空间中垂直关系-立体几何高考一轮数学精品课件

1、 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 如果直线如果直线l与平面与平面内的任意一条直线都垂直，我们内的任意一条直线都垂直，我们 就说直线就说直线l与平面与平面互相垂直，记作互相垂直，记作 .直线直线l叫做叫做 平面平面的垂线，平面的垂线，平面叫做直线叫做直线l的垂面的垂面.直线与平面垂直时直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点它们唯一的公共点P叫做垂足叫做垂足. 根据定义，过一点根据定义，过一点 直线与已知平面垂直线与已知平面垂 直；过一点直；过一点 与已知直线

2、垂直与已知直线垂直. l 有且只有一条有且只有一条 有且只有一个平面有且只有一个平面 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 2.判定定理和性质定理 （1）判定定理：）判定定理： ，则，则 该直线与此平面垂直该直线与此平面垂直. （2）性质定理：）性质定理： . 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 判定判定性质性质 图图 形形 条条 件件 (b(b为

3、为a a内的内的 任一条直线任一条直线) 结结 论论 n nm m O On nm m n na am ma a , , , , , = a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, , b bb ba a, , a aa aa aa aa ab b b ba a b ba a/ / / 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 3. 3.直线和平面所成的角直线和平面所成的角 一条直线一条直线PA和一个平面和一个平面相相 交，交， ，这条直线叫做这个平面的斜，这条直线叫做这个平面的斜 线，斜线和平面的交

4、点线，斜线和平面的交点A叫做斜足叫做斜足.过斜线上斜足以外的过斜线上斜足以外的 一点向平面引垂线一点向平面引垂线PO，过垂足，过垂足O和斜足和斜足A的直线的直线AO叫做叫做 斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上平面的一条斜线和它在平面上 的的 ，叫做这条直线和这个平面所成的，叫做这条直线和这个平面所成的 角角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角 是是 ；一条直线和平面平行；一条直线和平面平行,或在平面内，我们或在平面内，我们 说它们所成的角是说它们所成的角是 的角的角. 二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 1.二

5、面角二面角 但不和这个平面垂直但不和这个平面垂直 射影所成的锐角射影所成的锐角 直角直角 0 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内内 ，这两条射线所成的角，这两条射线所成的角 叫二面角的平面角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角. 2.两个平面垂直的定义 一般地一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角两个平面相交，如果它

6、们所成的二面角 是是 ，就说这两个平面互相垂直，就说这两个平面互相垂直.记作记作 . 3.两个平面垂直的判定与性质 （1）判定定理）判定定理 ， 则这两个平面垂直则这两个平面垂直. 分别作垂直于棱的两条射线分别作垂直于棱的两条射线 直二面角直二面角 一个平面过另一个平面的垂线一个平面过另一个平面的垂线 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 （2）性质定理）性质定理 两个平面垂直，则一个平面内两个平面垂直，则一个平面内 与另一个平面垂直与另一个平面垂直. 垂直于交线的直线垂直于交线的直线 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考

7、一 轮数学精品课件轮数学精品课件 判定判定性质性质 图图 形形 条条 件件 直二面角 结结 论论 a aa aa aa aa aa a l la a a aa aa a, , l la al la a a aa a , , , , =a a = , , 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图如图,AB为圆为圆O的直径的直径,C为圆周为圆周 上异于上异于AB的任一点的任一点,PA面面 ABC,问问:图中共有多少个图中共有多少个Rt? 找出直角三角形找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直也就是找出图中的线线垂直. 空间中垂直关系空间中垂直关

8、系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 PA面面ABC, PAAC,PABC,PAAB. AB为圆为圆O的直径的直径,ACBC. 又又ACBC,PABC,PAAC=A, BC面面PAC. PC平面平面PAC,BCPC. 故图中有四个直角三角故图中有四个直角三角 形形:PAC,PBC,PAB,ABC. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 线线垂直可由线面垂直的性质推得线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线直线 和平面垂直和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻这是寻 找线线垂直的重

9、要依据找线线垂直的重要依据. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图如图,已知矩形已知矩形ABCD,过过A作作SA平面平面AC,再过再过A作作 AESB交交SB于于E,过过E作作EFSC交交SC于于F. (1)求证求证:AFSC; (2)若平面若平面AEF交交 SD于于G,求证求证:AGSD. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 (1)SA平面平面AC,BC平面平面AC, SABC, 四边形四边形ABCD为矩形为矩形,ABBC,BC平面平面SAB, BCAE,又又SBAE,AE平面平面

10、SBC, AESC,又又EFSC, SC平面平面AEF,AFSC. (2)SA平面平面AC,SADC, 又又ADDC,DC平面平面SAD,DCAG, 又由又由(1)有有SC平面平面AEF,AG平面平面AEF, SCAG,AG平面平面SDC, AGSD. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图所示，已知如图所示，已知PA矩形矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分别分别 是是AB，PC的中点的中点. （1）求证：）求证：MNCD； （2）若）若PDA= ， 求证：求证：MN 平面平面PCD. 4 45 5 （1）因）因M为为AB中点，只要证

11、中点，只要证ANB为等腰为等腰 三角形，则利用等腰三角形的性质可得三角形，则利用等腰三角形的性质可得MNAB. （2）已知）已知MNCD，只需再证，只需再证MNPC，易看出，易看出 PMC为等腰三角形，利用为等腰三角形，利用N为为PC的中点，可得的中点，可得MNPC. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 (1)如图如图,连接连接AC，AN，BN， PA平面平面ABCD，PAAC， 在在RtPAC中，中，N为为PC中点，中点， AN= PC. PA平面平面ABCD， PABC，又，又BCAB， PAAB=A, BC平面平面PAB，BCPB，

12、从而在从而在RtPBC中，中，BN为斜边为斜边PC上的中线，上的中线， BN= PC.AN=BN,ABN为等腰三角形为等腰三角形, 又又M为底边的中点为底边的中点,MNAB,又又ABCD,MNCD. 2 2 1 1 2 2 1 1 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 (2)连接连接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD. 四边形四边形ABCD为矩形为矩形,AD=BC，PA=BC. 又又M为为AB的中点，的中点，AM=BM. 而而PAM=CBM=90,PM=CM. 又又N为为PC的中点，的中点，MNPC. 由（由（1）知，）知，MNC

13、D，PCCD=C, MN平面平面PCD. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 垂直问题的证明，其一般规律是垂直问题的证明，其一般规律是“由已知由已知 想性质，由求证想判定想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件，也就是说，根据已知条件 去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有 关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起 来来. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图所示如图所示,

14、RtABC的斜边为的斜边为AB，过，过A作作AP平面平面 ABC，AEPB于于E，AFPC于于F.求证：求证：PB平面平面 AEF. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 AP平面平面ABCAPBC BCAC APCA=A AFPC AEPB BCAF AF面面PBC AFPB BCPC=C AFAE=A BC面面APC AF面面APC PB面面AEF. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图如图,ABC为正三角形，为正三角形，EC平面平面ABC，BDEC且且 EC=CA=2BD,M为为

15、EA中点中点.求证：求证： （1）平面）平面BDM平面平面ACE； （2）平面）平面DEA平面平面ECA. 要证面面垂直，首先想到判定定理，转为要证面面垂直，首先想到判定定理，转为 证线面垂直，再转换为证线线垂直证线面垂直，再转换为证线线垂直. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 (1)取取CA中点中点N，连结，连结MN,BN，在，在ACE中，中， M,N分别为分别为AE,AC中点，中点， MNEC，MN= EC. 而而BDEC，BD= EC, BD MN,B,D,M,N四点共面四点共面. EC平面平面ABC，BN平面平面ABC， ECBN

16、. 又又BNAC，BNEC，ACEC=C, BN面面ECA. 又又BN面面BMD，平面平面BMD平面平面ACE. 2 2 1 1 2 2 1 1 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 证明线面垂直的方法：证明一个面过另一证明线面垂直的方法：证明一个面过另一 个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直， 一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线， 则借助中点、高线与添加辅助线解决则借助中点、高线与添加辅助线解决. (2)DMBN，BN平面平面A

17、CE, DM平面平面ACE. 又又DM平面平面DEA，平面平面DEA平面平面ACE. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是是 DAB=60,且边长为且边长为a的菱形的菱形,侧面侧面PAD为正三角形，为正三角形， 其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面ABCD. （1）若）若G为为AD边的中点，边的中点， 求证：求证：BG平面平面PAD； （2）求证：）求证：ADPB; （3）求二面角）求二面角ABCP的大小；的大小； （4）若）若E为为BC边的中点，边的中点， 能否在棱能否在

18、棱PC上找到一点上找到一点F， 使平面使平面DEF平面平面ABCD?并证明你的结论并证明你的结论. F P G E D C B A 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 （1）：在菱形在菱形ABCD中，中，DAB=60，G为为 AD的中点，的中点，BGAD. 又平面又平面PAD平面平面ABCD，平面，平面PAD平面平面ABCD=AD， BG平面平面PAD. （2）：连结：连结PG.因为因为PAD为正三角形，为正三角形，G为为AD 的中点，得的中点，得PGAD. 由（由（1）知）知BGAD,PGBG=G,PG平面平面PGB，BG 平面平面PGB

19、，AD平面平面PGB. PB平面平面PGB，ADPB. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 （3）由（）由（2）得）得AD平面平面PGB. 在菱形在菱形ABCD中，中，ADBC， BC平面平面PGB. 而而PB平面平面PGB，BG平面平面PGB， BCPB，BCBG， PBG为二面角为二面角ABCP的平面角的平面角. 在在PAD中，中，PG= a， 在菱形在菱形ABCD中，中，BG= a， 在在RtPGB中，中，PBG=45, 二面角二面角ABCP为为45. 2 2 3 3 2 2 3 3 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几

20、何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 （4）当）当F为为PC的中点时，满足平面的中点时，满足平面DEF平面平面 ABCD.证明如下：证明如下： 取取PC的中点的中点F，连结，连结DE，EF，DF， 则由平面几何知识知，在则由平面几何知识知，在PBC中，中，FEPB， 在菱形在菱形ABCD中，中，GBDE,而而FE平面平面DEF，DE 平面平面DEF，FEDE=E, 平面平面DEF平面平面PGB. 由（由（1），），PG平面平面ABCD，而，而PG平面平面PGB， 平面平面PGB平面平面ABCD. 平面平面DEF平面平面ABCD. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮

21、数学精品课件轮数学精品课件 如图如图,在正方体在正方体ABCD A1B1C1D1中中, 求求A1B与平面与平面A1B1CD所成所成 的角的角. 求线面角的关键是确定直线在平面上的射求线面角的关键是确定直线在平面上的射 影影,及直线与射影所成的锐角及直线与射影所成的锐角. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 连结连结BC1交交B1C于于O,连结连结A1O. 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中各个面为正方形中各个面为正方形,设其棱长设其棱长 为为a. A1B1B1C1 A1B1平面平面BCC1B1 A1B1B1B BC1平面平面BCC1

22、B1 A1B1BC1 BC1B1C A1O为为A1B在平面在平面A1B1CD内的射影内的射影 BA1O为为A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角 在在RtA1BO中，中，A1B= a，OB= a sinBA1O= BA1O为锐角为锐角 A1B与平面与平面A1B1CD所成的角为所成的角为30. BC1平面平面A1B1CD BA1O=30 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 B BA A O OB B 1 1 = 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 求直线和平面所成的角时求直线和平面所成的角时,应注意的问题应注意的问题 是：是：(1

23、)先判断直线和平面的位置关系先判断直线和平面的位置关系.(2)当直线和平面当直线和平面 斜交时斜交时,常用以下步骤常用以下步骤:构造构造作出或找到斜线与射作出或找到斜线与射 影所成的角影所成的角;设定设定论证所作或找到的角为所求的论证所作或找到的角为所求的 角角;计算计算常用解三角形的方法求角常用解三角形的方法求角;结论结论点点 明斜线和平面所成的角的值明斜线和平面所成的角的值. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，中，底面为直角梯形， BC,BAD=90,PA底面底面,且且 PA=

24、AD=AB=2BC,M，N分别为，分别为，PB的中点的中点. (1)求证：求证：DM; (2)求求CD与平面所成的角与平面所成的角 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 （1）证明：）证明：是的中点，是的中点， PB, 平面，平面， ， 从而从而平面，平面， DM平面平面ADMN， . 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 (2)取的中点，连结，则取的中点，连结，则， 与平面所成的角和与平面所与平面所成的角和与平面所 成的角相等成的角相等. 平面，平面， BGN是与平面所成的角是与平面所成的

25、角. 在在tBGN中，中，sinBGN= . 故与平面所成的角是故与平面所成的角是arcsin . 5 5 1010 BGBG BNBN = 5 5 1010 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图如图,直角三角形直角三角形ABC的斜边的斜边 AB在平面在平面内内,AC,BC与平面与平面 所成的角分别为所成的角分别为30和和 45,求求ABC所在平面与平所在平面与平 面面所成的锐二面角所成的锐二面角. 由线面角想到射影由线面角想到射影,利用三垂线定理作二面利用三垂线定理作二面 角的平面角角的平面角. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何

26、高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 作作CC平面平面,C为垂足为垂足,作作CDAB 于于D,连连 结结CD,CDAB,CDC是所求二面角的平面角是所求二面角的平面角. 由由CC可知可知,CAC=30,CBC=45,设设CC=h, 在在RtCCA和和RtCCB中中,AC=2h,BC= h, 又又ACBC,AB= h, CD=(ACBC)AB= h, sinCDC= ,且且CDC为锐角为锐角. CDC=60, ABC所在平面与所在平面与所成的二面角为所成的二面角为60. 2 2 6 6B BC CA AC C 2 22 2 =+ 3 3 2 2 2 2 3 3 C CD D C C

27、C C = 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 求二面角的大小求二面角的大小,一般先作出二面角的一般先作出二面角的 平面角平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出此题是利用二面角的平面角的定义作出 AOC为二面角为二面角ABDC的平面角的平面角,通过解通过解AOC 所在的三角形求得所在的三角形求得AOC.其解题过程为其解题过程为:作作AOC 证证AOC是二面角的平面角是二面角的平面角计算计算AOC,简记为简记为 “作、证、算作、证、算”. 空间中垂直关系空间中垂直关系-立体几何高考一立体几何高考一 轮数学精品课件轮数学精品课件 如图所示，如图所示，PA平面平面ABCD，四边，四边 形形ABCD是矩形，是矩形，PA=AD=a,M,N分分 别是别是AB，PC的中点的中点. （1）求平面）求平面PCD与平面与平面ABCD所成所成 的二面角的大小；的二面角的大小； （2）求证：平面）求证：平