清华大学静力学(九)

1、张毅主编；董桂花，徐继忠，潘立常副主编张毅主编；董桂花，徐继忠，潘立常副主编 欢迎学习欢迎学习 张张 毅毅 主主 编编 董桂花董桂花 徐继忠徐继忠 潘立常潘立常 副主编副主编 2006年年6月月 9.1 扭转的概念 9.2 外力偶矩的计算和扭转时的内力 9.3 薄壁圆筒的扭转 9.4 等直圆轴扭转时横截面上的应力 9.5 极惯性矩和抗扭截面系数 9.6 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 9.7 小 结 l理解扭转的概念。较熟练地掌握扭矩的计算及扭矩图的绘制。 l了解薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力计算公式。理解剪应力互等 定理。熟悉剪切胡克定律。 l掌握圆形及圆环形截面的极惯性矩和抗扭截面系数的计

2、算。 l较熟练地掌握圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算及强度和刚 度的计算。 9.1 扭转的概念扭转的概念 扭转变形是杆件的四种基本变形之一。在垂直于杆件 轴线的平面内，作用一对大小相等、方向相反的外力偶 时，杆件的任意两个横截面都将绕轴线作相对转动，这 种形式的变形称为扭转变形。 图9.1 圆轴的扭转和扭转角 如图9.1所示，杆件任意两个横截面绕轴线的相对转角， 称为扭转角，通常用表示。在图9.1中，截面B相对于 截面A的扭转角为BA。 9.2 外力偶矩的计算和扭转时的内力外力偶矩的计算和扭转时的内力 在对杆件进行强度和刚度计算之前，先要计算出作用于杆轴上的外 力偶矩和横截面上的内力。 图

3、9.2 功率的传递与分配 对于工程中常用的传动轴，往往只知道它所传递的功率和转速。 因此，为了对它进行强度和刚度计算，就要根据它所要传递的功 率和转速，求出使轴发生扭转的外力偶矩。下面结合图9.2所示 传动轴进行分析。 1. 1. 力偶矩的计算力偶矩的计算 设通过某一轮所传递的功率为 Nk，单位为千瓦(kW)。轴的转 速为n，单位每分钟转(r/min) 。则作用在此轴上的外力偶矩 m可按以下方法求得： 或 式中N为公制马力数。 在这种外力偶的作用下，圆轴横截面上的内力是一个作用 在该截面内的力偶，其力偶矩T称为扭矩。 内力偶矩T与外力偶矩m相互平衡，根据平衡条件 ，可得内力 偶矩T的大小为 T

4、=m 2. 2. 扭转时的内力扭转时的内力扭矩扭矩 扭矩的单位为Nm(牛顿米)或kNm(千牛顿米)。 3. 3. 扭矩图扭矩图 表示轴上各横截面上的扭矩变化规律的图形称为扭矩图。 【例9.1】一传动轴如图9.3(a)所示，主动轮的输入功率为 Nk1=500kW，若不计轴承摩擦所损失的功率，三个从动轮输出的 功率分别为Nk1=Nk2=150kW，Nk4=200kW；轴的转速为n=300r/min( 转/分)。试画出轴的扭矩图。 解：(1)计算外力偶矩 (2)计算扭矩 根据已知条件，各段横截面上的扭矩是不相同的，现用截面法计算 各段杆轴内的扭矩。 在BC段，用一个假想的截面n-n将杆截开，选取左边

5、部分为脱离体， T1 表示横截面上的扭矩，并假设为正值，如图9.3(b)所示。由平衡方程 (3)画扭矩图 根据计算的扭矩值及其正负号，即可画出扭矩图(图9.3(c)。 从图中可见，最大的扭矩 发生在CA段内，其值为9.56 。 结果为负值，说明扭矩的实际转 向与假设相反，也说明横截面上 的实际扭矩为负值。 图9.3图 Mx=0 得T1+M1=0 T1=-m1=-4.17(kNgm) 同理，在CA段 在AD段，可选取右边部分为研究 对象 壁厚远小于其平均半径 的圆筒，称为薄壁圆筒。 图9.4 薄壁圆筒扭转时的变形分析 取一薄壁圆筒，当在其两端垂直于杆轴的平面内作用一对大小相 等、转向相反的外力偶

6、m时，圆筒发生了扭转变形。圆筒中任意 横截面上的扭矩，可用截面法求得：T=m。 9.3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 1. 1. 薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力 为了求圆筒横截面上的剪应力，先观察薄壁圆筒扭转时的变形现象。 在两个相互垂直的平面上，垂直于公共棱边的剪应力成 对存在，且大小相等，方向指向(或背离)该公共棱边。这一 关系称为剪应力互等定理。 2. 2. 剪应力互等定理剪应力互等定理 公式： 3. 3. 剪切胡克定律剪切胡克定律 剪切胡克定律 G称为材料的剪切弹性模量，它反映了材料抵抗剪切变形 的能力，单位为Pa或MPa。各种材料的G值可由实验测定。 1

7、. 1. 几何变形方面几何变形方面 图9.5 圆轴扭转时的变形分析 图9.6 楔形体的变形分析 9.4 等直圆轴扭转时横截面上的应力等直圆轴扭转时横截面上的应力 2. 2. 物理关系方面物理关系方面 图9.7 剪应力在横截面上的分布规律 图9.8 微剪力与扭矩之间的关系 3. 3. 静力学关系方面静力学关系方面 1.受扭的杆件是等直圆轴 4. 4. 公式的适用范围公式的适用范围 2.必须在弹性范围之内，即横截面上的剪应力不超过材料的剪切 比例极限。 微面积dA与它到某一点的距离P的平方的乘积在整个截面A上的 总和，称为平面图形对该点的极惯性矩。即： 对于直径为D的实心圆截面其抗扭截面系数为 9

8、.5 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数 对于空心圆截面其抗扭截面系数为 【例9.2】一直径d=50mm的圆轴，已知轴上的扭矩为T=1kNgn，材料 的剪切弹性模量G=80GPa。 试求：(1)距离圆心p=20mm处的剪应力和剪应变。 (2)最大剪应力和单位长度的扭转角。 解：(1)计算截面的极惯性矩和抗扭截面系数 由 得 由胡克定律 得 (2)最大剪应力为 单位长度的扭转角为： 圆轴扭转时的变形是用两个横截面绕轴线发生的相对转角即扭转 角来度量的。 为了使圆轴在工作中不因强度不足而发生破坏，应使轴内的最大剪 应力不超过材料的许用剪应力。因此，圆轴扭转时的强度条件为 单位长度的扭转角

9、为 9.6 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 1. 1. 强度条件强度条件 2. 2. 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 在工程中，为了保证圆轴的正常工作，除了要满足强度条件外，还 要限制它的扭转变形。 3. 3. 刚度条件刚度条件 通常这种变形是通过限制圆轴的最大单位长度扭转角不超过许用的 单位长度扭转角来实现的，即 【例9.5】一空心圆截面轴，已知轴的内径d=85mm，外径D=90mm， 材料的许用剪应力=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，轴的许 用单位长度扭转角 。试求轴所能传递的许用扭矩。 的数值，可从有关手册中查到。 4. 4. 计算举例计算举例 解

10、：(1)强度方面 因此，圆轴所能传递的许用扭矩为T=1.47kNgm 圆轴的抗扭截面系数为 由强度条件得 (2)刚度方面 圆轴的极惯性矩为 由刚度条件得 外力偶矩与功率、转速之间的换算关系为： 9.7 小小 结结 1. 1. 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 本章主要研究圆轴扭转时的内力、应力和变形及其强度和刚度的 计算；薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力、剪应力互等定理和剪 切胡克定律。 2. 2. 薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪切胡克定律薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪切胡克定律 薄壁圆筒扭转时横截面上的剪应力沿筒壁均匀分布，其计算公式为： 4. 4. 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 在弹性范围内，圆轴扭转时横截面上的剪应力沿半径