2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 .1 变化率与导数教学案 1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精3.1 变化率与导数第1课时变化率问题、导数的概念核心必知1预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材p72p76的内容，回答下列问题(1)气球膨胀率气球的体积v(单位：l)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是v（r)r3，如果将半径r表示为体积v的函数，那么r(v）。当空气容量v从0增加到1 l时,气球的平均膨胀率是多少？提示：0.62（dm/l）当空气容量v从1 l增加到2 l时，气球的平均膨胀率是多少?提示：0.16(dm/l)当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率又是多少？提示：(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位:m）与起跳

2、后时间t（单位：s)存在函数关系h（t)4.9t26.5t10.在0t0。5这段时间里,运动员的平均速度v是多少？提示：v4。05(m/s)在1t2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v8。2(m/s)在t1tt2这段时间里, 运动员的平均速度 v又是多少？提示：v2归纳总结，核心必记（1)函数的平均变化率对于函数yf(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1）变为f（x2),我们把式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地,yf(x2）f(

3、x1)于是，平均变化率可表示为(2)瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度若物体运动的路程与时间的关系式是sf(t），当t趋近于0时，函数f(t）在t0到t0t之间的平均变化率趋近于常数,我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度（3)导数的定义一般地，函数yf(x）在xx0处的瞬时变化率是：,我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f（x0）或yxx0，即f（x0）=问题思考（1）设a(x1，f(x1），b(x2,f（x2）是曲线yf（x)上任意不同的两点，则函数yf(x）的平均变化率表示什么?提示：表示割线ab的斜率（2)x,y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：x

4、，y可正可负，y也可以为零，但x不能为0，平均变化率可正、可负、可为零(3)在高台跳水中，如何求在1，1t这段时间内的平均速度v？当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势?提示:v。当t趋近于0时，平均速度v即为t1时的瞬时速度（4）平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示:（1）区别:平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；(2)联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值课前反思（1)平均变化率的定义是：；(2)什么是函数的瞬时变化率?它与平均变化率有什么区别和联系？;(3）导数

5、的定义是什么?如何表示？；（4）平均速度与瞬时速度的定义是什么?它们有什么区别和联系?思考1平均变化率可用式子表示，其中y、x的意义是什么？提示：y、x分别表示函数值和自变量的变化量思考2如何求函数yf（x）在区间x1,x2上的平均变化率？提示:平均变化率为讲一讲1已知函数f(x)3x25,求f（x）:（1)从0。1到0.2的平均变化率；(2）在区间x0，x0x上的平均变化率尝试解答（1）因为f（x）3x25,所以从0.1到0.2的平均变化率为0。9.(2)f（x0x)f（x0）3（x0x）25(3x5)3x6x0x3（x）253x56x0x3(x）2。函数f(x）在区间x0，x0x上的平均变

6、化率为6x03x。(1）求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量xx2x1.第二步，求函数值的增量yf(x2）f（x1）第三步,求平均变化率.(2）求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式练一练1已知函数f(x）x,分别计算f（x）在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快解：自变量x从1变到2时，函数f(x）的平均变化率为； 自变量x从3变到5时,函数f（x）的平均变化率为。因为，所以函数f(x)x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快某物体按sf(t)的规律运动思考1该物体在t0,t0t内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度

7、是多少? 思考2如何求(当x无限趋近于0时）的极限？名师指津：(1）在极限表达式中,可把x作为一个数来参与运算（2）求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x0,求出结果即可讲一讲2若一物体的运动方程为s（路程单位：m，时间单位:s）求：（1）物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度；（2）物体在t1 s时的瞬时速度尝试解答(1）因为s3522(3322）48，t2，所以物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度为24(m/s）求瞬时速度的步骤（1）求物体运动路程与时间的关系ss（t）；(2）求时间改变量t,位移改变量ss（t0t)s（t0）；（3）求平均速度；练一练2一质点按规律s（t)a

8、t21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值由题意知，4a8，所以a2。思考任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)x|在x0处是否存在导数?名师指津：不一定，f(x)x|在x0处不存在导数x0时，的极限不存在，从而在x0处的导数不存在讲一讲3求函数yx在x1处的导数尝试解答y(1x)x,1,求函数yf（x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限练一练3求函数f（x)x25x在x3处的导数解:yf（3x)f(3）（3x)25(3x)（3253）96x(x)2155x915(x)211x，x11，-课堂归纳感悟

9、提升-1本节课的重点是函数yf(x）在xx0处的导数的定义，也是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法(1)平均变化率的求法，见讲1；（2）瞬时速度的求法,见讲2; (3）利用定义求函数在某一点处的导数的方法,见讲3.3本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.注意：在导数的定义中，增量x的形式是多样的，但不论x是哪种形式，y必须选择相对应的形式课时达标训练（十三） 即时达标对点练题组1求函数的平均变化率1如图，函数yf（x）在a，b两点间的平均变化率等于（)a1 b1c2 d2解析：选b平均变化率为1.2已知函数yf(x）2x2的图象上点p（1，2）及邻近点q（1x,2y)，

10、则的值为(）a4b4x c42x2 d42x解析：选d42x。3求函数yf（x）在区间1，1x内的平均变化率解:yf(1x)f（1)1， 。题组2求瞬时速度4某物体的运动路程s(单位：m）与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t）t32表示,则此物体在t1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为(）a1 b3 c1 d0答案：b5求第4题中的物体在t0时的瞬时速度解:物体在t0时的平均速度为v3t3t0t(t）2.故此物体在tt0时的瞬时速度为3t m/s.6若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t0的值解：由v3t3t0t（t）2，所以由3t27,解得t03,因为t00,故t03，

11、所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s.题组3利用定义求函数在某一点处的导数7设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f（x0x）f(x0）axb(x)2(a,b为常数)，则(）af（x）abf（x）bcf(x0)adf(x0）b8设函数f(x）ax3，若f(1)3，则a等于(）a2 b2 c3 d39求函数f（x)在x1处的导数f（1）能力提升综合练a与x0，h都有关b仅与x0有关，而与h无关c仅与h有关，而与x0无关d以上答案都不对解析:选b由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关2函数yx2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2

12、的大小关系为()ak1k2 bk2kb,在c处的切线斜率小于零，所以f（x1)f(x2）f(x3）(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点(4)f(x0)与f(x）有什么区别?提示:f（x0)是一个确定的数，而f（x）是一个函数课前反思(1）导数的几何意义是:；(2）导数的概念是：;(3)如何求函数f（x）在xx0处的切线方程？思考1直线的点斜式方程是什么？提示：yy0k(xx0)思考2如何求曲线f(x)在点(x0，f（x0）处的切线方程?名师指津：根据导数的几何意义,求出函数yf(x）在点

13、(x0,f（x0）处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程思考3曲线f（x）在点(x0，f（x0）处的切线与曲线过点(x0，y0）的切线有什么不同？名师指津：曲线f(x)在点（x0，f（x0)处的切线，点(x0,f（x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f（x)过某点(x0,y0)的切线，给出的点(x0，y0）不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点讲一讲1已知曲线yx2，(1）求曲线在点p（1，1)处的切线方程；（2)求曲线过点p(3，5）的切线方程尝试解答(1)设切点为（x0,y0)，曲线在点p（1,1）处的切线方程为y1

14、2(x1),即y2x1。（2)点p（3，5)不在曲线yx2上,设切点为（x0，y0），由(1)知,yxx02x0，切线方程为yy02x0（xx0),由p(3，5）在所求直线上得5y02x0（3x0)，再由a(x0,y0)在曲线yx2上得y0x，联立，得x01或x05。从而切点为（1,1)时,切线的斜率为k12x02,此时切线方程为y12（x1)，即y2x1,当切点为(5，25)时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为y2510(x5)，即y10x25。综上所述，过点p（3，5）且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1或y10x25.利用导数的几何意义求切线方程的方法（1)若已知点(x0，y

15、0)在已知曲线上,求在点（x0，y0）处的切线方程，先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f（x0)（xx0)(2)若点(x0,y0）不在曲线上，求过点（x0，y0）的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标,进而求出切线方程练一练1已知曲线c：yx3.（1)求曲线c在x1处的切线方程；(2）求第（1）问中的切线与曲线c的公共点解:（1）3x23xx（x)2，又x1时，y1,切线方程为y13（x1），即3xy20.(2）由得x33x20，即x3x2x20，（x1)2(x2）0.解得x1或x2，切线与曲线c的公共点为（1

16、，1)和（2，8)思考如何处理切点问题?名师指津:切点问题的处理方法：（1）借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率,由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标（2）与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来,如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等讲一讲2若曲线yx33x21在点p处的切线平行于直线y9x1，求p点坐标及切线方程尝试解答设p点坐标为(x0，y0)，(x）23x0x3x3x6x0。3x6x0,于是3x6x09，解得x03或x01，因此，点p的坐标为(3,1)或(1，3）又切线斜率为9，所以曲线在点p处的切线方程为y9（x3)1或

17、y9(x1）3，即y9x26或y9x6.根据切线斜率求切点坐标的步骤（1)设切点坐标（x0，y0）；(2）求导函数f（x）;(3）求切线的斜率f（x0）；(4）由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0；(5）点(x0，y0)在曲线f(x）上,将（x0,y0）代入求y0得切点坐标练一练2已知曲线y2x2a在点p处的切线方程为8xy150，求切点p的坐标及a的值解：设切点p（x0，y0），4x,得kyxx04x0。根据题意4x08,x02，代入8xy150得y01。故所求切点为p(2，1）,a2xy07.讲一讲3（1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x）在区间a，

18、b上的图象可能是下图中的()(2）已知函数yf(x)，yg（x）的导函数的图象如图，那么yf(x），yg（x)的图象可能是(）尝试解答（1）由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选a.（2）从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除b、c。再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出yf（x）的导函数的值在减小,所以原函数的斜率慢慢变小,排除a。答案（1)a(2）d导数与函数图象升降的关系若函数yf（x)在xx0处的导数存在且f（x0)0(即切线的斜率大于零),则函数yf（x）在xx0附近的图象是上升的；若f(x0）0（即切线的斜率小于零),则函

19、数yf(x)在xx0附近的图象是下降的导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢练一练3如图,点a(2，1），b（3，0)，e(x，0）(x0），过点e作ob的垂线l.记aob在直线l左侧部分的面积为s，则函数sf（x)的图象为下图中的（)解析：选d函数的定义域为（0，)，当x0，2时，在单位长度变化量x内面积变化量s越来越大，即斜率f（x)在0,2内越来越大，因此，函数sf(x）的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量s越来越小，即斜率f（x）在(2，3）内越来越小,因此，函数sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的;当x3，）时，在单位长度变化量x内

20、面积变化量s为0，即斜率f(x）在3，）内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线-课堂归纳感悟提升-1本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程2本节课要重点掌握的规律方法（1)求曲线的切线方程的方法，见讲1;(2）已知曲线的切线求切点坐标，见讲2；(3）导数几何意义的应用，见讲3.3利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上，这是本节课的易错点如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为yf（x0）f（x0）（xx0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f（x0),表示出切线方程,然后求出切点 。课时达标训练（十四） 即时达标对点练

21、题组1求曲线的切线方程1曲线yx311在点（1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（)a9 b3 c9 d15切线的方程为y123（x1）令x0得y1239.2求曲线y在点的切线方程所以曲线在点的切线斜率为kyx4.故所求切线方程为y24，即4xy40.题组2求切点坐标3若曲线yx2axb在点(0，b）处的切线方程是xy10，则（)aa1,b1 ba1，b1ca1,b1 da1，b1解析：选a点（0，b)在直线xy10上,b1。过点（0,b)的切线的斜率为y|x0a1.4已知曲线y2x24x在点p处的切线斜率为16,则点p坐标为_解析：设p（x0，2x4x0），又f(x0)16,4x0416，

22、x03，p(3，30)答案：(3,30）5已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切点的坐标（1)切线的倾斜角为45；（2)切线平行于直线4xy20;(3）切线垂直于直线x8y30.解：设切点坐标为（x0，y0)，则y2（x0x)212x14x0x2（x)2，4x02x， (1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451，即f（x0)4x01，得x0，切点坐标为.（2）抛物线的切线平行于直线4xy20，k4,即f（x0）4x04，得x01，切点坐标为(1，3)（3）抛物线的切线与直线x8y30垂直,k1,即k8.故f(x0）4x08，得x02.切点坐标为（2，9)题组3导数几何意义的应用6下面说法正确的是（）a若f(x0)不存在,则曲线yf(x）点（x0，f（x0)）处没有切线b若曲线yf(x)在点（x0,f(x0）处有切线，则f(x0)必存在c若f(x0）不存在，则曲线yf(x)在点（x0，f(x0）处的切线斜率不存在d若曲线yf（x）在点（x0，f(x0)处没有切线,则f（x0）有可能存在解析:选c根据导数的几何意义及切线的定义