2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 ..2 第1课时 利用导数研究函数的极值教学案 新人教B版选修1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精第1课时利用导数研究函数的极值学习目标1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)。3。掌握函数在某一点取得极值的条件知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题,观察下图,函数yf(x)在xd、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x）在这些点处的导数值是多少?在这些点附近，yf（x)的导数的符号有什么规律？答：以d

2、、e两点为例,函数yf（x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f（d）0；在xd的附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0.预习导引1极值点与极值已知函数f（x）及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0），则称函数f(x）在点x0处取极大值，记作y极大值f(x0），并把x0称为函数f（x）的一个极大值点；如果都有f（x)f(x0），则称函数f(x）在点x0处取极小值,记作y极小值f(x0），并把x0称为函数f（x）的一个极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点2求可导函数yf(x)极值的步骤（1）求

3、导数f(x）；（2)求方程f(x)0的所有实数根；（3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化，如果f（x)的符号由正变负，则f(x0）是极大值;如果f（x）的符号由负变正，则f(x0)是极小值如果在f（x)0的根xx0的左右侧符号不变，则f（x0）不是极值。要点一求函数的极值例1求函数f(x)2的极值解函数的定义域为r.f（x)。令f（x）0,得x1，或x1。当x变化时，f(x)，f（x)的变化情况如下表:x(，1)1（1,1)1(1，)f（x）00f(x)31由上表可以看出：当x1时，函数有极小值，且极小值为f（1）3；当x1时，函数有极大值,且极大值为f

4、（1）1.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤（1)确定函数的定义域，求导数f（x)（2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格检测f（x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f（x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x）在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值跟踪演练1求函数f(x）3lnx的极值解函数f（x)3lnx的定义域为（0，)，f(x)。令f(x）0，得x1.当x变化时，f(x）与f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，）f(x)0f（x)3因此当x1时，f（x)有极

5、小值f(1)3.要点二利用函数极值确定参数的值例2已知函数f(x）ax3bx2cx（a0）在x1处取得极值，且f（1）1。（1）求常数a，b,c的值;（2）判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值解（1）f(x）3ax22bxc。x1是函数f（x）的极值点，x1是方程f（x)0的两根,即3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系,得又f(1）1,abc1.由解得a，b0，c.（2）由（1）知,f（x)x3x，f（x）x2（x1)（x1），当x0，当1x1时，f（x)或x时,f(x）0；当x时，f（x）0。所以f(x)的单调递增区间为（，)和（，)；单调递减区间为(，）当x时

6、,f（x)有极大值54；当x时，f（x）有极小值54。(2)由(1)的分析知yf（x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f（x）a有三个不同的实根所以，此时a的取值范围是（54，54)规律方法用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪演练3若函数f（x）2x36xk在r上只有一个零点，求常数k的取值范围解f(x）2x36xk，则f（x）6x26，令f（x）0,得x1或x1，可知f（x）在（1,1）上是减函数，f(x)在(,1)和

7、(1，)上是增函数f（x）的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f（1)4k。要使函数f（x）只有一个零点，只需4k0或4k0(如图所示)即k4或k4。k的取值范围是(，4)(4,).1下列关于函数的极值的说法正确的是（）a导数值为0的点一定是函数的极值点b函数的极小值一定小于它的极大值c函数在定义域内有一个极大值和一个极小值d若f（x）在（a，b）内有极值，那么f(x)在（a，b)内不是单调函数答案d解析由极值的概念可知只有d正确2函数f（x）的定义域为r，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x)（）a无极大值点，有四个极小值点b有三个极大值点,两个极小值点c有两个极大值点，两个极小

8、值点d有四个极大值点,无极小值点答案c解析f(x)的符号由正变负，则f（x0）是极大值，f(x）的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点,两个极小值点3已知f（x）x3ax2（a6)x1有极大值和极小值,则a的取值范围为（ )a（1,2) b(3，6)c(，1）（2，) d(,3)（6，)答案d解析f（x)3x22ax(a6），因为f(x）既有极大值又有极小值,那么(2a）243(a6)0，解得a3或a6.4设函数f(x)6x33（a2）x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2,且x1x21，则实数a的值为_答案9解析f(x)18x26（a2）x2a。由已知f（x1)f（x2）0，则x1,x2是f(x)0的两根，从而x1x21，所以a9。1。函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f（x0）0且在xx