠加方法求梁的变形 例 1 q(x)=q0cos(p px/2l)，利用叠加法求利用叠加法求 yB=? 解：)3( 6 )d( d 2 xl EI xxxq yB x l x EI xlxq d 2 cos 6 )(3 2 0 x l x xlx EI q y l B d 2 )cos(3 6 0 2 0 p EI lq 4 34 0 3 24)(2 p p ( ) ( ) 6.4 用叠加方法求梁的变形 例题例题6-3 试按叠加法求出图所示梁中点C的挠度和支座处截面 的转角。 EI ml EI Pl EI ql yfff CmCpCqC 1648384 5 234 EI ml EI

18、 Pl EI ql AmApAqA 31624 23 6.4 用叠加方法求梁的变形 例 2 解： 21 yyyC ayy BB 1 FaBFBB yyy , 2 3 2 2 2 3 6 5 23EI Fa EI aFa EI Fa ? C y FaBFBB, 2 2 22 2 2 3 2EI Fa EI aFa EI Fa 2 3 1 3 7 EI Fa y 1 3 2 3EI Fa y 1 3 1 3 2 3 2 3 33 7 EI Fa EI Fa EI Fa yC () ()() 6.4 用叠加方法求梁的变形 例 3 图示组合梁，图示组合梁，EI=常数，求常数，求 yB 与与 A 2 q

19、a FF ByAy FBFBB yyy By , 2 3 6 2 32 2 3 a a EI a F EI aqa 48 13 4 EI qa qA B A a y , 16 5 2448 13 333 EI qa EI qa EI qa () () 解： 6.4 用叠加方法求梁的变形 例 4 图示刚架，求截面图示刚架，求截面 C 的铅垂位移的铅垂位移 21 yy Cy ayy BB 1 )( 3 3 2 EI Fa y )( 33 3 t 23 EI Fa GI lFa EI Fl Cy 解： )( t a GI Fal EI Fl 3 3 6.4 用叠加方法求梁的变形 例题例题6-5 图所

20、示一个二跨连续梁 （超静定梁）ABC，受均布荷载 作用，试作它的剪力Q图和弯矩M 图。 变形协调条件为变形协调条件为yB=0，建立补充方程，建立补充方程 0 BBBqB yyy EI lq yBq 4 )2( 384 5 EI lY y B BB 3 )2( 48 1 0 )2( 48 1)2( 384 5 34 EI lY EI lq B qlYB 4 5 qlYY CA 8 3 6.4 用叠加方法求梁的变形 max 最大位移控制 许用挠度 f 许许用用转转角角 500 750 ll f 桥式起重机梁： 10000 5 10000 3 ll f 一般用途的轴： l f l f ff l f

21、1000 1 250 1 l f 10000 1 5000 1 土建工程方面: 机械制造工程方面，对主要的轴: 6.5 梁的刚度条件梁的刚度条件 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 使用较小的截面面积使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩，获得较大惯性矩 I 的截面形状。的截面形状。 例如工字形与盒形等薄壁截面。例如工字形与盒形等薄壁截面。 横截面形状的合理选择横截面形状的合理选择 梁的抗弯刚度：梁的抗弯刚度：E I EI Fl y 3 3 max EI Fl y 48 3 max 其中：其中： I 惯性矩惯性矩 6.5 梁的刚度条件 4 33 65507 12 3420 12 cm bh I

22、4 65600cmI 2 435.135cmAg 2 6803420cmhbAj %20199. 0 680 435.135 j g A A 6.5 梁的刚度条件 4 33 2 .152 12 7740 12 cm bh I j 4 1660cmI g 22 8 .30756.30cmcmAg 22 8 .3030807740cmmmhbAj 9 .10 2 .152 1660 j g I I 6.5 梁的刚度条件 材料的合理选择材料的合理选择 为提高梁的抗弯刚度，宜选用为提高梁的抗弯刚度，宜选用E 较高的材料较高的材料 GPa 220)(200 E钢钢与与合合金金钢钢： 注意：注意：各种钢材（或各种铝合金）的各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同基本相同 GPa 72)(70 E金金：合合铝铝 梁的抗弯刚度：梁的抗弯刚度：E I GPa 12)(7 E材：木 GPa 38)(22 E土：凝混 其中：其中：E 弹性模量弹性模量 6.5 梁的刚度条件 梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取 EI Fl y 3 3 max EI Fl y 48 3 max 跨度微小改变，将导致挠度显著改变跨度微小改变，将导致挠度显著改变 3 max ly 例如例如: l 缩短缩短 20，ymax 将将减少减少 48.8% 6.5 梁的刚度条件 合理安排约束与合理安排约束与加载