工力第15章-应力状态分析

1、单辉祖：工程力学1 第 15 章 应力状态分析与强度理论 本章主要研究： 应力状态应力分析基本理论 应力、应变间的一般关系 复合材料应力应变关系简介 单辉祖：工程力学2 1 引言 2 平面应力状态应力分析 3 极值应力与主应力 4 复杂应力状态的最大应力 5 广义胡克定律 6 复杂应力状态强度问题 单辉祖：工程力学3 1 引 言 实例实例 应力状态概念应力状态概念 平面与空间应力状态平面与空间应力状态 单辉祖：工程力学4 实实 例例 微体微体A 单辉祖：工程力学5 微体微体abcd 单辉祖：工程力学6 微体微体A 单辉祖：工程力学7 应力状态概念应力状态概念 过构件内一点所作各微截面的应力状况

2、，称为该点过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态。处的应力状态。 应力状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态。力与应变状态。 研究目的 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系，研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广 泛的理论基础。泛的理论基础。 单辉祖：工程力学8 平面与空间应力状态平面与空间应力状态 仅

3、在微体四侧面作用应力，且仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不应力作用线均平行于微体的不 受力表面受力表面平面应力状态平面应力状态 平面应力状态平面应力状态 的一般形式的一般形式 微体各侧面均作用有微体各侧面均作用有 应力应力空间应力状态空间应力状态 空间应力状态一般形式空间应力状态一般形式 单辉祖：工程力学9 2 平面应力状态应力分析 应力分析的解析法应力分析的解析法 应力圆应力圆 例题例题 单辉祖：工程力学10 应力分析的解析法应力分析的解析法 问题：问题：建立建立 s sa a , , t ta a 与与 s sx , , t tx , s sy , , t ty 间的关

4、系间的关系 问题 符号规定：符号规定： 方位方位角角 a a 以以 x 轴为始边、轴为始边、 旋转旋转者为正者为正 切应力切应力 t t 以企图使微体沿以企图使微体沿 旋转者为正旋转者为正 方位用方位用 a a 表示；表示；应力为应力为 s sa a , , t ta a斜截面：斜截面：/ z 轴；轴； 单辉祖：工程力学11 0)sinsind()cossind( )coscosd()sincosd(d 0 n a aa as sa aa at t a aa as sa aa at ts sa a AA AAAF yy xx ， 0)cossind()sinsind( )sincosd()co

5、scosd(d 0 t a aa as sa aa at t a aa as sa aa at tt ta a AA AAAF yy xx ， a aa at tt ta as sa as ss sa acos )sin(sincos 22 yxyx a at ta at ta aa as ss st ta a 22 sincoscos )sin( yxyx 斜截面应力公式 单辉祖：工程力学12 a aa at tt ta as sa as ss sa acos )sin(sincos 22 yxyx a at ta at ta aa as ss st ta a 22 sincoscos )s

6、in( yxyx 由于由于t tx 与与 t ty 数值相等数值相等,并利用三角函数的变换关系并利用三角函数的变换关系,得得 a at ta a s ss ss ss s s sa asin2cos2 22 x yxyx a at ta a s ss s t ta acos2sin2 2 x yx 上述关系建立在静力学基础上，故所得结上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适论既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题用于各向异性、非线弹性与非弹性问题 单辉祖：工程力学13 应力圆应力圆 a at ta a s ss ss ss s

7、s sa asin2cos2 22 x yxyx a at ta a s ss s t ta acos2sin2 2 x yx a at ta a s ss ss ss s s sa asin2cos2 22 x yxyx a at ta a s ss s t ta acos2sin2 2 0 x yx 2 2 2 2 2 0 2 x yxyx t t s ss s t t s ss s s s a aa a 2 yx C s ss s s s 2 2 2 x yx Rt t s ss s 应力圆应力圆 应力圆原理 圆心位于圆心位于s s 轴轴 单辉祖：工程力学14 s t O c a(sx

8、,tx) s s y y t B s s y y t B b(sy ,ty) 建立坐标系 由面找点确定圆心和半径 x t A y s y t B x s x s x t A x s x t A s s y y t B s s y y t B 应力圆应力圆 单辉祖：工程力学15 图解法求斜截面应力 )2cos(2 0 a aa as s CDOC H a aa aa aa as ssin2sin2 cos2cos2 00 CDCDOC H a at ta a s ss ss ss s s ssin2cos2 22 x yxyx H a a s s a at ta a s ss ss ss s s

9、 sa asin2cos2 22 x yxyx a a t tt t H 同理可证：同理可证： 单辉祖：工程力学16 应力圆应力圆 单辉祖：工程力学17 点、面对应关系 转向相同，转角加倍转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端互垂截面，对应同一直径两端 单辉祖：工程力学18 例例 题题 例 13-1 计算截面计算截面 m-m 上的应力上的应力 解：MPa 100 x s sMPa 50 y s sMPa 60 x t t 30 a a MPa 114.5 MPa 35.0 a at ta a s ss ss ss s s ssin2cos2 22 x yxyx m a at ta a

10、s ss s t tcos2sin2 2 x yx m 单辉祖：工程力学19 例 13-2 利用应力圆求截面利用应力圆求截面 m-m 上的应力上的应力 解： MPa 115 m s sMPa 35 m t t 1. 画应力圆画应力圆 2. 由应力圆求由应力圆求 mm t ts s 与与 A点对应截面点对应截面 x, B点对应截面点对应截面 y 由由A点（截面点（截面 x ）顺时针转）顺时针转60。 。至 至D点（截面点（截面 y ） 单辉祖：工程力学20 3 极值应力与主应力 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力 主平面与主平面与主应力主应力 纯剪切与扭转破坏纯剪切与扭转破坏 例题例题

11、 单辉祖：工程力学21 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力 CK min max t t t t CAOC min max s s s s 极值应力数值 2 2 22 x yxyx t t s ss ss ss s 2 2 2 x yx t t s ss s 单辉祖：工程力学22 yx x s ss s t t a a 2 tan2 0 y x x x s ss s t t s ss s t t a a maxmin 0 tan 极值应力方位 最大正应力方位：最大正应力方位： s smax与与s smin所在截面正交所在截面正交 s s 极值极值与与t t 极值极值所在截所在截 面面

12、, 成成 夹角夹角 45 单辉祖：工程力学23 主平面与主应力主平面与主应力 主平面主平面切应力为零的截面切应力为零的截面 主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力 主应力符号与规定主应力符号与规定 321 s ss ss s 相邻主平面相互垂直，构成一相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体正六面形微体 主平面微体主平面微体 （按代数值）（按代数值） s s1 1 s s2 2 s s3 3 单辉祖：工程力学24 应力状态分类应力状态分类 单向应力状态：单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态两个主应力

13、不为零的应力状态 三向应力状态：三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态三个主应力均不为零的应力状态 二向与三向应力状态，统称二向与三向应力状态，统称复杂应力状态复杂应力状态 单辉祖：工程力学25 纯剪切与扭转破坏纯剪切与扭转破坏 t ts ss s Cmaxt, t ts ss s Dmaxc, t tt tt t minmax 0 231 s st ts ss s, 纯剪切状态的最大应力 s s3 3 s s1 1 主平面微体位于主平面微体位于 方位方位 45 单辉祖：工程力学26 圆轴扭转破坏分析 滑移与剪断滑移与剪断 发生在发生在t tmax 的 作 用 面的 作 用 面 断裂发生在

14、断裂发生在 s smax 作用面作用面 低碳钢低碳钢 铸铁铸铁 单辉祖：工程力学27 例例 题题 解：1. 解析法解析法 MPa 70 x s s MPa 50 x t t MPa 26 1 s s 0 2 s s MPa 96 3 s s MPa 96 MPa 26 5 .62 例 13-3 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 0 y s s 2 min max 22 x yxyx t t s ss ss ss s s s s s y x s ss s t t a a max 0 arctan 单辉祖：工程力学28 MPa 26 1 s s 0

15、2 s s MPa 96 3 s s 562 0 . a a 2. 图解法图解法主应力的大小与方位主应力的大小与方位 ？ 单辉祖：工程力学29 200 300 50 (MPa) 例 13-4 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 MPa. MPa. . min max 29179 71320 7170250 50 2 200300 2 200300 2 2 s s s s 0 29179 71320 3 2 1 s s s s s s MPa. MPa. 例例 题题 单辉祖：工程力学30

16、200 300 50 (MPa) 例 13-4 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 5 .22 20071.320 50 arctan arctan ymax x 0 s ss s t t a a s s1 1 s s2 2 0 29179 71320 3 2 1 s s s s s s MPa. MPa. 例例 题题 单辉祖：工程力学31 t s o ss s 200 300 50 (MPa) A B 例 13-4 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主

17、应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 0 29179 71320 3 2 1 MPa. MPa. s ss s s ss s s ss s 522 0 .a a 例例 题题 单辉祖：工程力学32 200 50 300 50 (MPa) 例 13-5 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 MPa. MPa. . min max 71320 29179 7170250 50 2 200300 2 200300 2 2 s s s s MPa. MPa. 71

18、320 29179 0 3 2 1 s s s s s s 例例 题题 单辉祖：工程力学33 200 50 300 50 (MPa) 例 13-5 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 5 .67 20029.179 50 arctan arctan ymax x 0 s ss s t t a a s s3 3 s s2 2 MPa. MPa. 71320 29179 0 3 2 1 s s s s s s 例例 题题 单辉祖：工程力学34 s O t s ss 200 50 300 50

19、 (MPa) 例 13-5 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 MPa. MPa. 71320 29179 0 3 2 1 s ss s s ss s s ss s 567 0 .a a 例例 题题 单辉祖：工程力学35 300 100 (MPa) 例 13-6 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 MPa. MPa. . min max 2830 28330 28180150 10

20、0 2 300 2 300 2 2 s s s s MPa MPa 28.30 0 28.330 3 2 1 s s s 例例 题题 单辉祖：工程力学36 300 100 (MPa) 例 13-6 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 84.16 28.330 100 arctan arctan ymax x 0 s ss s t t a a s s1 1 s s3 3 MPa. MPa. 2830 0 28330 3 2 1 s s s s s s 例例 题题 单辉祖：工程力学37 s

21、s s O s t 300 100 (MPa) a b 例 13-6 试用解析法与图解法求平面应力状态试用解析法与图解法求平面应力状态 的主应力的主应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3及方位。及方位。 MPa. MPa. 2830 0 28330 3 2 1 s ss s s ss s s ss s 8416 0 .a a 例例 题题 单辉祖：工程力学38 4 复杂应力状态的最大应力 三向应力圆三向应力圆 最大应力最大应力 例题例题 单辉祖：工程力学39 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆 考察微元三对面上考察微元三对面上 分别作用着三个主应力分别作用着三个主应力 （123

22、0）的应）的应 力状态。力状态。 三向应力圆三向应力圆 单辉祖：工程力学40 t s 由由s s2 、 s s3可作出应力圆可作出应力圆 I s3 s2 I I s1 s2s3 三向应力圆三向应力圆 单辉祖：工程力学41 由由s s1 、 s s3可作出应力圆可作出应力圆IIII II s1 s3 II I s2s3 t s Os2 s3s1 三向应力圆三向应力圆 单辉祖：工程力学42 II I t s O s3 由由s s1 、 s s2可作出应力圆可作出应力圆 III III s2 s1 III s2 s1 s3 三向应力圆三向应力圆 单辉祖：工程力学43 s1 II I s3 III s

23、2 O t s 微元任意方向面微元任意方向面 上的应力对应着上的应力对应着3 个应力圆之间某个应力圆之间某 一点的坐标。一点的坐标。 三向应力圆三向应力圆 单辉祖：工程力学44 最大应力最大应力 1max s ss s 2 31 max s ss s t t 3min s ss s 最大切应力位于与最大切应力位于与 s s1 1 及及 s s3 3 均成均成4545 的截面上的截面上 单辉祖：工程力学45 三向应力状态如图三向应力状态如图 所示，图中应力的单位为所示，图中应力的单位为 MPa。 例 13-7 主应力及微元内主应力及微元内 的最大切应力。的最大切应力。 例例 题题 单辉祖：工程力

24、学46 所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即 60MPas 故微元上平行于故微元上平行于 的方向面上的应力值与的方向面上的应力值与 无关。因此，无关。因此， 当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主 应力应力 和和 时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。 s ss s 例例 题题 单辉祖：工程力学47 这与平面应力状态相类似。于是平面应力状态主应这与平面应力状态相类似。于是平面应力状态主应 力公式可直接应用。力公式可直接应用。 所给的应力状态中有

25、一个主所给的应力状态中有一个主 应力是已知的，即应力是已知的，即 60MPas 04 2 1 2 22 xx x ts s s 04 2 1 2 22 xx x ts s s 例例 题题 单辉祖：工程力学48 本例中本例中 s sx x=20 MPa，t tx x=40 MPa。 据此，求得据此，求得 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa=31.23MPa 22 s 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa51.23MPa 22 s 60MPas 04 2 1 2 22 xx x ts s s 04 2 1 2 22 xx x ts s s 例例 题题 单辉

26、祖：工程力学49 根据根据s s1 s s2 s s3的排列顺序，可以写出的排列顺序，可以写出 MPa2351 MPa2331 MPa60 3 2 1 . . s s s 微元内的最大切应力微元内的最大切应力 55.6MPaMPa1055.6Pa 2 1023511060 2 6 66 31 max .ss 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa=31.23MPa 22 s 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa51.23MPa 22 s 60MPas 例例 题题 单辉祖：工程力学50 例 13-8 薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用，如图薄壁圆管受扭转和拉伸同时

27、作用，如图10106a6a所示。已知所示。已知 圆管的平均直径圆管的平均直径d d50 mm50 mm，壁厚壁厚2 mm2 mm。外加力偶的力偶矩。外加力偶的力偶矩 M Me e600 N600 Nm m，轴向载荷，轴向载荷F FP P20 kN20 kN。薄壁管截面的扭转截面系数。薄壁管截面的扭转截面系数 可近似取为可近似取为 2 2 P d W 1圆管表面上过圆管表面上过D点与圆管母线夹角为点与圆管母线夹角为30的斜截面上的的斜截面上的 应力。应力。 2. D点主应力和最大切应力。点主应力和最大切应力。 例例 题题 单辉祖：工程力学51 取微元，确定微元各个面上的应力取微元，确定微元各个面

28、上的应力 围绕围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。 利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和切应利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和切应 力公式计算微元各面上的应力：力公式计算微元各面上的应力： 例例 题题 单辉祖：工程力学52 取微元，确定微元各个面上的应力取微元，确定微元各个面上的应力 利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和切应力公式计算利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和切应力公式计算 微元各面上的应力：微元各面上的应力： 3 PP -3-3 20kN 10 63 7MPa d 50mm 102mm 10 FF A s . MPa mmmm m

29、N d M W T e p 4 .76 1021050 .60022 3 2 3 2 t 例例 题题 单辉祖：工程力学53 求斜截面上的应力求斜截面上的应力 本例中有：本例中有： x63.7 MPa，y0， x一一76.4 MPa，120。 t ssss sa2sin2cos 22 x yxyx t ss ta2cos2sin 2 x yx MPa350 1202sinMPa4761202cos 2 0MPa763 2 0MPa763 . . . t ssss s2sin2cos 22 30 x yxyx 例例 题题 单辉祖：工程力学54 求斜截面上的应力求斜截面上的应力 本例中有：本例中有：

30、 x63.7 MPa，y0， x一一76.4 MPa，120。 t ssss sa2sin2cos 22 x yxyx t ss ta2cos2sin 2 x yx MPa710 1202cosMPa4761202sin 2 0MPa763 . . . t ss ta2cos2sin 2 x yx 例例 题题 单辉祖：工程力学55 确定主应力与最大切应力确定主应力与最大切应力 MPa6114 MPa47640MPa763 2 1 2 0MPa763 22 . . . MPa950 MPa47640MPa763 2 1 2 0MPa763 22 . . . 0s 2 2 4 2 1 2 xyx

31、yx tss ss s 2 2 4 2 1 2 xyx yx tss ss s 例例 题题 单辉祖：工程力学56 确定主应力与最大切应力确定主应力与最大切应力 114 6MPa.s 50 9MPa.s 0s 根据主应力代数值大小顺序排列，根据主应力代数值大小顺序排列，D点的三个主应力为点的三个主应力为 1 114 6MPa.ss 3 50 9MPa.ss 2 0ss D点的最大切点的最大切应力为应力为 13 max 114.6MPa50.9MPa 82.75MPa 22 ss t 例例 题题 单辉祖：工程力学57 5 广义胡克定律 广义胡克定律（平面应力）广义胡克定律（平面应力） 广义胡克定律

32、（三向应力）广义胡克定律（三向应力） 例题例题 单辉祖：工程力学58 广义胡克定律广义胡克定律（平面应力状态） E x x s s E x y ss G x xy t t E y y s s E y x ss )( 1 yxx E sss s )( 1 xyy E sss s )( 1 2 yxx E s s )( 1 2 xyy E s s xyxy G t t 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内适用范围：各向同性材料，线弹性范围内 单辉祖：工程力学59 )( 1 zyxx E s ss s s s )( 1 xzyy E s ss s s s )( 1 yxzz E s ss s s s

33、 适用范围：各向适用范围：各向 同性材料，线弹同性材料，线弹 性范围内性范围内 广义胡克定律广义胡克定律（三向应力状态） E x x s s E y x ss E z x ss 单辉祖：工程力学60 例例 题题 例 13-9 已知已知 E = 70 GPa, = 0.33, 求求 45。 。 解： 应力分析应力分析 45 45。计算 。计算 )( 1 1454545 sss s E 4 1031. 3 MPa30 , 0 MPa,50 xyx t ts ss s a at ta a s ss ss ss s s sa asin2cos2 22 x yxyx 09sin3009cos 2 050

34、 2 050 45 s sMPa 5 MPa55 135 s s 单辉祖：工程力学61 例 13-10 对于各向同性材料，试证明：对于各向同性材料，试证明： )(12 E G 证： 0 yx G/ xy t t 2 45 xy a a a a a asin2 2 cos2 22 xyyxyx 根据几何关系求根据几何关系求 45 45。 。 根据广义胡克定律求根据广义胡克定律求 45 45。 。 )( 1 13 45 sss s E 比较比较 )(12 E G E t t )(1 G2 t t 单辉祖：工程力学62 例 13-11 边长边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内，正方形钢块

35、，置槽形刚体内， F = 8 kN， 0.30.3，求钢块的主应力，求钢块的主应力 解：MPa 80 2 a F y s s0 x yx sss s MPa 24 EE y x x ss s s 0 EE y x ss s s MPa 80 ,MPa 24 , 0 321 s ss ss s 单辉祖：工程力学63 6 复杂应力状态强度问题 引言引言 关于断裂的强度理论关于断裂的强度理论 关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论 弯扭组合与弯拉弯扭组合与弯拉压压扭组合扭组合 承压薄壁圆筒的强度计算承压薄壁圆筒的强度计算 单辉祖：工程力学64 P铸铁压缩 铸铁压缩 一、引子：一、引子： 2、组合变形杆

36、将怎样破坏？ 引言引言 P P 低碳钢低碳钢 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ 单辉祖：工程力学65 构件由于强度不足将引发两种失效形式：构件由于强度不足将引发两种失效形式： (1) (1) 脆性脆性断裂断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗 糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭， 低温脆断等。低温脆断等。 关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论： 最大切应力理论和最大畸变能密度理论最大切应力理论和最大畸变能密度理论 (2) (2) 塑性塑性屈服屈服（流

37、动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破 坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、 扭，铸铁压。扭，铸铁压。 关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 单辉祖：工程力学66 二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 三、材料的破坏形式：材料的破坏形式：1. 1. 屈服；屈服； 2. 2. 断裂断裂 。 2、马里

38、奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的 萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后 才知道的。 单辉祖：工程力学67 1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论） 最大拉应力是引起材料最大拉应力是引起材料断裂断裂的主要因素的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态即认为无论材料处于什么应力状态, ,只要最大拉应力达到简单只要最大拉应力达到简单 拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。拉伸时破坏的极限值，

39、就会发生脆性断裂。 b ss 1 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力 1 s s 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得 b s 四种常用强度理论四种常用强度理论 单辉祖：工程力学68 b1 s ss s 断裂破坏判据断裂破坏判据 s s s s s s n b 1 强度条件强度条件 1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转 单辉祖：工程力学69 2. 2. 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 最大伸长线应变是引起最大伸长线应变是引起断裂断裂的主要因素。的主要因素。 即认

40、为无论材料处于什么应力状态即认为无论材料处于什么应力状态, ,只要最大伸长线应变达到只要最大伸长线应变达到 简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。 b 1 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变 1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得 b E/)( 3211 s ss s s s E bb /s 单辉祖：工程力学70 实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论

41、 更接近实际情况。更接近实际情况。 强度条件强度条件)( 321 s s sss n b 2. 2. 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 断裂破坏判据断裂破坏判据 EE b s sss)( 1 321 b ssss)( 321 即即 单辉祖：工程力学71 最大切应力是引起材料最大切应力是引起材料屈服屈服的主要因素。的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态即认为无论材料处于什么应力状态, ,只要最大切应力达到了简只要最大切应力达到了简 单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。 0 max tt 3. 3. 最大切应力理

42、论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力 max t t 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得 0 t t 2/ 0 s s st t 2/ )( 31max sst 单辉祖：工程力学72 s31 s ss ss s 屈服破坏判据屈服破坏判据 s s s s s ss s s s 31 n 强度条件强度条件 3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转 单辉祖：工程力学73 实验表明：实验表明：此理论对于此理论对于塑性塑性材料的屈服破坏能够得到材料

43、的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0( max t 局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。 2 s 3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 单辉祖：工程力学74 最大畸变能密度是引起材料最大畸变能密度是引起材料屈服屈服的主要因素。的主要因素。 4. 4. 最大畸变最大畸变能密度理论

44、能密度理论（第四强度理论）（第四强度理论） 2 13 2 32 2 21d )()()( 6 1 ssssss E v 畸变能密度公式畸变能密度公式 d 2 0 2 6 1 sd E vs 畸变能密度的极限值，由单拉实验测得畸变能密度的极限值，由单拉实验测得 0 d 应变能应变能：荷载所作功全部转化为储存在弹性体内的势能。：荷载所作功全部转化为储存在弹性体内的势能。 应变能包括应变能包括：形状改变能和体积改变能。：形状改变能和体积改变能。 畸变能密度畸变能密度：单位体积内：单位体积内形状形状的改变能。的改变能。 单辉祖：工程力学75 屈服判据屈服判据 22 13 2 32 2 21 2)()(

45、)( s s ss ss ss ss ss ss s 强度条件强度条件 s s ssssss s s 2 13 2 32 2 21 )()()( 2 1 n 4. 4. 最大畸变最大畸变能密度理论能密度理论（第四强度理论）（第四强度理论） 实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。在工程中得到了广泛应用。 单辉祖：工程力学76 11 , s ss ss s r )( 3212 , s ss ss s s ss s r )()()( 2 1 2 13 2 32 2 214 , s ss ss ss

46、 ss ss ss ss s r 强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式： s ss s r 相当应力相当应力 313 , ssss r 特例：三向压缩脆性材料和三向等值拉应力下塑性材料。 单辉祖：工程力学77 已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸 铁拉伸许用应力为30MPa，试校核该点处的强度 是否安全。 23 11 10 (单位 MPa) ss 1 2 22 22 x yxyx t ssss s 072. 328.29 321 sss，MPaMPa MPaMPa3028.29 1 ss MPa MPa 72.3 8.29 单辉祖：工程力学78 某结构上危险点处的应力状态如图

47、所示，其中 116.7MPa，46.3MPa。材料为钢，许用应力 160MPa。试校核此结构是否安全。 2 2 1 22 t ss s 2 2 22 x yxyx t ssss s 2 2 3 22 t ss s sss 31 sts 22 4 sssssss 2 13 2 32 2 21 2 1 sts 22 3 MPa0 .149 MPa6 .141 单辉祖：工程力学79 对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状 态下的强度条件，并导出剪切许用应力与拉伸许用 应力之间的关系。 K K 1 s 3 s tssts， 321 0 tt ss 1 st ssss）（ 321 st）（ 1

48、 s t 1 25. 0 st8 . 0 sss 31 st2 2 s t st5 . 0 sssssss 2 13 2 32 2 21 2 1 st3 st6 . 0 st0 . 18 . 0 st6 . 05 . 0 单辉祖：工程力学80 A.冰的强度较铸铁高； B.冰处于三向受压应力状态； C.冰的温度较铸铁高； D.冰的应力等于零。 s s s 313 sss r 0 单辉祖：工程力学81 A.第一；B.第二；C.第三；D.第四； ss 1r s s sss 2r ssss 313r ssssssss 2 13 2 32 2 214 2 1 r ss 1 ss 2 0 3 s 单辉祖：

49、工程力学82 )( E yxx s s 2 1 MPa.).( . . 4941037730881 301 12 7 2 )( E xyy s s 2 1 MPa.).( . . 11831088130377 301 12 7 2 解：由广义虎克定律得: 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4, 已知钢的E=210GPa，s=170MPa,泊松比=0.3，试用 第三强度理论校核其强度。 A s sx x s sy y x y 04941183 321 s ss ss s,MPa.,MPa. s ss ss ss s 1183 313 . 0 0 3 77 170 1701183 . . r s s s ss s 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全 A 单辉祖：工程力学83 弯扭与弯拉弯扭与弯拉( (压压) )扭组合