自动控制原理,胡寿松,第五版,第四章,根轨迹法

1、4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 4-2 4-2 绘制系统根轨迹的基本法则绘制系统根轨迹的基本法则 4-3 4-3 控制系统的根轨迹分析方法控制系统的根轨迹分析方法 学习指导与小结学习指导与小结 4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 r k kdk t k q i tp i teBeAAtc kki 11 0 )sin()( 反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解 出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但 是对于是对于3阶以上的系统求根比较困难。

2、如果系统中有一个可阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根就更困难了。变参数时，求根就更困难了。 q i r k kkki m j j ssps zs a b sR sC s 11 22 1 0 0 )2()( )( )( )( )( 1948年，年，提出了一种确定系统闭环特征根的提出了一种确定系统闭环特征根的 图解法图解法。在已知。在已知分布的基础分布的基础 上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便 的确定闭环极点。的确定闭环极点。 当系统当系统开环开环传递函数中某一参数从传递函数中某一参数从0 时，时， 闭环系统特征根

3、在闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作平面上的变化轨迹，就称作 。一般取一般取（根轨迹增益（根轨迹增益KgKg）作为可）作为可 变参数。变参数。 式中，式中，K为系统的开环比例系数。为系统的开环比例系数。 Kg = 2K 称为系统的开称为系统的开 环环。 系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为： g g Kss K s 2 )( 2 )2()2( 2 )15 . 0( ss K ss K ss K sG g K s(0.5s+1) + R(s)C(s) 解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为 系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + Kg = 0 求

4、得闭环特征根为：求得闭环特征根为： g Ks 11 2, 1 (1) Kg= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根迹的起点是根迹的起点(),用用“ ”表表 示。示。 2 j 0 1 (2) 0 Kg1：11 2, 1 g Kjs Kg= 0Kg= 0 Kg=1 Kg Kg )2( ss K sG g 根据根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的阶系统，会有如下的 结论：结论： （1）n阶系统有阶系统有n个根，根轨迹有个根，根轨迹有n条分支条分支 ； （2）每条分支的起点）每条分支的起点 (Kg= 0)位于开环极点处；位于开环极点处； （3）各分支的终点

5、）各分支的终点(Kg )或为开环零点处或为无限点；或为开环零点处或为无限点； （4）重根点，称为分离点或汇合点。）重根点，称为分离点或汇合点。 2 j 0 1 Kg= 0Kg= 0 Kg=1 Kg Kg 1. 1. 稳定性稳定性 当当Kg从从0 时，图中时，图中 的根轨迹不会越过虚轴进入的根轨迹不会越过虚轴进入 s右半平面，因此二阶系统右半平面，因此二阶系统 对所有的对所有的Kg值都是稳定的。值都是稳定的。 如果高阶系统的根轨迹如果高阶系统的根轨迹 有可能进入有可能进入s 右半平面，此右半平面，此 时根迹与虚轴交点处的时根迹与虚轴交点处的Kg 值，值， 成为成为。 开环系统在坐标原点有开环系统

6、在坐标原点有 一个极点，系统属于一个极点，系统属于系统，系统， 因而根规迹上的因而根规迹上的Kg 值就是静值就是静 态速度误差系数态速度误差系数Kv。如果。如果给给 定系统对定系统对ess 有要求，则对有要求，则对Kg 有要求，由根迹图可以确定有要求，由根迹图可以确定 闭环极点位置的容许范围。闭环极点位置的容许范围。 2 j 0 1 Kg= 0Kg= 0 Kg=1 Kg Kg 2 j 0 1 Kg= 0Kg= 0 Kg=1 Kg Kg 由图可见，由图可见，闭环极点均位于负实轴上，闭环极点均位于负实轴上， 系统为系统为系统，单位阶跃响应为非周期过程。系统，单位阶跃响应为非周期过程。 当当 时，闭

7、环两时，闭环两 个实极点重合，系统为个实极点重合，系统为 系统，单位阶跃响系统，单位阶跃响 应为非周期过程。应为非周期过程。 当当时，闭环极时，闭环极 点为一对共轭复数极点，点为一对共轭复数极点， 系统为系统为系统，单位系统，单位 阶跃响应为阻尼振荡过程。阶跃响应为阻尼振荡过程。 研究下图所示反馈控制系统的一般结构。研究下图所示反馈控制系统的一般结构。 )()(1 )( )( )( )( sHsG sG sR sC s 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 G(s) R(s) C(s) + H(s) 该系统的闭环特征方程为该系统的闭环特征方程为: D(s) = 1 G(s)H(s) = 0

8、 或或 G(s)H(s) = 1 若将系统的开环传递函数若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：写成如下形式： n j j m i ig g ps zsK sN sM KsHsG 1 1 )( )( )( )( )()( 式中式中 。上述方程又可写为：。上述方程又可写为： g n j j m i i K ps zs 1 )( )( 1 1 由于满足上式的任何由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构都是系统的闭环极点，所以当系统的结构 参数，如参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在在s平面上描平面上描 画的轨迹就是系统

9、的根轨迹。因此上式称之为系统的画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的。 根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程： g n j j m i i K ps zs 1 1 1 根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程： )64()12()()( 11 kpszs n j j m i i 式中，式中，k=0，1，2，（全部整数）。（全部整数）。 （4-6）通常称为）通常称为（4-7） 根据这两个条件，可完全确定根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹平面上根轨迹及及根轨迹上任一根轨迹上任一 点对应的点对应的Kg值。值。是确定是确定s平面上根轨迹的平面上根轨迹的，因此，因此， 绘制根轨迹时，只需要使用幅角

10、条件；而当需要确定根轨迹上各点绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点 的的Kg值时，才使用幅值条件。值时，才使用幅值条件。 )74(2)()( 11 kpszs n j j m i i g n j j m i i K ps zs 1 )( )( 1 1 已知负反馈系统开环零极点已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。分布如图示。 p2 p3 j 0 p1z1 s1 1 1 2 3 在在s平面找一点平面找一点s1 ， 画出各开环零、极点到画出各开环零、极点到 s1点的向量。点的向量。 检验检验s1是否满足幅角条件：是否满足幅角条件： (s1 z1) (s1 p1) + (s1

11、p2) + (s1 p3) = 1 1 2 3 = (2k+1) ？ 如果如果s1点满足幅角条件，则是根轨迹上的一点。点满足幅角条件，则是根轨迹上的一点。寻找寻找 在在s 平面内满足幅角条件的所有平面内满足幅角条件的所有s1 点，将这些点连成光滑点，将这些点连成光滑 曲线，即是闭环系统根轨迹。曲线，即是闭环系统根轨迹。 在在19481948年，伊凡思年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用图解法绘提出了用图解法绘 制根迹的一些制根迹的一些，可以迅速绘制闭环系统的根轨，可以迅速绘制闭环系统的根轨 迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条件迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条件 使

12、其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。 4-2 绘制系统根轨迹的基本法则 4.2.1 4.2.1 绘制绘制180180根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则 由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连 续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可 画出整个根轨迹。画出整个根轨迹。 g n j j m i i K ps zs 1 1 1 )64()12()()( 11 kpszs n j j m i i 在下面的讨

13、论中，假定系统变化的参数是开环根轨迹增益在下面的讨论中，假定系统变化的参数是开环根轨迹增益KgKg， 这种根轨迹习惯上称之为这种根轨迹习惯上称之为。绘制常规根轨迹的基本方法。绘制常规根轨迹的基本方法 如下：如下： 由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是 关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部 的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。 n阶系统，其闭环特征方程有阶系统，其闭环特征方程有n个根。当个根。当Kg 从从0连续连续 变化时，变化时，n

14、个根将绘出个根将绘出有有n条轨迹分支。因此根轨迹的条条轨迹分支。因此根轨迹的条 数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。 j 0 K= 0K= 0 K K 0 j 0 j Kg Kg Kg 0 j 0 j - 1 - 2 j 1 根轨迹上根轨迹上的点为起点，的点为起点，时的点为终点。时的点为终点。 n j j m i ig g ps zsK sN sM KsHsG 1 1 )( )( )( )( )()( 0)()( 11 n j m i igj zsKps 1 + G(s)H(s) = 0 证明：证明： 当当 Kg= 0 时，有时，有

15、s = pj ( j =1, 2, , n) 上式说明上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。时，闭环特征方程的根就是开环极点。 当当 Kg 时，有时，有 s = zi ( i =1, 2, , m) 所以根轨迹必终止于开环零点。所以根轨迹必终止于开环零点。 在实际系统中，开环传函中在实际系统中，开环传函中 m n ，有，有m 条根轨迹终条根轨迹终 点为开环零点处，另有点为开环零点处，另有n m条根轨迹的终点将在无穷远处，条根轨迹的终点将在无穷远处， 可以认为可以认为。 0)()( 1 11 n j m i ij g zsps K 将特征方程改写为：将特征方程改写为： 根据根据，当

16、开环传递函数中，当开环传递函数中m 0Kg0否？否？) 分分 离点上根轨迹的分离角为离点上根轨迹的分离角为90。 0 j 如果方程的阶次高时，可用如果方程的阶次高时，可用试探法试探法确定分离点。确定分离点。 d1 = 0.472 )5)(1( )( sss K sG g k k d /180 例例4-34-3 已知系统开环传函为已知系统开环传函为 )3)(2( )1( )( sss sK sG 试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。 解：解： 0 j 2 13 )1(320 11 mn zp m i i n j j a 22 12 k a 3 1 2 11 1 1 dddd d = 2.5

17、左左= 0.67 右右= 0.4 d = 2.01 左左= 0.99 右右= 99.49 d = 2.25 左左= 0.8 右右= 3.11 d = 2.47 左左= 0.68 右右= 0.65 d = 2.47 若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（ ）可按下述两种方法求出：）可按下述两种方法求出： 方法二：由劳斯稳定判据求出。方法二：由劳斯稳定判据求出。 例例4-54-5 求例求例4-1系统的根轨迹与系统的根轨迹与s平面虚轴的交点的交点坐标。平面虚轴的交点的交点坐标。 解：解： 0 )5)(1( 1)()(1)( sss K

18、 sHsGsD g 方法一：方法一： s3 + 6s 2 + 5s + Kg = 0 令令s=j，则，则 (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 0 3 + 5 = 0 62 + Kg= 0 5, 0 Kg= 0()， Kg= 30 方法二：方法二： s3 + 6s 2 + 5s + Kg= 0 劳斯表为劳斯表为 s3 1 5 s2 6 Kg s1 (30 Kg)/6 s0 Kg 当当Kg=30时，时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统行全零，劳斯表第一列不变号，系统 存在共轭虚根。共轭虚根可由存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出： 6s 2+ K

19、g= 05js (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 0 0 j d = 0.472 Kg= 30 5j Kg Kg Kg j2.24 Kg= 30 )5)(1( )( sss K sG g k 根轨迹离开根轨迹离开处的切线与正实轴方向的夹角，称为出处的切线与正实轴方向的夹角，称为出 射角射角(起始角起始角)，用，用 n xjj jx m i ixp ppzp x , 11 )()(180 m xii ix n j jxz zzpz x , 11 )()(180 x p x z 根轨迹进入根轨迹进入处的切线与正实轴方向的夹角，称为入处的切线与正实轴方向的夹角，称为入 射角射角

20、(终止角终止角)，用，用 表示；表示； 求出这些角度可按如下关系求出这些角度可按如下关系 表示。表示。 证明：设开环系统有一对共轭复数极点证明：设开环系统有一对共轭复数极点px,x+1 。在十分靠近待。在十分靠近待 求起始角的复数极点求起始角的复数极点px 的根轨迹上取一点的根轨迹上取一点s1 。 pxpx 1 zxzx 1 px Px+1 j 0 s1 x p 由于由于s1无限接近无限接近 px，因此，因此， 除除px 外，所有其它开环零、极点外，所有其它开环零、极点 到到s1点的向量幅角，都可以用它们点的向量幅角，都可以用它们 到到px 的向量幅角来代替，而的向量幅角来代替，而px到到s1

21、 点的向量幅角即为起始角。根据点的向量幅角即为起始角。根据s1 点必满足幅角条件，应有点必满足幅角条件，应有 移项后，立即得到法则中的公式。移项后，立即得到法则中的公式。 证毕证毕 180)()( , 11 x p n xjj jx m i ix ppzp 180)()()( 1 , 1 1 1 1 x n xjj j m i i pspszs 0 j -1-2 j1 试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解： )5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2( )2)(2)(5 . 1( )()( jsjsss jsjssK sHsG 起始角与终止角起始角与终止角 1

22、 2 3 1 3 2 n xjj jx m i ixp ppzp x , 11 )()(180 = 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3 =180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79 0 j -1-2 j1 m xii ix n j jxz zzpz x , 11 )()(180 =180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5 试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：三个开环极点解：三个开环极点 p1= 0、p2,3 = 1 j 渐近线：渐近线： 3条条 3 2 3 321 11 ppp mn zp n j

23、 m i ij a 3 5 3 12 ， mn k a 0 j )22( )()( 2 sss K sHsG g 2p 2js 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为：系统的闭环特征方程为 s3 + 2s2 + 2s + Kg= 0 劳斯表劳斯表 s3 1 2 s2 2 Kg s1 (4 Kg)/2 s0 Kg 令令s1系数为系数为0，得，得 Kg = 4 代入辅助方程代入辅助方程 2s2 + Kg= 0 实轴上根轨迹实轴上根轨迹：(，0 0)，即整个负实轴。，即整个负实轴。 45)()(180 3212 2 pppp p 出射角出射角： )22( )( 2 sss K sG

24、g k 绘制出系统根轨迹如图所示。绘制出系统根轨迹如图所示。 0 j 1 2 Kg Kg Kg j1.414 Kg = 4 )22( )( 2 sss K sG g k 绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。 若开环传函分母阶次若开环传函分母阶次n比分子阶次比分子阶次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2， 则则。 证明：证明： )( )( )( )( )()( i jg g ps zsK sN sM KsHsG nn nn mm mm g asasas bsbsbsK 1 1 1 1 1 1 )( n n

25、 n i i n i i apap)1( 1 1 1 式中式中() m m m j j m j j bzbz)1( 1 1 1 根据高阶方程系数与根的关系式，根据高阶方程系数与根的关系式，若若n m 2 ，则，则 0)()( )()(1)( 1 1 11 1 1 mm mm gnn nn bsbsbsKasasas sHsGsD 利用上述基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，对需利用上述基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，对需 要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言，要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言， ，应尽可，应尽可 能的准确绘制。

26、能的准确绘制。 n i i n i i pas 1 1 1 证毕证毕 -a1称为系统闭环极点或开环极点的称为系统闭环极点或开环极点的。表明当。表明当Kg变化时，一变化时，一 些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左 行，重心保持不变。行，重心保持不变。 试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解： 例例4-74-7 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为 15 . 0 )15 . 0( )()( 2 ss sK sHsG g 22 )2( )()( 2 ss sK sHsG g 0 j -1 -

27、2 j1 jdjdd 1 1 1 1 2 1 d = 0.59(舍去舍去) d = 3.41 结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统， ，当，当K从从0 时，时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零 点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。 d 22 )2( )()( 2 ss sK sHsG g 0 j -1 -4 -2 j1 试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解： 例例4-84-8 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈

28、系统的开环传递函数为 )204)(4( )()( 2 ssss K sHsG g 渐近线：渐近线： a = 2 a = 45 , 135 分离点：分离点： d = 2 d = 2 j2.45 与虚轴交点：与虚轴交点： Kg=260 s = j3.16 n j j m i ig g ps zsK sN sM KsHsG 1 1 )( )( )( )( )()( 此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为 D(s) = 1 G(s)H(s) = 0 或或 g n j j m i i K ps zs 1 )( )( 1 1 此时的根轨迹称为此时的根轨迹称为 根轨迹的

29、幅角方程：根轨迹的幅角方程： kpszs n j j m i i 2)()( 11 g n j j m i i K ps zs 1 1 1 根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程： 绘制绘制0 0 根轨迹的基本法则如下：根轨迹的基本法则如下： 当开环传函中当开环传函中m a； （3 3）b=a （4 4）ba时，起始于时，起始于 坐标原点的两条根轨迹的坐标原点的两条根轨迹的 渐近线位于右半渐近线位于右半s平面，平面， 系统结构不稳定。系统结构不稳定。 )( )()( 2 ass bs KsHsG g 0 j a (b a)/2 0 j b （3）b=a时，起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚时，起始于

30、坐标原点的两条根轨迹为与虚 轴上，系统临界稳定。轴上，系统临界稳定。P=-a和和z=-b构成开环偶极子。构成开环偶极子。 2 2 1 )( )()( s K ass bs KsHsG g g j 0 j b=-a （4）ba时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近 线位于左半线位于左半s平面，系统结构稳定。平面，系统结构稳定。 0 j a (b a)/2 0 j b )( )()( 2 ass bs KsHsG g （5）b=0，a为有限量时，系统为没有开环零点的为有限量时，系统为没有开环零点的 二阶系统，结构稳定。二阶系统，结构稳定。 )( 1 )( )()(

31、 2 ass K ass bs KsHsG g g j 0 j -a-a/2 从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨 迹有如下影响：迹有如下影响： （1）改变了实轴上根轨迹的分布。）改变了实轴上根轨迹的分布。 （2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐 标及夹角的大小。标及夹角的大小。 （3）使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定）使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定 度，有利于改善系统的动态特性。度，有利于改善系统的动态特性。 （4）开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环）开环零点和极点重

32、合或相近时，二者构成开环 偶极子偶极子,抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。 分析例分析例4-10的根轨迹图可以看出，增加一个开环极的根轨迹图可以看出，增加一个开环极 点对系统的根轨迹有如下影响：点对系统的根轨迹有如下影响： （1）改变了实轴上根轨迹的分布。）改变了实轴上根轨迹的分布。 （2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及 夹角的大小。夹角的大小。 （3）使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，）使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度， 有损于系统的动态特性，使得系统相应的快速性变差

33、有损于系统的动态特性，使得系统相应的快速性变差。 开环偶极子开环偶极子(零极点重合或相近零极点重合或相近)，提供相同的幅角，提供相同的幅角 和幅值，根据根轨迹方程，对根轨迹的影响为：和幅值，根据根轨迹方程，对根轨迹的影响为： （1）开环偶极子不影响根轨迹的形状；）开环偶极子不影响根轨迹的形状； （2）开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益）开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益 值，但可能影响根轨迹上各点开环比例系数的值；值，但可能影响根轨迹上各点开环比例系数的值； （3）合理配置偶极子中的开环零极点，可以在不）合理配置偶极子中的开环零极点，可以在不 影响动态性能的基础上，改善系统的稳态性

34、能。影响动态性能的基础上，改善系统的稳态性能。 P126，式，式3-111； p153,式式4-2 vn i i m j j v sT s s K sHsG 1 1 )1( )1( )()( n vi j m j jg n i j m j jg v s v s p zK ps zsK ssHsGsK 1 1 1 1 00 )( )( )( )( lim)()(lim n i j m j jg ps zsK sHsG 1 1 )( )( )()( 增加一对离原点很近的零极点构成开环偶极子，则增加一对离原点很近的零极点构成开环偶极子，则 c c c c n vi j m j jg c p z K

35、p z p zK K 1 1 )( )( 若取若取zc=-0.1,pc=-0.01,则则 Kc=10K。不影响动态性不影响动态性 能但提高了稳态性能能但提高了稳态性能 1.基本要求基本要求 通过本章学习，应当做到：通过本章学习，应当做到： （1）掌握开环根轨迹增益）掌握开环根轨迹增益Kg变化时系统闭环变化时系统闭环 根轨迹根轨迹 的绘制方法。理解和熟记根轨迹的绘制法则。会利用幅的绘制方法。理解和熟记根轨迹的绘制法则。会利用幅 值方程求特定的值方程求特定的Kg值。值。 （2）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定 性关系及系统根轨迹分析的基本思路。性关

36、系及系统根轨迹分析的基本思路。 （3）掌握）掌握0根轨迹、参变量根轨迹及非最小相位根轨迹、参变量根轨迹及非最小相位 根轨迹绘制的基本思路和方法。根轨迹绘制的基本思路和方法。 2.内容提要内容提要 本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨 迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。 1 )( )( 1 1 n j j m i ig ps zsK 系统根轨迹的幅值方程为系统根轨迹的幅值方程为 g n j j m i i K ps zs 1 1 1 系统根轨迹的幅角方程为系统根轨迹的幅角方程为 m

37、i n j ji kpszs 11 )12()()( 1）根轨迹的基本概念）根轨迹的基本概念 根轨迹是当系统中某参数由根轨迹是当系统中某参数由0变化时，系统的闭变化时，系统的闭 环极点在环极点在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。 2 2）根轨迹方程）根轨迹方程 负反馈系统根轨迹方程的一般形式为负反馈系统根轨迹方程的一般形式为 3）绘制系统轨迹的基本法则）绘制系统轨迹的基本法则 根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹的基根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹的基 本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制出闭环系本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制出闭环系 统的概略根轨迹。统的概略根轨迹。 4）控制系统的根轨迹分析）控制系统的根轨迹分析 控制系统的根轨迹分析即应用闭环系统的根轨迹图，控制系统的根轨迹分析即应用闭环系统的根轨迹图， 分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能，或分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能，或 在根轨迹图上可以进