固体物理 04-02一维周期场中电子运动的近自由电子近似

1、固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 固体物理 Solid State Physics 4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似 第四章第四章 能带理论能带理论 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算模型和微扰计算 近自由电子近似模型近自由电子近似模型 假定势场的起伏较小假定势场的起伏较小 金属中电子受到原子金属中电子受到原子 实周期性势场的作用实周期性势场的作用 固体物理 Solid State Phy

2、sics 西南科技大学 零级近似零级近似 用势场平均值代替原子实产生的势场用势场平均值代替原子实产生的势场 周期性势场的起伏量周期性势场的起伏量 可以作为微扰来处理可以作为微扰来处理 )(xVV VVxV)( 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 一，零级近似下电子的能量和波函数一，零级近似下电子的能量和波函数 空格子中电子的能量和波函数空格子中电子的能量和波函数 金属的线度金属的线度 零级近似下：零级近似下： V dx d m H 2 22 0 2 薛定谔方程：薛定谔方程： 000 2 022 2 EV dx d m 波函数和能量本征值波函数和能量本征值 V m k

3、 Ek 2 22 0 ikx k e L x 1 )( 0 NaL 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 波函数和能量本征值波函数和能量本征值 V m k Ek 2 22 0 m k Ek 2 22 0 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 满足正交归一化满足正交归一化 Na lk 2 0*0 0 L kkkk dx l 为整数为整数 周期边界条件周期边界条件 0() 11 ( ) ikxik x Na k xee LL 2lkNa 电子的波矢取值电子的波矢取值 能量能量V m k Ek 2 22 0 0 1 固体物理 Solid State

4、 Physics 西南科技大学 二，微扰下电子的能量本征值二，微扰下电子的能量本征值 哈密顿量哈密顿量 0 HHH 22 0 2 2 ( ) d HV m dx HV xVV 根据微扰理论，电子的能量本征值根据微扰理论，电子的能量本征值 . )2()1(0 kkkk EEEE 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 一级能量修正一级能量修正 (1) 0 11 ( ) L ikxikx k EeV xe dxV LL (1) 0 11 ( ) L ikxikx k EeV xVe dx LL 0 (1) | k EkHk |( )|k V xV k 能量本征值能量本征值.

5、 )2()1(0 kkkk EEEE 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 二级能量修正二级能量修正 0 0 2 )2( | | k kk k EE kHk E () 0 (1/ )( ) L i kk x LeV x dx |( )|kHkk V xV k 按原胞划分按原胞划分 1 (1) () 0 1 ( ) N na i kk x na n eV x dx Na kk |( )|k V xk 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 1 0 )1( )( )( 1 | )(| N n an na xkki dxxVe Na kxVk 引入积

6、分变量引入积分变量 nax 势场为晶格周期性函数势场为晶格周期性函数 )()(naVV dxd :0a 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 1 ( )( ) 0 0 11 |( )|( ) N a i kki kk a n n k V xkeVde aN 2 kkn a 1 1 1 0 )( N n nakki e N 2 kkn a ()1 () () 0 11 1 1 i kk NaN i kk a n i kk a n e e NNe 1) 2) 2 2 kl Na kl Na 0 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 2 |( )

7、|( ) 2 |( ) |0 kknk V xkV n a kknk V xk a V(x)的第的第n个个 傅里叶系数傅里叶系数 2 |( ) 2 |0 kknkHkV n a kknkHk a () 0 1 |( )|( ) a i kk kHkk V xkeVd a 1 ( )( ) 0 0 11 |( )|( ) N a i kki kk a n n k V xkeVde aN 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 二级修正项二级修正项 22 0 22 0 2 2 k k k EV m k EV m 0 0 2 )2( | | k kk k EE kHk E 2

8、 (2) 2 22 (2 ) 2 n k n V E n kk ma |( )kHkV n 2 kkn a 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 0(1)(2) kkkk EEEE 22 0(1) 2 (2) 2 22 ( ) 0 ,0 2 (2 ) 2 ( )(1/ )( ) kk n k n a i kk k EVE m V E n kk ma V naeVd 电子的能量本征电子的能量本征 值值 2 22 2 22 2 (2 ) 2 n k n Vk EV nm kk ma 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 三，微扰下电子的波函数三，

9、微扰下电子的波函数 电子的波函数电子的波函数.)()()( )1(0 xxx kkk 波函数的一级修正波函数的一级修正 0 ( )(1/) ikx k xL e 0 0 0 )1( | | k k kk k EE kHk (2 / )|0kknakHk (2 / )|( )kknakHkV n 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 2 (1) 2 22 1 (2 ) 2 n ix ikx na k n V ee nL kk ma 计入微扰电子的波函数计入微扰电子的波函数 x a n i n nikxikx k e a n kk m V e L e L x 2 22 2

10、 )2( 2 11 )( 0 0 0 )1( | | k k kk k EE kHk 0 ( )(1/) ikx k xL e 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 )2( 2 1 1 )( 2 22 2 x a n i n nikx k e a n kk m V e L x 令令 x a n i n n k e a n kk m V xu 2 22 2 )2( 2 1)( 可以证明可以证明()( ) kk uxmaux ( )(1/)( ) ikx kk xL e ux 电子波函数电子波函数 布洛赫函数形式布洛赫函数形式 晶格周期性函数晶格周期性函数 固体物理 So

11、lid State Physics 西南科技大学 x a n i n nikxikx k e a n kk m V e L e L x 2 22 2 )2( 2 11 )( 电子波函数的意义电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波电子波函数和散射波 前进的平面波前进的平面波 势场作用产生的散射波势场作用产生的散射波 散射波的波矢散射波的波矢 相关散射波成份的振幅相关散射波成份的振幅 2 a n kk )2( 2 22 2 a n kk m Vn 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 散射波散射波 (2) 2 22 1 (2 ) 2 n i kx na n V e n

12、L kk ma (2) n i k ik a ee n a k 22 na 2 电子入射波波长电子入射波波长 布拉格反射条件在正入射时的结果布拉格反射条件在正入射时的结果 kk n k a 如果相邻原子的散射波有相同的相位如果相邻原子的散射波有相同的相位 22 2 ）（ a n kk 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 波函数一级修正项波函数一级修正项 2 22 (2 ) 2 n V n kk ma 散射波成份的振幅散射波成份的振幅 2 2 22 1 (2 ) 2 n ix ikx na n V ee nL kk ma 微扰法不再适用了微扰法不再适用了 a n k

13、入射波波矢入射波波矢 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 2) 电子波函数和不同态之间的相互作用电子波函数和不同态之间的相互作用 x a n i n nikxikx k e a n kk m V e L e L x 2 22 2 )2( 2 11 )( 在零级波函数在零级波函数 中掺入其它零级波函数中掺入其它零级波函数 ikx k e L x 1 )( 0 能量差越小掺入部分越大能量差越小掺入部分越大 x a n ki k e L x )2( 0 1 )( 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 当当 时时 a n k a n a n kk

14、2 x a n i n nikxikx k e a n kk m V e L e L x 2 22 2 )2( 2 11 )( V m k Ek 2 22 0 22 0 2 k k EV m 两个状态具有相同的能量两个状态具有相同的能量 导致了波函数的发散导致了波函数的发散 00 kk EE 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 电子能量的意义电子能量的意义 n n k a n kk m V E )2( 2 22 2 2 )2( (2) k E , nn kk aa 二级能量修正二级能量修正 当当 电子的能量是发散的电子的能量是发散的 k和和k两个状态具有相同的能量两

15、个状态具有相同的能量 _k和和k态简并态简并 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 电子波矢在电子波矢在 附近的能量和波函数附近的能量和波函数 a n k 简并微扰简并微扰 波函数由简并波函数线性组合构成波函数由简并波函数线性组合构成 状态状态)1 ( a n k 是一个小量是一个小量 主要影响的状态主要影响的状态 2 (1) nn kk aa 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响 0 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 )1 ( a n k 状态状态 对状态对状态 的影响的影响)1 ( a n

16、k 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 简并波函数简并波函数 00 ( ) kk xab 0 (1/) ikx k L e 0 (1/) ikx k L e 薛定谔方程薛定谔方程 )()()( 0 xExHxH V dx d m H 2 22 0 2 ( )HV xVV 考虑到考虑到 000000 00kkkkkk HEand HE 0000 ()()0 kkkk a EEVb EEV 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 分别以分别以 和和 从左边乘方程，对从左边乘方程，对 x 积分积分* 0 k * 0 k 利用利用0kVkkVk 线性

17、代数方程线性代数方程 0* 0 ()0 ()0 kn nk EE aV b V aEE b a, b有非零解有非零解 0 0 *0 EEV VEE kn nk 0)()( 0 0 00 kkkk VEEbVEEa * n n Vk V k Vk V k 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 1) nkk VEE 0 0 波矢波矢k离离 较远，较远，k状态的能量和状态状态的能量和状态k差别较大差别较大 a n 2 0000002 1 () 14/() 2 kkkknkk EEEEEVEE 2 00002 1 ()4 2 kkkkn EEEEEV 将将 按按 展开展开 2

18、 00 2 14/() nkk VEE 2 002 4/() nkk VEE )1 ( a n k )1 ( a n k 能量本征值能量本征值 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 2 0000 002 21 ()1 2() n kkkk kk V EEEEE EE 2 2 002 002 2 14/()1 () n nkk kk V VEE EE 2 0 00 2 0 00 n k kk n k kk V E EE E V E EE (/ )(1)kna (/ )(1)kna 0 00 kk EE 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 00

19、 kk EE k和和k能级相互作用的结果能级相互作用的结果 是原来能级较高的是原来能级较高的k提高提高;原来能级较低的原来能级较低的k下压下压 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级 总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了 2 0 00 2 0 00 n k kk n k kk V E EE E V E EE 能级间能级间“排斥作用排斥作用” EE 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 00 kk EEEE 原来能级较高的原来能级较高的k提高提高 _ 原来能级较低的原来能级

20、较低的k下压下压 2 0 00 2 0 00 n k kk n k kk V E EE E V E EE 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 2) 00 kkn EEV 波矢波矢k非常接近非常接近 ，k状态的能量和状态的能量和k能量差别很小能量差别很小 a n 2 00002 1 21() /4 2 kknkkn EEEVEEV 将将 按按 展开展开 2 002 1() /4 kkn EEV 2 002 () /4 kkn EEV 2 00002 1 ()4 2 kkkkn EEEEEV )1 ( a n k (1) n k a 固体物理 Solid State P

21、hysics 西南科技大学 002002 22 ()1 () 11 2 44 kkkk nn EEEE VV 002 00 1() 2 24 kk kkn n EE EEEV V V m k Ek 2 22 0 22 0 2 k k EV m )1 ( a n k (1) n k a 2 2 )( 2a n m Tn 2 0222 2 0222 () (1)(1) 2 () (1)(1) 2 kn kn n EVVT ma n EVVT ma 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 结果分析结果分析 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 2 n n nnn n n nnn

22、 V T TVTV V T TVTV E 1) 两个状态两个状态k和和k微扰后，能量变为微扰后，能量变为E+和和E- 原能量高的态原能量高的态 ，能量提高；原能量低的态，能量提高；原能量低的态 能能 量降低量降低 0 k 0 k )1 ( a n k (1) n k a 2 2 )( 2a n m Tn 0 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 两个相互影响的状态两个相互影响的状态k和和k微扰后，能量变为微扰后，能量变为E+和和E- ) 1 2 ( 2 n n n nn V T T VTVE ) 1 2 ( 2 n n n nn V T T VTVE 固体物理 Sol

23、id State Physics 西南科技大学 2 2 (2/1) (2/1) nnnnn nnnnn VTVTTV E VTVTTV 2) 当当 0 时时 nn VTVE (1) n k a (1) n k a 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 nn VTVE 两种情形下完全对称的能级两种情形下完全对称的能级 )1 ( a n k )1 ( a n k A和和B0 0 两个状态作用后的能级两个状态作用后的能级 C和和D0 0 两个状态作用后的能级两个状态作用后的能级 00and 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 3) 能带和带隙能带

24、和带隙_禁带禁带 零级近似，电子能量曲线为抛物线零级近似，电子能量曲线为抛物线 V m k Ek 2 22 0 nkk VEE 0 0 k状态不计二级能量修正状态不计二级能量修正 n n a n kk m V )2( 2 22 2 2 微扰情形，电子的微扰情形，电子的k不在不在 附近附近 /na 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 3) 能带和带隙能带和带隙_禁带禁带 V m k Ek 2 22 抛物线抛物线 2 22 2 22 2 (2 ) 2 n k n Vk EV nm kk ma 0 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 n a k

25、 电子的一个状态波矢电子的一个状态波矢 n a k 存在一个存在一个 状态状态 两个态的能量相同两个态的能量相同 kn a 电子的一个状态波矢电子的一个状态波矢 kn a 存在一个存在一个 状态状态 两个状态的能量相近两个状态的能量相近 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 由于周期性势场的微扰由于周期性势场的微扰 能量的突变能量的突变 2 n V 微扰只考虑两个态的作用微扰只考虑两个态的作用 kn a 能量本征值在能量本征值在 处断开处断开 2 2 2 (1) 2 (1) n nnn n n nnn n T VTVT V E T VTVT V 禁带宽度禁带宽度 固体

26、物理 Solid State Physics 西南科技大学 电子波矢取值电子波矢取值 Na lk 2 V m k Ek 2 22 一个一个l，有一个量子态，有一个量子态k 能量本征值能量本征值 当当N很大时，能量视为准连续很大时，能量视为准连续 由于晶格周期性势场的影响由于晶格周期性势场的影响 晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带 能量本征值在能量本征值在 处断开处断开n a k 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 4) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲 5) 禁

27、带出现在波矢空间倒格矢的中点处禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处 1 2 2 1 4 2 1 6 2 k a a a 禁带宽度禁带宽度 12 2, 2,2 gn EVVV 取决于金属势场形式取决于金属势场形式 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 能带及一般性质能带及一般性质 自由电子的能谱自由电子的能谱 m k Ek 2 22 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界 ), 3 , 3 (), 2 , 2 (),( aaaaaa 产生了宽度产生了宽度 的禁带的禁带,2,2,2 321 VVVE g 发生能量跃变发生能量跃

28、变 远离布里渊区边界，近自由电子的能谱远离布里渊区边界，近自由电子的能谱 _抛物线抛物线 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 ),(),(),( 321 kEkEkE 每个波矢每个波矢k有一个量子态有一个量子态 原胞的数目趋于无限大时，波矢原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集变得非常密集 能级的准连续分布形成了一系列的能带能级的准连续分布形成了一系列的能带 各能带之间是禁带各能带之间是禁带 在完整的晶体中在完整的晶体中 禁带无允许的能级禁带无允许的能级 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 能带序号能带序号k的范围的范围k的长度的长度

29、布里渊区布里渊区 第一布里渊区第一布里渊区 第二布里渊区第二布里渊区 第三布里渊区第三布里渊区 一维布喇菲格子一维布喇菲格子 能带序号、能带涉及波矢能带序号、能带涉及波矢k的范围和布里渊区的对应的范围和布里渊区的对应 关系关系 )( 1 kE aa a 2 )( 2 kE aa 2 aa 2 a 2 )( 3 kE aa 2 3 aa 3 2 a 2 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 一维布喇菲格子，能带序号、波矢一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系和布里渊区对应关系 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 每个能带中包含的量

30、子态数目每个能带中包含的量子态数目 波矢波矢k的取值的取值 Na lk 2 Na lk 2 k的数目的数目 kkk (/2 )lNak 每个能带对应每个能带对应k的取值范围的取值范围2 /ka 各个能带各个能带k的取值数目的取值数目N a Na 2 2 原胞的数目原胞的数目 计入自旋，每个能带中包含计入自旋，每个能带中包含2N个量子态个量子态 量子态数目量子态数目 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 电子波矢和量子数电子波矢和量子数简约波矢简约波矢的关系的关系 aa 第一布里渊区第一布里渊区 电子的波矢电子的波矢 Na lk 2 在一维情形中在一维情形中 m为整数为

31、整数km a k 2 的取值范围的取值范围 k 平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数k 简约波矢，计为简约波矢，计为 简约波矢简约波矢和电子波矢和电子波矢k之间的关系之间的关系 k l 为整数为整数 简约波矢简约波矢 k 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 x a n i n nikxikx k e a n kk m V e L e L x 2 22 2 )2( 2 11 )( 电子的波函数电子的波函数 可以表示为可以表示为)()(xvex ikx k ) )2( 2 1 ( 1 )( 2 22 2 x a n i n n e a n kk m V L xv 晶

32、格周期性函数晶格周期性函数 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 km a k 2 将将 代入代入)()(xvex ikx k ) )2( 2 11 ()( 2 22 2 2 x a n i n n mx a i xk i k e a n kk m V LL eex ) )2( 2 11 ()( 2 22 2 2 x a n i n n mx a i e a n kk m V LL exu 晶格周期性函数晶格周期性函数 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 )()(xuex xk i k 晶体中电子的波函数晶体中电子的波函数 利用电子波矢和简

33、约波矢的关系利用电子波矢和简约波矢的关系 电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数 ) )2( 2 11 ()( 2 22 2 2 x a n i n n mx a i e a n kk m V LL exu 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 用用简约波矢简约波矢来表示电子的能量来表示电子的能量 电子的能量电子的能量 2 22 2 22 2 (2 ) 2 n k n Vk EV nm kk ma km a k 2 m为整数，对应于不同的能带为整数，对应于不同的能带 固体物理 Solid State Physics 西南科技大学 第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢 2 n Gn a 移到简约布里渊区移到简约布里渊区 每一个能带在简约布里渊区都有各自的每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像图像 所有能带在简约布里渊区的图像所有能带在简约布里渊区的图像 简约波矢简约波矢的取值被限制在简约布里渊区的取值被限制在简约布里渊区 要标志一个状态需要表明要标志一个状态需要表明