通信原理确定信号分析傅里叶级数与变换

1、 第第 二二 章章 确定信号分析确定信号分析 分析方法：分析方法： 对于确定信号常采用对于确定信号常采用傅立叶变换傅立叶变换分析信号的时域和频域表示；分析信号的时域和频域表示； 本章研究确定信号及其通过系统传输的特性。本章研究确定信号及其通过系统传输的特性。 对于随机信号常采用对于随机信号常采用概率论和随机过程概率论和随机过程理论。理论。 随机信号随机信号: : 信号的全部或部分参量是不确定的或者信号的全部或部分参量是不确定的或者 是随机的，则这类信号称之为随机信号。是随机的，则这类信号称之为随机信号。 确定信号确定信号: : 信号仅是一个随时间变化，且其它参数都信号仅是一个随时间变化，且其它

2、参数都 是确知的，则这类信号称之为确定信号。是确知的，则这类信号称之为确定信号。 nn n nn n antnt f tab TT AAnt 0 1 00 00 1 22 ( )cos()sin() 2 cos() 对于周期信号对于周期信号 ，其三角函数和指数形式的傅立叶级数为：，其三角函数和指数形式的傅立叶级数为：)(tf 一、一、 傅立叶级数和傅立叶变换傅立叶级数和傅立叶变换 T jnt n T Cf t edt n T 0 0 0 /2 /2 0 1 ( ), =0, 1, 2 jnt n n f tc e 0 ( )指数形式：指数形式： 2.1 信号的频谱分析信号的频谱分析 三角函数形

3、式三角函数形式 对于正弦信号对于正弦信号 或或 ， 我们称为单频信号或单我们称为单频信号或单 音信号，通常使用的音信号，通常使用的 ，称为正弦信号。，称为正弦信号。 t 0cost 0sin t 0cos 0 2 若若LPF(低通低通)的截至频率小于的截至频率小于 ，经，经LPF后，后，我们仅得到直流我们仅得到直流 分量分量, 若若BPF(带通带通)的中心频率在的中心频率在 ，带宽带宽 ，我们仅得我们仅得 到到2次谐波分量。次谐波分量。 02 0 根据滤波器的截至频率不同，可以得到不同频率的信号。根据滤波器的截至频率不同，可以得到不同频率的信号。 除正弦信号外除正弦信号外,其它信号的频谱都不是

4、单一的频谱成分。其它信号的频谱都不是单一的频谱成分。 t t 20 0 1cos2 cos 2 如如: : f (t)是由直流分量及各次谐波分量组成，是由直流分量及各次谐波分量组成，n1时时,为一次谐波为一次谐波 (基波分量基波分量)。 例：确定周期性矩形脉冲的傅立叶级数例：确定周期性矩形脉冲的傅立叶级数 T jntjnt nT T jnt CP t edtedt TT ne Sa TjnT 1 11 1 1 /2/2 /2/2 11 1 2 1112 11 ( ) 1 () 2 | 第一个零点第一个零点: : 2 频谱间隔频谱间隔: : 1 因此定义信号的因此定义信号的零点带宽零点带宽B 2

5、 (或或 )B 1 这是因为信号的能量主要集中在第一个零点以内。这是因为信号的能量主要集中在第一个零点以内。 特别需要指出：特别需要指出：信号的带宽仅指信号频谱的正频率部分信号的带宽仅指信号频谱的正频率部分； 负频率部分是数学分析带来的，实际并不存在。负频率部分是数学分析带来的，实际并不存在。 也称也称主瓣带宽主瓣带宽 注意带宽的定义！注意带宽的定义！? 显然当显然当 ， 得到单个矩形脉冲的傅立叶变换：得到单个矩形脉冲的傅立叶变换： T 11 ,0 G tSa ( )() 2 结论：周期信号的频谱时离散的，非周期信号的频谱时连续的。结论：周期信号的频谱时离散的，非周期信号的频谱时连续的。 非周

6、期信号的傅立叶变换：非周期信号的傅立叶变换： deF tf dtetfF tjn tjn ) )( () )( ( ) )( () )( ( 2 1 它们分别描述了信号在时间域和频率域的分布情况它们分别描述了信号在时间域和频率域的分布情况 信号信号 与其频谱与其频谱 之间是一一对应的：之间是一一对应的：) )( (tf) )( (F ) )( () )( (Ftf (1) 一个信号不可能在时域和频域同时受限一个信号不可能在时域和频域同时受限，一个时域受限的信，一个时域受限的信 号，其频谱一定时无限的，同样，一个频域受限的信号，其时号，其频谱一定时无限的，同样，一个频域受限的信号，其时 域也将是

7、无限的。域也将是无限的。 (2) 一个在时域锐截止的信号，其频域是无限且能量发散，即频一个在时域锐截止的信号，其频域是无限且能量发散，即频 谱在第一个零点以外衰减相对较慢。一个在时域缓慢过渡的谱在第一个零点以外衰减相对较慢。一个在时域缓慢过渡的 信号，其频谱是无限的，但能量相对集中。信号，其频谱是无限的，但能量相对集中。 同样，一个在频域锐截止的信号，其时域是无限的，即拖尾同样，一个在频域锐截止的信号，其时域是无限的，即拖尾 很长，振幅较大。一个在频域缓慢过渡为零的信号，其时域是无很长，振幅较大。一个在频域缓慢过渡为零的信号，其时域是无 限的，但拖尾振幅较小。限的，但拖尾振幅较小。 以时域或频

8、域门函数和三角函数加以说明：以时域或频域门函数和三角函数加以说明： GtSa ( )() 2 TtSa 2 ( )() 2 傅立叶理论告诉我们：傅立叶理论告诉我们： 二、信号的能量谱与功率谱二、信号的能量谱与功率谱 1. .能量信号和功率信号能量信号和功率信号 )(tf 电子学中，把信号归一化的能量定义为由电压电子学中，把信号归一化的能量定义为由电压 加于单位加于单位 电阻电阻(1)上所消耗的能量，或者说由电流上所消耗的能量，或者说由电流 通过单位电阻通过单位电阻 所消耗的所消耗的能量能量： )(tf dttfE) )( ( 2 单位：焦耳单位：焦耳 显然：信号能量的概念只有在上式所给出的积分

9、值为有限时显然：信号能量的概念只有在上式所给出的积分值为有限时 才有意义，所以说才有意义，所以说能量有限的信号称为能量信号能量有限的信号称为能量信号，一般来说对于，一般来说对于 持续时间受限的波形都具有能量的意义；而对持续时间无限的信持续时间受限的波形都具有能量的意义；而对持续时间无限的信 号，能量的概念是无意义的，这类信号称为功率信号。号，能量的概念是无意义的，这类信号称为功率信号。 周期信号的平均功率周期信号的平均功率: 2 2 2 0 0 0 1 / / / / ) )( ( T T dttf T P 根据能量信号和功率信号的定义可知，因为根据能量信号和功率信号的定义可知，因为 ) )

10、)( (limlim, ,( ( / / / / 0 1 2 2 2 T T T dttf T T 结论：能量信号的平均功率为结论：能量信号的平均功率为 0 ，研究其功率无实际价值，研究其功率无实际价值， 功率信号的能量为无穷大，研究其能量也无意义。功率信号的能量为无穷大，研究其能量也无意义。 周期信号必是功率信号，但功率信号并不定都是周期信号。周期信号必是功率信号，但功率信号并不定都是周期信号。 单位：瓦特单位：瓦特 ，T T为观察时间，即信号电压在单位电阻上所消耗为观察时间，即信号电压在单位电阻上所消耗 的平均功率或者说电流通过单位电阻所消耗的平均功率。的平均功率或者说电流通过单位电阻所消

11、耗的平均功率。 平均功率：平均功率： 2 2 2 1 / / / / ) )( (limlim T T T dttf T P 2. .帕什瓦尔定理帕什瓦尔定理 如果如果 是能量信号，且有是能量信号，且有 ，则下式成立，则下式成立: :) )( (tf) )( () )( (Ftf dF dttfE 2 2 2 1 ) )( () )( ( 信号的总能量等于各个频率分量单独贡献能量之和，而与各信号信号的总能量等于各个频率分量单独贡献能量之和，而与各信号 的相位无关，即在时域或频域中，计算信号的能量是相等的。的相位无关，即在时域或频域中，计算信号的能量是相等的。 证明：证明： dtdeF tfdt

12、tf tjn ) )( () ) ( () )( ( 2 1 2 dF dFF ddtetfF tj 2 2 1 2 1 2 1 ) )( () )( () )( ( ) )( ( ) )( ( * * 变换积分变换积分 次序次序 若若 是周期性功率信号，且有是周期性功率信号，且有 ) )( (tf 0 0 2 0 T eCtf n tjn n ，) )( ( 则有则有： n n T T Cdttf T P 2 2 2 2 0 0 0 1 / / / / ) )( ( 结论：信号的平均功率等于各次谐波分量单独贡献的功率结论：信号的平均功率等于各次谐波分量单独贡献的功率 之和，与各次谐波的相位无

13、关。之和，与各次谐波的相位无关。 证明证明： T /T / jn t n T /T / n Pft dtf(t )C edt TT 00 00 22 2 22 00 11 ( ) n T T tjn n dtetf T C ) )( ( / / / / 2 2 0 0 0 0 1 因：因： 2 2 0 0 0 1 / / / / ) )( ( T T tjn n dtetf T C 故故： * * / / / / ) )( ( n T T tjn Cdtetf T 2 2 0 0 0 1 所以：所以： n n T T Cdttf T P 2 2 2 2 0 0 0 1 / / / / ) )(

14、 ( 例：分别用时域和频域的方法，计算信号例：分别用时域和频域的方法，计算信号tts50010s si in n) )( ( 的平均功率。的平均功率。 解：解： 2 2 22 2 2 2 50010 11 / / / / / / / / s si in n) )( ( T T T T tdt T dttf T P 瓦瓦50 2 10001 100 1 2 2 dt t T T T / / / / c co os s j ccee j eCts tjtj n tjn n 2 10 2 10 11 500500 ，) )( () )( ( 瓦瓦50 4 100 4 1002 n CP 3. 能量谱

15、和功率谱能量谱和功率谱 设设 和和 是信号的能量谱和功率谱，那么是信号的能量谱和功率谱，那么 信号的能量和功率分别为：信号的能量和功率分别为： ) )( (E ff P () f f EEd PPd 1 () 2 1 () 2 显然，能量谱和功率谱分别表示了信号能量或信号功率在显然，能量谱和功率谱分别表示了信号能量或信号功率在 频域内的分布情况，其单位分别为焦耳频域内的分布情况，其单位分别为焦耳/ /赫兹赫兹( (能量赫兹能量赫兹) )和瓦和瓦 特特/ /赫兹赫兹( (功率单位为瓦特功率单位为瓦特) )。 对于能量信号对于能量信号f (t) : dE dF E f ) )( () )( ( 2

16、 1 2 12 则能量谱为则能量谱为： 2 ) )( () )( (FE f 可见，信号的能量谱密度也只与信号的频谱幅度有关，可见，信号的能量谱密度也只与信号的频谱幅度有关， 而与相位无关，另外，由于而与相位无关，另外，由于 ，可见能量谱密，可见能量谱密 度是一个非负的实偶函数。度是一个非负的实偶函数。 22 ) )( () )( (FF 则则： 0 1 2 1 dE dE E ff ) )( () )( ( 通常采用下面的处理方法通常采用下面的处理方法： 对对 ，首先截取首先截取) )( (tf 2 0 2 T t T ttf tfT ) )( ( ) )( ( 且且) )( () )( (

17、Ftf TT 只要只要T为有限值，则为有限值，则 为能量信号，即有：为能量信号，即有：) )( (tfT dF dttfE TT 2 2 2 1 ) )( () )( ( 对于功率信号对于功率信号 若直接从若直接从 T / f T /T Plimft dtPd T 2 2 2 11 ( )( ) 2 来求比较困难来求比较困难 所以，对于所以，对于f (t) 的平均功率为：的平均功率为： dttf T dttf T P T T T T T ) )( (l li im m) )( (l li im m / / / / 2 2 2 2 11 TT TT f limF () dlimF () d TT

18、 Pd 221 111 22 1 ( ) 2 所以：所以： fT T PlimF T 21 ()() 同样可以看出同样可以看出功率谱密度也只保留了幅度信息，它与相位功率谱密度也只保留了幅度信息，它与相位 无关无关, ,它也是一个非负的实偶函数。它也是一个非负的实偶函数。 即即： ff PPdPd 0 11 ()() 2 如果如果 是周期信号，其功率谱比较容易得到是周期信号，其功率谱比较容易得到：) )( (tf d Cdttf T P f n n T T ) )( () )( ( / / / / 2 112 2 2 2 0 0 0 根据冲击函数的抽样性：根据冲击函数的抽样性：) )( () )

19、( () )( ( 00 tfdttttf 且且 是频率在是频率在 处的功率值，有：处的功率值，有： n C 2 n 0 n n n n CdnC 2 0 2 ) )( ( nf n CndPd 2 0 1 ()() 2 所以：所以： 即：即： fn n PCn 2 0 ()2() 注意：注意：以上定义的是双边谱，如果是单边谱（定义在正频率以上定义的是双边谱，如果是单边谱（定义在正频率 部分），为了使两者计算出来的能量或功率相等，单边谱的部分），为了使两者计算出来的能量或功率相等，单边谱的 幅度是双边谱在正频率的幅度是双边谱在正频率的2倍。倍。单边谱与双边谱的区别！单边谱与双边谱的区别！ )(

20、F )( T F 结结 论论 能量谱和功率谱反映了各频率分量上的能量或功率分配情况；能量谱和功率谱反映了各频率分量上的能量或功率分配情况； 无论是能量谱还是功率谱，他们仅与无论是能量谱还是功率谱，他们仅与 或或 的模值有关，的模值有关， 而与什么样的相位频谱特性无关；凡是具有相同振幅频谱特性而与什么样的相位频谱特性无关；凡是具有相同振幅频谱特性 的信号，不管相位特性如何，都具有相同的谱密度函数；从另的信号，不管相位特性如何，都具有相同的谱密度函数；从另 一角度说，从信号的能量及其谱密度那里，只能获得关于信号一角度说，从信号的能量及其谱密度那里，只能获得关于信号 的振幅信息，而得不到信号的任何的

21、相位信息。的振幅信息，而得不到信号的任何的相位信息。 ) )( (F) )( (FT 例例1 求求 的功率谱的功率谱 f tAcost 0 ( )() 解解： jtjtjtjtjj AA f ( t )eeeeee 0000 ()() 22 fn n AA PCn 22 2 000 ()22 44 jj A e, eR( t )cost 2 0 11 2 例例2 已知已知 为功率信号且为功率信号且 , , 求求 )(tf f P ( )m tf t cost 0 ( )( ) 的功率谱密度的功率谱密度 f 0 解解： TTTTT mtft costF (FM 000 1 ( )( )()()

22、2 2 00 11 ()() 4 MTT T PlimFF T 0000 22 00 00 11 ()()() 4 11 )() 4 1 )() 4 * TTTT T TT T ff limFFF (F T limF (F T P (P 交叉项频谱不重叠，乘积为零交叉项频谱不重叠，乘积为零 同理同理 的功率谱也为的功率谱也为 0 ( )tf t sint 00 1 ()() 4 ff PP 例例3 求求 的平均功率的平均功率 0 ( )( )tf t cost 2 00 11111 ()()()( ) 242 22 fff SPPdPdft 另：另： 222220 0 121 ( )( )(

23、)( ) 22 cost tft costftft dtttutt dtttt ttSa ttf )2()().4( )()(cos).3( )()().2( )()().1 ( 00 00 1. 计算下列函数式：计算下列函数式： 2. 已知信号的频谱函数为已知信号的频谱函数为 ，救其傅立叶反变换，救其傅立叶反变换， 并计算信号的能量。并计算信号的能量。 )2/( 2 Sa 补充题：补充题： 2.2 相关函数相关函数 波形的自相关和互相关是通信理论中应用广泛的一个重要概波形的自相关和互相关是通信理论中应用广泛的一个重要概 念，也是信号分析理论的有用工具念，也是信号分析理论的有用工具. . Rt

24、fftd 1212 ( )( )() 一一 、互相关函数、互相关函数 如果如果 f1(t) 和和 f2(t) 是能量信号，则互相关函数为是能量信号，则互相关函数为： 自相关表示信号与其本身时移自相关表示信号与其本身时移后的关联程度后的关联程度 互相关表示两个信号波形在不同时刻的关联程度互相关表示两个信号波形在不同时刻的关联程度 T / T /T Rtlimfftd T 2 1212 2 1 ( )()() 如果如果 f1(t) 和和 f2(t) 是功率信号，则互相关函数为是功率信号，则互相关函数为： T/ T/ Rtfftd T 0 0 2 1212 2 0 1 ( )( )() 如果如果 f

25、1(t) 和和 f2(t) 是周期为是周期为T0 0功率信号，则互相关函数为功率信号，则互相关函数为： 物理意义物理意义: : 如图所示两个波形如图所示两个波形f 1(t) 和和f 2(t) ，它们的周期相同，它们的周期相同， 且两个信号交替为空，因此两个信号乘积的积分为零，用互相且两个信号交替为空，因此两个信号乘积的积分为零，用互相 关表示就是关表示就是 t R tR 12012 ( )(0)0 让让f 2(t) 在时间轴上平移一个时间在时间轴上平移一个时间，这样两函数的乘积积分，这样两函数的乘积积分 就由零变大，当就由零变大，当 =T0 时，相乘积分值出现最大，即时，相乘积分值出现最大，即

26、R12(T0) 为最大为最大 值，当值，当值再增大时，值再增大时，R12(t)的值又逐渐变小，然后又趋向于零，的值又逐渐变小，然后又趋向于零， 可见这里的互相关函数衡量着波形间的松紧可见这里的互相关函数衡量着波形间的松紧( (关联关联) )程度。程度。 二、二、互相关函数的性质互相关函数的性质 1. R12(t) = 0 ，表示两个函数互不相关表示两个函数互不相关 tx Rtfftdftx fx dx 212121 ()( )()()() 令令 fftdRt 1212 ()()( ) 以能量信号为例加以证明以能量信号为例加以证明: 2. R12(t) R21(t) ，而是而是R12(t) =

27、R21(-t) 互相关不满足交换律互相关不满足交换律 3.RtFF 1212 ( )()() jtjt jtj j RtRt edtfftd edt fftedtdfFed FfedFF 121212 1212 2112 ( )( )( )() ( )()( )() ()( )() 证：证： 4. 当当f1(t) 为为实偶函数，即实偶函数，即 时时， 相关积分与卷积相关积分与卷积 积分相同。积分相同。 FF 11 ( )( ) 三三、 自相关函数自相关函数 2/ 2/ )()( 1 lim)( )()()( T TT dtff T tR dtfftR 对于功率信号有： 对于能量信号有： 4、自

28、相关的性质、自相关的性质 1. )()0(tRR FF 由由傅立叶变换性质，当傅立叶变换性质，当f (t) 为实信号为实信号 ，可见，可见f (t) 为实偶函数时，相关积分与卷积积分相同。为实偶函数时，相关积分与卷积积分相同。 物理概念物理概念 ： 因为在因为在t = 0时信号相关性最好，波形完全重叠，因时信号相关性最好，波形完全重叠，因 此，此，R (t) 达到最大值。达到最大值。 t = 0 自相关值，时间位置完全对准，大于自相关值，时间位置完全对准，大于 互相关值互相关值 t 0 (可看成另一个信号，与本信号只是出现时间不同可看成另一个信号，与本信号只是出现时间不同) 证明：对于能量信号

29、：证明：对于能量信号： ff td 2 0 fdff tdftd 22 2( )()()0 因为因为 tx ftdfx dxfd 222 ()( )( ) 则则：fdff td 2 ( )( )() 即：即： Rfdff tdR 2 (0)( )( )()= ( ) 2. 自相关函数是一个偶函数，即自相关函数是一个偶函数，即 ) )( () )( (tRtR ) )( () )( (tRtR 2112 证明：由互相关函数证明：由互相关函数 其中其中) )( () )( (tftf 21 所以所以 ) )( () )( (tRtR 3. 自相关函数在零时刻的值就是信号的能量或功率自相关函数在零时

30、刻的值就是信号的能量或功率 Sdf T R EdfR T T T 2 2 2 2 1 0 0 / / / / ) )( (l li im m) )( ( ) )( () )( ( 对对于于功功率率信信号号： 对对于于能能量量信信号号： 四四、自相关函数与谱密度的关系自相关函数与谱密度的关系傅里叶变换对傅里叶变换对 1. 能量信号能量信号：) )( () )( () )( (FFtR 2112 ) )( () )( () )( () )( () )( (EFFFtR f 2 能量信号的自相关函数与能量谱密度互为傅立叶变换能量信号的自相关函数与能量谱密度互为傅立叶变换 2. 功率信号功率信号 )

31、)( ( ) )( ( l li im m ) )( ( l li im m ) )( () )( (l li im m) )( () )( (l li im m) )( ( / / / / T F T R dtff T dtff T tR f T T T T TT T T T T 2 2 2 11 功率信号的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变化关系功率信号的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变化关系 补充题：补充题： 1. 已知一信号的自相关函数为：已知一信号的自相关函数为： k n k Re ( ) 2 ，k=常数常数 (1) 试求其功率谱密度试求其功率谱密度Pn (f) 和功率和功率P ；

32、 (2) 试画出试画出Rn ()功率谱密度功率谱密度Pn (f)曲线。曲线。 n fHfH P f 42 10,100 z100 z ( ) 0其其他他 2. 已知一信号已知一信号s(t)的双边功率谱密度为：的双边功率谱密度为： 试求其平均功率试求其平均功率P 实际信号都是时间的实函数，但在信号分析中，有时引实际信号都是时间的实函数，但在信号分析中，有时引 入时间的复函数入时间的复函数( (复信号复信号) )却会带来方便。却会带来方便。 一一、 解析信号解析信号 若若 f (t) 是实信号，则是实信号，则： deF tf tj 2 1 ) )( ( 0 0 11 22 jtjt FedFed

33、jtjt jt FedFed Fed 00 0 11 22 1 Re2 2 2.3 解析信号和希尔波特变换解析信号和希尔波特变换 0 000 1111 () 2222 jxtj tj tj t Fx edxFedFedFed 令令deF tf tj 0 2 2 1 ) )( () )( ( 称称f +(t) 为为解析信号或预包络解析信号或预包络，是复信号是复信号 令令 ) )( () )( () )( (tfjtftf是是 的虚部，含义待定的虚部，含义待定 ) )( (tf ) )( (tf 00 02 F Ftf ) )( ( ) )( () )( ( 物理意义：物理意义：时域解析信号，频域

34、具有单边特性时域解析信号，频域具有单边特性 频域中理想单边的信号，时域是一个复信号频域中理想单边的信号，时域是一个复信号 同样：时域单边的信号，频域也具有解析特性同样：时域单边的信号，频域也具有解析特性 同理可得：同理可得：deF tf tj 0 2 2 1 ) )( () )( ( 02 00 F Ftfjtftf) )( () )( () )( (即即： 结论：实信号的频谱是双边谱，复信号的频谱是单边谱。结论：实信号的频谱是双边谱，复信号的频谱是单边谱。 现在讨论现在讨论 的含义的含义 )(tf 先看频域特性先看频域特性 0 0 0 0 j j HHFF jFF jF jF jFjFFFF

35、Fj FjFF ) )( () )( () )( ( ) )s sg gn n( () )( ( ) )( () )( () )( () )( ( ) )( () )( ( t j ) )s sg gn n( (由由 二、二、 希尔波特变换希尔波特变换 的的希希尔尔伯伯特特变变换换是是称称) )( () )( () )( () )( () )( (tftf t tf t j tjftf 1 d tf d t f t d f tf ) )( ( ) )( ( ) )( () )( ( 1 11 或或 希尔波特反变换：希尔波特反变换： d tf t d f t tftf ) )( ( ) )( (

36、) )( ( 1 1 1 希尔波特变换的物理意义：希尔波特变换的物理意义： HFFjF ) )s sg gn n( ( 02 02 1 0 0 H j j H / / / / )( 物理意义：物理意义：希尔波特变换就是保持信号的幅频特性不变，相位谱希尔波特变换就是保持信号的幅频特性不变，相位谱 的正频率相移的正频率相移- -90O，负频率相移，负频率相移+90O，由于实际信号不存在负频，由于实际信号不存在负频 域，因此常说希尔波特滤波器就是一种域，因此常说希尔波特滤波器就是一种- -90O 变换。变换。 希尔波特变换为一个复信号希尔波特变换为一个复信号(解析信号解析信号)的实部与虚部确定了的实

37、部与虚部确定了 关系，或者它给出了如何由实信号去形成复信号，频域单边的信关系，或者它给出了如何由实信号去形成复信号，频域单边的信 号如何表示成时域形式。号如何表示成时域形式。 希尔波特变换的性质：希尔波特变换的性质： ) )( ( ) )( ( ) )( () ) ( ( tftfHtftfH ，则则如如果果 然成立然成立的幅度谱相同，结论显的幅度谱相同，结论显与与 ) )( () )( (tftf 证明证明： f f f tFjF EFjFFEj 2 22 2 ( )sgn() ()sgn()(),|sgn()|1注注 率率谱谱具具有有相相同同的的能能量量谱谱或或功功与与 ) )( () )

38、( (tftf 具具有有相相同同的的自自相相关关函函数数与与 ) )( () )( (tftf 两信号在同一时刻正交的条件为两信号在同一时刻正交的条件为： T TT ffd ffd T / 2 / 2 ( )( )0 1 lim( )( )0 正正交交与与 ) )( () )( (tftf ff ff Rt Rt ()( ) ()( ) 或或 ff ff ERt ERt ()( ) ()( ) 显然显然 证明见下页证明见下页 00 000 1 所以：所以： 必为零必为零和和时时都是奇函数，因此在都是奇函数，因此在和和以上说明以上说明 ：由互相关的性质由互相关的性质 ：同理可得同理可得 dttf

39、tfR RRttRtR tRtR tRtR tRtR tRtR tRtR tRtR ddtftfdtfftR ff ffffffff ffff ffff ffff ffff f ff f f ff ) )( () )( () )( ( ) )( () )( () )( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () )( ( ) )( (/ /) )( ( / /) )( () )( () )( () )( () )( ( 例例1) )( () )( (c co os s) )( (tftfttf 和和，求

40、求 0 ) ) s sg gn n( () ) ( () )( ( ) ) ( () )( ( jF F 00 00 ) )( (s si in n) ) ( () )( ( ) ) s sg gn n( () )( () )s sg gn n( () )( ( tftj j 000 00 tj etjttf 0 00 sinsincoscos) )( ( 例例2) )( () )( (c co os s) )( () )( (tftfttmtf 和和，求求 0 其中其中 0 tm 的的频频带带限限于于) )( ( ) )( (s si in n) )( () ) ( () )( ( tftt

41、mMM j 000 2 ) )( () )( () )( (tfjtftf tj etmtmtjt 0 00 ) )( () )( ( s si in n c co os s 补充题：补充题： ttktfttf f0201 1c co os s c co os s ) )( (s si in n) )( (和和 为为常常数数）（k f , , 0 1. 分别求分别求 的希尔波特变换和解析信号的希尔波特变换和解析信号 10 1 t tA tf , , , , ) )( ( 2. 求信号求信号 的希尔波特变换的希尔波特变换 ) )s sg gn n( () ) ( () )( ( ) ) ( ()

42、 )( ( MM j F MMF 00 00 2 2 1 解：解： 2.4 确定信号通过线性系统的传输确定信号通过线性系统的传输 一一、 线性时不变系统的传输特性线性时不变系统的传输特性 1. 线性时不变系统的基本特性线性时不变系统的基本特性 (1) 叠加性和均匀性叠加性和均匀性 (2) 时不变性时不变性 (3) 因果性因果性 (4) 稳定性稳定性 2. 线性时不变系统的传输特性线性时不变系统的传输特性 激励为激励为 时，响应记为时，响应记为 , ,传输函数传输函数 就是就是 的傅立叶变换的傅立叶变换。 ) )( (t) )( (th) )( (H) )( (th dtethH tj ) )(

43、 () )( ( 二二、 无失真传输系统和理想低通滤波器无失真传输系统和理想低通滤波器 ) )( () )( ( 0 ttKfty 为使信号不失真地传输，输入输出信号应满足如下关系为使信号不失真地传输，输入输出信号应满足如下关系： 或或) )( () )( () )( () )( (FHeKFY tj 0 于是得到线性系统于是得到线性系统无失真传输的条件为无失真传输的条件为: 0 tj KeH ) )( ( 它的幅频特性和相频特性分别为它的幅频特性和相频特性分别为: : 0 t KH ) )( ( ) )( ( 这种理想化的无失真传输系统是无法实现的这种理想化的无失真传输系统是无法实现的 激励

44、为激励为f (t)时，输出时，输出y (t)为为 y tfth t ( )( )( ) 频域关系为频域关系为: YHF ()()() 时域关系为时域关系为 由于实际中的许多信号都有一定的带宽，因此只要在信号带宽由于实际中的许多信号都有一定的带宽，因此只要在信号带宽 的范围内满足上述条件，就可以看成使无失真传输的系统。的范围内满足上述条件，就可以看成使无失真传输的系统。 由于由于 t 0 时时 ，h (t)0 ，说明此系统是物理不可实现的。，说明此系统是物理不可实现的。 为了保证信号的传输失真小，系统的传输函数特性在频带为了保证信号的传输失真小，系统的传输函数特性在频带 内越平坦越好，而在带外衰减越大越好。内越平坦越好，而在带外衰减越大越好。 W We H tj 0 0 ) )( ( ) ) ( ( ) )( ( 0 ttWSa W th 理想低通理想低通 滤波器特性：滤波器特性： 因此，在系统中常采用理想低通滤波器的概念来说明问题。因此，在系统中常采用理想低通滤波器的概念来说明问题。 三、三、 线性传输系统响应的能量谱和功