材料力学(II)第四章

1、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 1 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 4 42 2 大柔度杆在小偏心距下的偏心压大柔度杆在小偏心距下的偏心压 缩计算缩计算 4 41 1 几种细长中心受压直杆临界力几种细长中心受压直杆临界力 的欧拉公式的欧拉公式 4 44 4 其他弹性稳定问题简介其他弹性稳定问题简介 4 43 3 纵横弯曲纵横弯曲 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 2 41 几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式几种细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 . 杆端弹性支承的细长压杆杆端弹性支承的细长压杆 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究

2、压杆稳定问题的进一步研究 Fcr B A l EI EI b EI a C D （a） 图a所示刚架，在临界力Fcr作用下 其挠曲线如图中虚线所示。 AB杆的A、B端的转动分别受到AC、BD杆的弹性约束弹性约束。可将 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 3 压杆在图c所示的微弯状态下 保持平衡。杆端的反力偶矩为 AAA wkM （a） )( BBB wkM , 式中，MA 0,MB0, 0, 0。由平衡条件得杆端的 水平支反力为(MB - MA) / l ，其指向如图c所示。 A w B w 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 AB杆视为两端均为弹性固定

3、端的 压杆压杆（图b）。弹簧的刚度系数分 别为kA 、kB 。 （b）(c) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 4 弯矩方程为 cr ( )() ABA x MxF wMMM l 挠曲线的近似微分方程为 l x MMMwFxMEIw ABA )()( cr 令EIFk/ cr 2 ，得 22 crcr () ABA MMMx wk wk FFl (b) (c) (d) (d) 式的通解为 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 5 crcr sincos ABA MMMx wAkxBkx FFl （e） 利用

4、位移边界条件 可以得出 它将大于两端铰支压杆的临界力，而小于两端固定压杆的临界 力，即 0.5 m 2,即该压杆的临界力小于一端自 由，另一端固定的压杆的临界力。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 11 . 阶梯状细长压杆的临界力阶梯状细长压杆的临界力 由于阶梯状压杆各段的EI 不同，必须分段列挠曲线的近似 微分方程，这样就增加了待定常 数的个数，必须综合利用位移边 界条件和位移连续条件，才能解 得临界力临界力Fcr 。 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 图a 所示压杆，在图b所示微弯状态下保持平衡。由于压杆 的受力、约束、杆长、弯曲刚度均是关于C

5、截面为对称的，所以 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 12 AD（0 x l /4）段挠曲线的近似微分方程为 弯矩方程为 cr ( )M xF w（a） （b） 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 挠曲线也是关于C 截面为对称的。故只需对 AD和DC段分别列挠曲线的近似微分方程。 0 1 2 1 1 wkw（c） 令 ,（b）式成为 2 cr F k EI 1cr 1 wFEIw 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 13 DC（l /4 x l / 2）段挠曲线的近似微分方程为 2cr2 2EIwF w （d） 令 ，（d）式成为 22 c

6、r 21 1 22 F kk EI 0 2 2 2 2 wkw （e） 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 分别求解（c）和（e）式，并利用 x = 0, w1= 0; x =l /4 , w1= w2 ; ; x = l / 2, = 0，可解得 2 1 ww 2 w 2 cr 2 1.68 EI F l 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 14 可见，该压杆的临界力比弯曲刚度为EI 的等截面压杆的 临 界力（ ），增大了 68%，而压杆材料仅仅增加了 50%。可见采用变截面压杆较为节省材料。这是因为压杆两端 附近的弯矩较小，中间部分的弯矩较大，把两端

7、附近的部分材 料移到中间部分，压杆不易变弯，从而增大了临界力。 2 cr 2 EI F l 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 15 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 两端铰支细长压杆两端铰支细长压杆 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 16 42 大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩计算 图示偏心受压杆的弯矩为 当F w F e 时 杆的最大压应力为 这种杆称为大刚度（小柔度）杆大刚度（小柔度）杆。 )()(weFxM（a） 第四章第四章 压杆稳定

8、问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 M (x) F e A FF c z e max, W 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 17 当F w不能忽略时，就不能利用叠加原理，这种杆称为小刚小刚 度（大柔度）杆度（大柔度）杆。挠曲线的近似微分方程为 )()( weFxMwEI z （b） 令 ， 得 通解为 2 2 EI F k ekwkw 22 ekxbkxAwcossin （d） （e） 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 18 x=l, w=0， 将（f）式代入 (e) 式，得 得 2 tan s

9、in )cos1 (kl e kl kle A ) 1cossin 2 (tankxkx kl ew （f） （g） 由 x=0 , w=0， B= e ) 1 2 (sec| 2/ kl ew lx d （4-4） x= l / 2时 2 sec)( max kl FeeFMd （4-5） 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 得 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 19 . 若EIz非常大时， 0， 1，则 式中， 由由 (4-4)、(4-5)、(4-6) 式可见：式可见： z EI F k . d d、Mmax 、s s cmax和F 均不成线性关系

10、（几何非线性）。 计算时不能用叠加原理。 z EI Flkl 22 2/seckld d 0， 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 （4-6） 2 sec max, c kl W eF A F z s 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 20 。即对弯曲刚度很大的压杆，当其 受偏心压力作用时，可用叠加原理进行计算。 . 设e = e1 、e = e2、e = e3，且e1 e2 e3。由 （ i = 1,2,3）可画出一组 F-d曲线（如图）。 ) 1 2 (sec kl eid 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 (1) 1

11、 2 (sec kl ed 当 时，d 。此时，2/seckl ，若 e0， 2 2 kl 由 得， z EI F l k 2 2 l EI F z 。 。 z max,max W , eF A F eFM c s 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 21 随e值减小， F-d曲线逐渐靠 近OF 轴。 e 0时，F-d 曲线 OAB 。 d =0； 2 2 l EI F z d 为任意值。 2 2 l EI F z 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 以 为水平渐进线。 2 2 l EI F z 可见，e 0时， F-曲线 (2) 时， 时， 材材 料料

12、 力力 学学 电电 子子 教教 案案 22 这是因为以上是用线弹性 公式 进行分析的。 x=l / 2的横截面上的大部分区域产生塑性变形，而发生弯折 （图中虚线）。 2 2 l EI F z 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 .e0, 时，d 。 2 2 l EI F z )( 2 xMwEI实际上，当d 达到一定值时， 可把d 理解为d 迅速增加，力 为实际压杆临界力的上限值。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 23 43 纵横弯曲纵横弯曲 图示大柔度杆的弯矩方程为 可见，M（x）是由横向力q和纵向力F 共同产生的，杆的 （a）wFxqx ql x

13、M 2 2 1 2 )( 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 F ql /2 x F M(x) w q 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 24 2 22 )(x q x ql FwxMwEI z （b） 弯曲变形也是由q和F 共同作用而引起的 纵横弯曲纵横弯曲。挠曲 线的近似微分方程为 令 ， z EI F k 2 ) 22 ( 2 2 2 x q x ql F k wkw（c） 其通解为 q F EI x F q x F ql kxBkxAw z 2 2 22 cossin （d） 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 （b

14、）式成为 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 25 由 x=0, w=0 和 x=l, w=0，求出A、B常数，代入（d）式， 并利用参数 u=k l / 2，进行化简，得 将 x= l / 2代入（e）式，并利用 k=2u / l 化简，得 )( 2 ) 1cossin(tan 2 2 xlx F q kxkxuq F EI w z （e） )2/1(sec 5 24 384 5 | 4 24 2/max u uu EI ql ww z lx d（4-7） 令 4 2 2/1sec 4 25 )( u u u 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 ，（4

15、-7）式成为 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 26 )( 384 5 4 u EI ql z d 式中， 为由q产生的挠度，(u)为F 对d的影响。可见可见d d 与与q 仍为线性关系仍为线性关系, ,d d 与与F 为非线性关系。为非线性关系。 z IE ql 384 5 4 在 x= l / 2处，弯矩最大，其值为 2/1sec 5 24 384 5 88 4 2422 max u uu EI ql F ql F ql M z d 2 2 ) 1(sec2 8u uql （4-8） 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 材材 料料 力力 学学 电电

16、 子子 教教 案案 27 Mmax和和 q成线性关系，和成线性关系，和F成非线性关系成非线性关系。 令 式中， 为q产生的弯矩，l(u)为F 对弯矩的影响。 8 2 ql 2 2(sec 1) ( )u u l 近似解近似解: ，得到 2 max ( ) 8 ql Mul 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 影响系数(u)和l(u)可 查表（铁摩辛柯弹性稳定中译本，P561 ,表A-2）最大压应力 为 z max max, c W M A F s 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 28 u 0（F 0 ）时 up/2时，secu, 由（4-7）式得d

17、，杆在xy平面内 失稳。 2 4 2 30 2 .12 1 2/1sec 5 24 )(u u uu u z EI ql w 384 5 4 max d 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 ) 30 2 .12 ( 384 5 2 4 max ul EI ql w z d 当 时 , 4 2 2 u 64 2 720 61 24 5 2 1secuu u u 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 29 级数 所以 . , 444 , 2 2 2 cr cr 2222 2 l EI F EI Fllk uu z z 2 2 222 2cr 4 max cr

18、12.212.2 303049.836/ 5 (1) 384 zz z FlFFF u EIEIlEIlF qlF w EIF p d 1 cr F F ) 11(1 1 1 432 xxxxx x 。 crcr 1 /1 1 F F FF , 2 z EI F k kl u 因为 所以 因为 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 ， ， 。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 30 可见F 不仅产生轴向压力，也使弯曲正应力增加。 4 cr 51 3841/ z ql EIF F d 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 ) /1

19、 1 384 5 ( 88 cr 422 max FFEI ql F ql F ql M z d ) /1 /028. 1 1 ( 8 cr cr 2 FF FFql 用能量方法，也可求得近似解用能量方法，也可求得近似解 见杜庆华编材料力学（下）见杜庆华编材料力学（下）。 ) 1 /028. 1 ( 8 cr cr 2 max, c F/F FF l W lq A F z s 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 31 44 其他弹性稳定问题简介其他弹性稳定问题简介 在分析压杆的稳定性时，把压杆抽 象成为中心受压直杆，压杆只有轴向压 缩变形，为了检验压杆直线状态下的平 衡是否是稳定平

20、衡，必须加横向干扰力。 实际压杆可能会有微小的初曲率，荷载 有可能有偶然偏心以及材质不均匀等因 素，使压杆除产生压缩变形外，还产生 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 32 附加的弯曲变形。为了便于分析，把以上产生弯曲变形的诸因 素统一用微小偏心距e来表示，把压杆的计算模型取为如图所示 的偏心压缩偏心压缩。 F 较小时较小时 轴向压缩轴向压缩 弯曲弯曲 在42曾得到 ，由此 可见，随F增 加d 增加，但d 增加比F增加得快。当 时，d 迅速 增加，压杆丧失工作能力，该力也是 ) 1 2 (sec z EI Fl ed

21、2 2 l EI F z 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 主要变形主要变形 次要变形次要变形 压杆失稳时的临界力压杆失稳时的临界力。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 33 是抽象的概念，其实质是随压力的增加，次要变 形（弯曲）转化为主要变形，压力达到临界值时，弯曲变形迅 速增加，压杆丧失工作能力。按照这种思路也便于理解其它构 件的弹性稳定问题。 . 狭长矩形截面梁的弹性稳定狭长矩形截面梁的弹性稳定 第四章第四章 压杆稳定问题的进一步研究压杆稳定问题的进一步研究 压杆失稳压杆失稳 构件的失稳只有在特定的受力形式下才会发生，例如，具 有微小偏心距的受拉杆，随拉力的增加弯曲变形将逐渐减小， 不会出现失稳现象。 材材 料料 力力 学学 电电