第五章 弯曲应力 2

1、 回顾与比较 内力内力 A F 应力公式及分布规律应力公式及分布规律 P I T FA y FS M ? ? 均匀分布均匀分布 线形分布线形分布 伽利略伽利略 Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？此结论是否正确？ 5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 强度条件强度条件 5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力 5-6 5-6 提高梁强度的措施提高梁强度的措施 5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲 一、纯弯曲一、纯弯曲 梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，

2、又有剪力上，既有弯矩，又有剪力 5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲 纯弯曲纯弯曲 横力弯曲横力弯曲 Fs F F Fa M Fa 纯弯曲实例纯弯曲实例 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 1、变形几何关系、变形几何关系 2、物理关系、物理关系 3、静力学关系、静力学关系 纯弯曲的内力纯弯曲的内力 剪力剪力Fs=0 横截面上没有切应力横截面上没有切应力 只有正应力。只有正应力。 弯曲正应力的弯曲正应力的 分布规律分布规律和和计算公式计算公式 1、变形几何关系、变形几何关系 （一）实验观察现象：（一）实验观察现象： 施加一对正弯矩，观察变形施加一对正弯矩，观察变形 观察到纵向线与横向线有何变化？观

3、察到纵向线与横向线有何变化？ 纵向线纵向线由直线由直线曲线曲线 横向线横向线 由直线由直线直线直线 相对旋转一个角度后，相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。 仍然与纵向弧线垂直。 变化的是：变化的是： 1 1、纵向线的长度、纵向线的长度 2 2、两横截面的夹角、两横截面的夹角 各纵向线的长度还相等吗？各纵向线的长度还相等吗？ 各横向线之间依然平行吗？各横向线之间依然平行吗？ 3 3、横截面的宽度、横截面的宽度 横截面绕某一轴线发生了偏转。横截面绕某一轴线发生了偏转。 （二）提出假设：（二）提出假设： 1、平面假设：、平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；变形前为平面的横截面变形

4、后仍保持为平面； 于于16951695年提出梁弯曲的平面假设年提出梁弯曲的平面假设瑞士科学家瑞士科学家Jacob.贝努力贝努力 纵向纤维之间没有相互挤压，纵向纤维之间没有相互挤压，2、假设：、假设： 观察纵向纤维之间有无相互作用力观察纵向纤维之间有无相互作用力 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 凹入凹入一侧纤维一侧纤维 凸出凸出一侧纤维一侧纤维 观察纵向纤维的变化观察纵向纤维的变化 在正弯矩的作用下，在正弯矩的作用下， 偏上的纤维偏上的纤维 缩短，缩短， 偏下的纤维偏下的纤维 伸长。伸长。 缩短；缩短； 伸长。伸长。 纤维长度不变纤维长度不变

5、 中性层中性层 中性层中性层 LL000LL=0=0 既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短 中性轴中性轴 中性轴上各点中性轴上各点=0各横截面绕各横截面绕 中性轴发生偏转。中性轴发生偏转。 中性轴的位置中性轴的位置 过截面形心过截面形心 中性轴的特点：中性轴的特点： 平面弯曲时梁横截面上的中性轴平面弯曲时梁横截面上的中性轴 它与外力作用面垂直；它与外力作用面垂直； 中性轴是与外力作用面相垂直的中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。形心主轴。 一定是形心主轴；一定是形心主轴； 关于中性层的历史关于中性层的历史 1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发

6、现中性层； 英国科学家胡克于英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象，年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题；但没有涉及中性轴的位置问题； 法国科学家纳维于法国科学家纳维于1826年，出版年，出版材料力学材料力学讲义，讲义， 给出结论：给出结论： 中性轴中性轴 过截面形心。过截面形心。 观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释 P 为什么开孔？为什么开孔？ 为什么加钢筋？为什么加钢筋？ 施工中如何安放？施工中如何安放？ 孔开在何处？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？可以在任意位置随便开孔吗？ 你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？

7、你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？ （三）理论分析：（三）理论分析： y y的物理意义的物理意义纵向纤维到中性层的距离；纵向纤维到中性层的距离； 点到中性轴的距离。点到中性轴的距离。 z y 两直线间的距离两直线间的距离 公式推导公式推导 线应变的变化规律线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看：从横截面上看： 点离开中性轴越远，点离开中性轴越远，该点的线应变越大。 该点的线应变越大。 2、物理关系、物理关系 虎克定律虎克定律 E y E 弯曲正应力的分布规律弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；、与点到中性轴的距离成正比

8、； c、正弯矩作用下，、正弯矩作用下，上压下拉； 上压下拉； 当当 5的细长梁，的细长梁， 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，误差 误差2% 满足工程中所需要的精度。满足工程中所需要的精度。 z I Mymax max 弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力公式弯曲正应力公式 Z I My 1 1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲、纯弯曲或细长梁的横力弯曲; ; 2 2、横截面惯性积、横截面惯性积 I IYZ YZ=0; =0; 3 3、弹性变形阶段、弹性变形阶段; ; 推导弯曲正应力计算公式的方法总结推导弯曲正应力计算公式的方法总结 （1

9、1）理想模型法：）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数） （2 2）“实验实验观察观察假设假设” ” ：梁弯曲假设梁弯曲假设 （3）外力外力内力内力 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 静力学关系静力学关系 （4 4）三关系法）三关系法 积分积分应力合成内应力合成内 力力 横力弯曲横力弯曲 应力法应力法 （5 5）数学方法）数学方法 注意注意 （1 1）计算正应力时，必须清楚所求的是）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面哪个截面上上的应力，的应力， （3 3）特别注意正应力）特别注意正应力沿高度呈线性分布沿高度呈线性分布； 从而确定该截面上的从而确定

10、该截面上的弯矩弯矩及该截面对中性轴的及该截面对中性轴的惯性矩；惯性矩； （2）必须清楚所求的是该截面上）必须清楚所求的是该截面上哪一点哪一点的正应力，的正应力， （4）中性轴中性轴上正应力上正应力为零为零， 并确定该并确定该点到中性轴的距离点到中性轴的距离， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。 以及该点处以及该点处应力的符号应力的符号 （6 6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。 （5 5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; ; 注意注意 正应力的

11、正正应力的正 负号（拉或压）可根据负号（拉或压）可根据弯矩的正负弯矩的正负 及及梁的变形状态梁的变形状态来来 确定。确定。 作弯矩图，寻找最大弯矩的截面作弯矩图，寻找最大弯矩的截面 分析：分析： 非对称截面，非对称截面， 例例1 T1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。型截面铸铁梁，截面尺寸如图。 求最大拉应力、最大压应力。求最大拉应力、最大压应力。 64 7.64 10 m z I 计算最大拉应力、最大压应力计算最大拉应力、最大压应力 zc 52 88 9KN 1m1m 4KN 1m ACB 要寻找中性轴位置；要寻找中性轴位置； （2 2）计算应力：）计算应力： 33 ,max 6 4 1052

12、 10 27.2MPa 7.64 10 t 33 ,max 6 4 1088 10 46.1MPa 7.64 10 c （1 1）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图 B B截面应力分布截面应力分布 9KN 1m1m 4KN 1m ACB FA FB FA=2.5KN 2.5KNm 4KNm M z I My 应用公式应用公式 zc 52 88 （3 3）结论）结论 MPa1 .46 max, c C C截面应力计算截面应力计算 33 ,max 6 2.5 1088 10 28.8MPa 7.64 10 t MPa8 .28 max, t C C截面应力分布截面应力分布 z I My 应用公

13、式应用公式 zc 52 88 9KN 1m1m1m ACB FA FB 4KN 2.5KNm 4KNm M 30 z y 180 120 K 1、C 截面上截面上K点正应力点正应力 2、C 截面上最大正应力截面上最大正应力 3 3、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力 4、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 例例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示如图所示 1m 3m q=60KN/m A C B 1、截面几何性质计算、截面几何性质计算 12 18. 012. 0 3 12 3 Z bh I 45 m10832. 5 确定形心主轴

14、的位置确定形心主轴的位置 z 确定中性轴的位置确定中性轴的位置 180 120 确定形心的位置确定形心的位置 q=60KN/m 1m 3m A C B 2. 2. 求支反力求支反力 kN90 Ay F kN90 By F mkN605 . 0160190 C M Z KC K I yM （压应力）（压应力） 3、C 截面上截面上K点正应力点正应力 30 z y 180 120 K 5 33 10832. 5 10601060 MPa7 .61 4、C 截面上最大正应力截面上最大正应力 Z max max I yM C C 5 33 10832. 5 10901060 MPa55.92 弯矩弯矩

15、 公式公式 M x FS x 作内力图作内力图 kN90 Ay FkN90 By F q=60KN/m 1m 3m A C B 90kN 90kN m67.5kN8/ 2 ql 5 5、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力 mkN5 .67 max M Z max max W M MPa17.104 5 33 10832. 5 1090105 .67 危险截面危险截面 公式公式 Z maxmax max I yM mkN60 C M q=60KN/m 1m 3m A C B 6、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 45 m10832. 5 z I m4 .194 C Z

16、 C M EI EI M 1 3 59 1060 10832. 510200 练习练习1：计算下图中：计算下图中11截面上、两点的正应截面上、两点的正应 力，并求梁内的最大正应力，画危险面上正应力，并求梁内的最大正应力，画危险面上正应 力的分布规律。已知矩形截面的宽为力的分布规律。已知矩形截面的宽为75毫毫 米，高米，高150毫米。毫米。 10 1.2m1m 1m 1-1 P=8KN 40 a b 练习练习2：圆型截面梁的横截面直径为：圆型截面梁的横截面直径为D50毫米，受力如图。毫米，受力如图。 计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。 q=1

17、0KN/m 1m 练习练习3：求下图中：求下图中11截面上点的正应力、此截截面上点的正应力、此截 面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已 知矩形截面的宽为知矩形截面的宽为120毫米，高毫米，高180毫米。毫米。 q=60KN/m 1m 2m 1-1 30 a 三、弯曲正应力强度条件三、弯曲正应力强度条件 弯曲正应力弯曲正应力 的分布规律的分布规律 危险点：危险点： 距离中性轴最远处；距离中性轴最远处； 分别发生分别发生最大拉应力最大拉应力与与最大压应力最大压应力； z max max max I yM 1、塑性材料、塑性材料抗拉压强度相等抗拉压强度相等

18、 无论内力图如何无论内力图如何 梁内最大应力梁内最大应力 I yM z max max max 其强度条件为其强度条件为 通常将梁做成矩形、圆形、工字形等通常将梁做成矩形、圆形、工字形等 对称于中性轴对称于中性轴的截面；的截面； 此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。 因此：因此： 强度条件可以表示为强度条件可以表示为 w M z max max 无论截面形状如何，无论截面形状如何，a 但对于塑性材料，但对于塑性材料， b 2.2.离中性轴最远处。离中性轴最远处。 要综合考虑弯矩要综合考虑弯矩M与截面形状与截面形状Iz 1.1.弯矩的绝对值最大的截面上；弯

19、矩的绝对值最大的截面上； 塑性材料塑性材料 c、塑性材料制成的、塑性材料制成的变截面梁 变截面梁 总之，总之， 梁内最大应力发生在：梁内最大应力发生在： w M z max max 3 .强度条件为强度条件为 2、脆性材料、脆性材料抗拉压强度不等。抗拉压强度不等。 内力图形状有关。内力图形状有关。 梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在 最大应力通常与截面形状，最大应力通常与截面形状， 通常将梁做成通常将梁做成T T形、倒形、倒T T形等形等 关于关于中性轴不对称中性轴不对称的截面。的截面。 离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。

20、 由于脆性材料抗压不抗拉，由于脆性材料抗压不抗拉， a a脆性材料的最大应力与截面形状有关脆性材料的最大应力与截面形状有关 MM 或者或者 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点 上拉下压上拉下压 上压下拉上压下拉 b b脆性材料的最大应力与内力图有关脆性材料的最大应力与内力图有关 危险截面只有一个。危险截面只有一个。 t z t t I My max, c z c c I My max, 危险截面处分别校核：危险截面处分别校核： 二个强度条件表达式二个强度条件表达式 M 危险截面有二个；危险截面有二个；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；每一个截面的最上、最下边缘均是危险

21、点； 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点 t z t t I My max, c z c c I My max, 各危险截面处分别校核：各危险截面处分别校核： 四个强度条件表达式四个强度条件表达式 z Mw max z w max M 弯曲正应力强度计算的三个方面弯曲正应力强度计算的三个方面 1、强度校核、强度校核 t z t t I My max, c z c c I My max, 2、设计截面、设计截面 3、确定许可载荷、确定许可载荷 例例1 1：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。 ,kN5 .62,m16. 0,m2

22、67. 0,130 2 Fbammd 材料的许用应力材料的许用应力.MPa60 mm160 1 d 分析分析 （2 2）危险截面：危险截面： （3 3）危险点危险点 z W M max max 截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称 M弯矩弯矩 最大的截面最大的截面 z W抗弯截面系数抗弯截面系数 最小的截面；最小的截面； 危险截面的最上、下边缘处。危险截面的最上、下边缘处。 （1）轮轴为塑性材料）轮轴为塑性材料, 公式公式 （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 M图 Fa Fb Fb B B截面，截面，C C截面截面 （3）危险截面危险截面 （4 4）强度校核）强度校核

23、B B截面：截面： zB B W M max zC C W M max C C截面：截面： （5 5）结论）结论 3 16. 0 322675 .62 32 3 1 d Fa MPa5 .41 32 3 2 d Fb MPa4 .46 3 13. 0 321605 .62 mmd130 2 .MPa60 mm160 1 d m267. 0am16. 0b ,kN5 .62F 轮轴满足强度条件轮轴满足强度条件 M图 Fa Fb Fb 例例2 2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 材料的许用应力材料的许用应力 MPa,140 kN,

24、7 . 6 1 F,kN50 2 F起重量起重量 跨度跨度m,5 . 9l 试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。 自重自重 分析分析 （2 2）确定危险截面）确定危险截面 （5 5）计算）计算 max M （6 6）计算）计算 ，选择工字钢型号，选择工字钢型号 z W z W M max max （3 3）截面为关于中性轴对称）截面为关于中性轴对称 （1 1）简化为力学模型）简化为力学模型 （4 4）应力计算公式）应力计算公式 FFF kN,7 . 6 1 F ,kN50 2 F m,5 . 9l （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 M FL/4 z W M max

25、 max （3 3）危险截面）危险截面 KNmM 4 5 . 910)507 . 6( 3 max max M Wz 3 cm962 （4 4）强度计算）强度计算 （5 5）选择工字钢型号）选择工字钢型号36c36c工字钢工字钢 3 cm962 z W F=F1+F2 MPa140 例例3 3：T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30 ct 9KN 1m1m 4KN 1m ACB 20 80 120 20 5 5、作弯矩图，确定危险截面、作弯矩图，确定危险截面 cctt max,max, , 6 6、确定危险

26、点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核 分析：分析： 非对称截面；非对称截面； 确定形心主轴位置；确定形心主轴位置； 1、脆性材料，、脆性材料， 2、寻找形心、寻找形心 3、确定中性轴位置；、确定中性轴位置； 4、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图形对中性轴的主惯性矩 危险截面与内力图有关危险截面与内力图有关 mm52 201202080 8020120102080 c y （2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 12 2080 3 z I （1 1）求截面形心）求截面形心 z1 52 20 80 120 20 y z 2 2812020 12 12020 3 2

27、422080 46 m1064. 7 （4 4）确定危险截面）确定危险截面 33 ,max 6 4 1052 10 27.2MPa 7.64 10 t 33 ,max 6 4 1088 10 46.1MPa 7.64 10 c （3 3）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图 B B截面应力强度计算截面应力强度计算 9KN 1m1m 4KN 1m ACB FA FB FA=2.5KN 2.5KNm 4KNm M z I My 应用公式应用公式 zc 52 88 t c MPa30 t MPa,60 c 46 m1064. 7 z I （5 5）结论）结论 C截面强度计算截面强度计算 33 ,m

28、ax 6 2.5 1088 10 28.8MPa 7.64 10 t z I My 应用公式应用公式 zc 52 88 MPa30 t MPa,60 c 46 m1064. 7 z I t c MPa c 17 1064. 7 1052105 . 2 6 33 max, 满足强度条件满足强度条件 9KN 1m1m1m ACB FA FB 4KN 2.5KNm 4KNm M 例例4：一简支梁受力如图所示。已知：一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面，空心圆截面 的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径；若外径D增加增加 一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷

29、 q 可增加到多大？可增加到多大？ 8 . 0 D d MPa12 L=4m A B q=0.5KN/m z W M max 3 3、作弯矩图，确定危险截面；、作弯矩图，确定危险截面； 分析：分析： 对称截面；对称截面；1、塑性材料，、塑性材料， 2、已知图形对中性轴的主惯性矩、已知图形对中性轴的主惯性矩 5、公式、公式 MPa12 4 4、确定危险点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核 8 . 0 D d MPa12 L=4m A B q=0.5KN/m 1、求支座反力，并作弯矩图、求支座反力，并作弯矩图 FA FB FA=FB=ql/2 M 2 8 1 qL 2、确定危险截面、确定危险

30、截面 2 max 8 1 qLMmN.100 . 1 3 强度计算强度计算 )1 ( 32 43 DWz max M mD113. 0 若外径若外径D增加一倍，增加一倍，,226. 0mD 2 max 8 1 qLM z W)1 ( 32 43 D mKNq.0 . 4 8 . 0 D d MPa12 z W M 8 . 0 D d 不变不变 z W M 例例5： 已知已知 材料的材料的 ，由，由M图知：图知： ，试校核其强度。，试校核其强度。mNM.102 . 1 5 max MPa70 16 28 14 4 8 单位：cm z I My max 5 5、确定危险点，进行强度校核、确定危险点

31、，进行强度校核 分析：分析： 非对称截面；非对称截面； 确定形心主轴位置；确定形心主轴位置； 1、塑性材料，、塑性材料， 2、寻找形心、寻找形心 3、确定中性轴位置；、确定中性轴位置； 4、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图形对中性轴的主惯性矩 MPa70 6、公式、公式 （1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置 1081628 ) 514(108141628 cm13 （2 2）计算截面对形心主轴的惯性矩）计算截面对形心主轴的惯性矩 A S y z C 16 28 14 4 8 单位：cm z y z C y 3 2816 12 1 z I 3 108 12 1 2 )1314(2816

32、 2 )1319(108 4 26200cm （4）正应力校核）正应力校核 z I My max 所以结构安全。所以结构安全。 问题：问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？ mNM.102 . 1 5 max MPa70 8 25 1026200 1015102 . 1 MPa65.68 4 26200cmI z 28 z z C y 1、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC10-6m4，材料的，材料的 许用拉应力为许用拉应力为t30MP，许用压应力，许用压应力c 60MP，校核梁的强度。，校核梁的强度。 3KN 1m1m 9KNm 1mzc

33、 52 88 2、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC21.7610-6m4，材，材 料的许用拉应力料的许用拉应力t= 30MP，许用压应力，许用压应力 c=60MP，设计载荷？，如果截面倒置，设计载荷？，如果截面倒置 ？ q 4m 2m zc 60 100 3、球墨铸铁材料，采用、球墨铸铁材料，采用T型截面，惯性矩为型截面，惯性矩为IZC 30000cm4，画危险面上的正应力的分布规律，并，画危险面上的正应力的分布规律，并 求梁内的最大拉应力、最大压应力。求梁内的最大拉应力、最大压应力。 q=20KN/m 4m M=20KNm 120 60 4、已知、已知T型截面的惯性矩为型截

34、面的惯性矩为IZC2010-6m4，材，材 料的许用拉应力为料的许用拉应力为t32MP，许用压应力，许用压应力 c75MP，校核强度。，校核强度。 9KN 1m 4KN 1m 1m zc 30 60 5、AB梁的跨度为梁的跨度为L6米，当力米，当力P直接作用在梁的直接作用在梁的 中点时，梁的最大正应力超过许用应力的中点时，梁的最大正应力超过许用应力的30。 为消除过载的影响，增加一辅助梁为消除过载的影响，增加一辅助梁CD。求辅助。求辅助 梁的跨度？梁的跨度？ P a L 6、铸铁制成的槽形截面梁，、铸铁制成的槽形截面梁， 材料的材料的t=40MPa, C=150MPa, 对截面形心轴的惯性矩为

35、对截面形心轴的惯性矩为IZ 4010-6m4，y1=0.14m，y2=0.06m，校核梁的强度，校核梁的强度 1m 1m 2m P=30KN q=15N/m y1 y2 5-4 弯曲切应力弯曲切应力 横力弯曲横力弯曲横截面上内力横截面上内力 既有弯矩又有剪力；既有弯矩又有剪力； 横截面上应力横截面上应力 既有正应力又有切应力。既有正应力又有切应力。 切应力切应力分布规律和计算公式分布规律和计算公式 FA FB FA=FB=P Fs M P P Pa PP a a L C A 观察观察AC段内力段内力 Fs=P =+=+常量常量 +M线性规律上升线性规律上升 横截面上的切应力合成剪力横截面上的切

36、应力合成剪力 横截面上的剪力产生切应力横截面上的剪力产生切应力 关于切应力的两点假设关于切应力的两点假设 目标：目标： 距离中性轴为距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式的直线上各点切应力计算公式 ? y 距中性轴等远距中性轴等远 的各点处切应的各点处切应 力大小相等力大小相等。 1、在、在AC 段取长为段取长为dx的微段的微段 F s M P P P a 2、分析微段上的应力、分析微段上的应力 z I My 1 z I ydMM )( 2 3、切开微段分析、切开微段分析 4、分析微段的平衡条件、分析微段的平衡条件 0)( 12 s FFF dAF A 1 22 5、计算右侧截面正应力形成的

37、合力、计算右侧截面正应力形成的合力 1 1 )( A z dA I ydMM 1 1 )( A z dAy I dMM * )( Z S I dMM z 同理同理 * 1 Z S I M F z z bI S dx dM Z * 6、微元体的平衡方程、微元体的平衡方程 0 12 bdxFF * 2 )( Z S I dMM F z * 1 Z S I M F z 0 * bdxS I dM Z z z s bI SF Z * z s bI SF Z * 距离中性轴为距离中性轴为y y的直的直 线上点的切应力计线上点的切应力计 算公式算公式 7、切应力计算公式、切应力计算公式 z s y bI

38、SF Z * z s y bI SF Z * 各项的物理意义各项的物理意义 1、Fs 欲求切应力的点所在截面的剪力；欲求切应力的点所在截面的剪力； 2、Iz 欲求切应力的点所在截面对中欲求切应力的点所在截面对中 性轴的惯性矩；性轴的惯性矩； 3、b 欲求切应力的欲求切应力的点处截面的宽度点处截面的宽度； 4、Sz*横截面上距离中性轴为横截面上距离中性轴为y y的的横线以外部分横线以外部分 的面积的面积A A1 1对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。 16 28 14 4 8 20 80 120 20 A FS 2 3 8、切应力分布规律、切应力分布规律 max 切应力沿截面高度按切应力沿截面高度按

39、 抛物线抛物线规律变化。规律变化。 中性轴处中性轴处 最大正应力所最大正应力所 在的点在的点 工字形截面梁切应力沿高度的分布规律工字形截面梁切应力沿高度的分布规律 z s y bI SF Z * 计算公式计算公式 切应力危险点切应力危险点 中性轴处中性轴处 f s A F max 最大切应力最大切应力 腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板上的切应力呈抛物线变化； 腹板部分的切应力合力占总剪力的腹板部分的切应力合力占总剪力的9597%9597%。 工字形截面的翼缘工字形截面的翼缘 )(z 翼缘部分的水平切应力沿翼缘翼缘部分的水平切应力沿翼缘 宽度按宽度按直线规律直线规律变化；变化； 翼缘部分的切应力

40、强度计算时一般不予考虑。翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。 并与腹板部分的竖向剪力并与腹板部分的竖向剪力 形成形成“剪应力流剪应力流” 。 )(y s F T形截面梁切应力沿高度的分布规律形截面梁切应力沿高度的分布规律 z s y bI SF Z * 计算公式计算公式 切应力危险点切应力危险点 中性轴处中性轴处 max 圆形截面梁切应力沿高度的分布规律圆形截面梁切应力沿高度的分布规律 z s y bI SF Z * 计算公式计算公式 切应力危险点切应力危险点中性轴处中性轴处 max A Fs 3 4 max 最大切应力最大切应力 2 2、横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点、横截面上同

41、一高度各点的切应力汇交于一点 3 3、竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线规律变化、竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线规律变化 1 1、在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。、在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。 max= 2.0 Fs A 圆环截面的最大切应力圆环截面的最大切应力 z y max s F 切应力的危险点切应力的危险点 能否说：能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上切应力的最大值一定发生在中性轴上”？ 当中性轴附近有尺寸突变时当中性轴附近有尺寸突变时最大切应力不发生在中性轴上；最大切应力不发生在中性轴上； 当中性轴附近有没有尺寸突变时当中性轴附近有没有尺寸突

42、变时 最大切应力最大切应力发生在中性轴发生在中性轴上；上； 切应力强度条件切应力强度条件 )( max max, max z zS bI SF 对于等宽度截面，对于等宽度截面， 发生在中性轴上；发生在中性轴上； max 在进行梁的强度计算时，需注意以下问题在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。力的强度条件是次要的。 max 对于宽度变化的截面，对于宽度变化的截面， 不一定不一定发生在中性轴上。发生在中性轴上。 一般情况下，一般情况下，以正应力设计为主，

43、以正应力设计为主， 切应力校核为辅；切应力校核为辅； (2) 对于对于较粗短较粗短的梁，当的梁，当集中力较大集中力较大时，时， 注意注意 (4) 薄壁截面梁薄壁截面梁时，也需要校核切应力。时，也需要校核切应力。 截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。 (3) 载荷离支座较近载荷离支座较近时，时， 截面上的剪力较大；截面上的剪力较大； (5) 木梁顺纹木梁顺纹方向，抗剪能力较差方向，抗剪能力较差; (6) 工字形工字形截面梁，要进行切应力校核截面梁，要进行切应力校核; 注意注意 例题例题1 1：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为：悬臂梁由三块木板粘接而

44、成。跨度为1 1m m。胶合胶合 面的许可切应力为面的许可切应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MPa，求许可载荷求许可载荷F F。 100 50 50 50 l F z W M max max 1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图 2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 l bh F 6 2 1 AFS2/3 max 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN013/2 2 bhF x Fs x M F FL F 2 1 6 bh lF 3.75kN bhF2/3

45、2 g Z ZS bI SF * g 4.4.按胶合面强度条件计算许按胶合面强度条件计算许 可载荷可载荷 3.825kN 3 F 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 min min kN825. 3kN10kN75. 3 i FF 100 50 50 50 x Fs x M F FL F g b bh F 12 5050100 3 3 3.75kNF 例例2铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力 为为 ，许用压应力为，许用压应力为 ， 。 试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁

46、的截面倒置，情 况又如何？况又如何？ MPa35 MPa100 MPa40 A B 2m1m3m P=20KN C D q=10KN/m 200 30 200 30 200 30 200 30 (a) (a) 确定中性轴的位置确定中性轴的位置 2320 102035 .21203 A S y z C cm75.15 4 6013 cm 23 )1075.15(203203 12 1 z I 23 5 . 1)75.1520(320320 12 1 (c) (c) 最大静矩：最大静矩：88. 775.153 max, z S 3 372 cm z zC (b) 计算图形对形心主轴的惯性矩计算图形

47、对形心主轴的惯性矩 (1) 平面图形几何性质计算平面图形几何性质计算 157.5 （2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图 计算约束反力：计算约束反力： ,30KNFAy ,10KNFBy A B 2m1m3m C D P=20KN q=10KN/m FAy FBy 作内力图作内力图 Fs M 10KN 20KN 10KN 10KN.m 20KN.m （3 3）正应力强度计算）正应力强度计算 对于对于A A截面：截面： z 8 2 max 10013. 6 10) 325. 4( )( A A M MPa1 .24 8 2 max 10013. 6 1075.15 )( A A M MPa

48、4 .52 20KN P=20KN q=10KN/m FAy FBy Fs 10KN 10KN 200 30 zC 157.5 4 6013 cmI z MPa100 MPa40 10KN.m M 20KN.m （3 3）正应力强度计算）正应力强度计算 对于对于D D截面：截面： z P=20KN q=10KN/m FAy FBy Fs 10KN 20KN 10KN 200 30 zC 157.5 4 6013 cmI z MPa100 MPa40 8 2 max 10013. 6 1075.15 )( D D M MPa2 .26 8 2 max 10013. 6 1025. 7 )( D

49、D M MPa12 M 20KN.m 10KN.m MpaMPa D 402 .26)( maxmax MpaMPa D 1004 .52)( maxmax 正应力强度足够正应力强度足够。 结论结论 （4 4）切应力强度校核）切应力强度校核 在在A A截面左侧：截面左侧： z zS bI SF max,max, max 5 63 10013. 603. 0 103721020 MPa12. 4 切应力强度足够切应力强度足够。 P=20KN q=10KN/m FAy FBy Fs 10KN 20KN 10KN 200 30 zC 157.5 4 6013 cmI z 3 372cmSz MPa3

50、5 危险截面危险截面 计算公式计算公式 M 20KN.m 10KN.m （5 5）若将梁的截面倒置）若将梁的截面倒置 此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。 y c z z c y z 8 2 max 10013. 6 1075.15 )( A A M MPa4 .52 MPa40 P=20KN q=10KN/m FAy FBy Fs 10KN 20KN 10KN M 20KN.m 10KN.m 1、求图示梁上、求图示梁上1-1截面上、二点的切应力，截面上、二点的切应力， 及梁内最大的切应力。及梁内最大的切应力。 10 1.2m1m 1m 1-1 P=8KN 40 a b 2、矩形截

51、面简支梁、矩形截面简支梁24100，梁的许用，梁的许用 应力为：应力为：120MP，许用剪应力为，许用剪应力为 100MP，校核梁的强度。，校核梁的强度。 2m2m 2m q=1KN/m P=4KN 24 100 5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 Z max max W M max max M max z z y I W z I z W 11、合理布置支座、合理布置支座一、一、 降低降低 Mmax 22、合理布置载荷、合理布置载荷 降低降低 Mmax F L/6 5FL/36 安装齿轮安装齿轮靠近轴承一侧；靠近轴承一侧； 33、集中力分散、集中力分散降低降低 Mmax F

52、二、梁的合理截面二、梁的合理截面 max y I W z z dAyI z 2 Z max max W M 增大抗弯截面系数增大抗弯截面系数 y 截面面积几乎不变的情况下，截面面积几乎不变的情况下， 截面的大部分分布在截面的大部分分布在远离中性轴远离中性轴的区域的区域 1、合理设计截面合理设计截面 抗弯截面系数抗弯截面系数WWZ Z越大、横截面面积越大、横截面面积A A越小，越小，截面越合理。截面越合理。 A Wz 来衡量截面的经济性与合理性来衡量截面的经济性与合理性 合理截面合理截面 合理截面合理截面 伽利略伽利略16381638年年关于两种新科学的对话和证明关于两种新科学的对话和证明 “空

53、心梁能大大提高强度，而无须增加重量，空心梁能大大提高强度，而无须增加重量， 所以在技术上得到广泛应用。所以在技术上得到广泛应用。在自然界就更为普遍了， 在自然界就更为普遍了， 这样的例子在这样的例子在鸟类的骨骼鸟类的骨骼和各种和各种芦苇芦苇中可以看到，中可以看到， 它们它们既轻巧既轻巧而又而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“ 矩形截面中性轴附近的材料未充矩形截面中性轴附近的材料未充 分利用，工字形截面更合理。分利用，工字形截面更合理。 根据应力分布的规律：根据应力分布的规律： 解释解释 z 合理截面合理截面 合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。 对于塑性材料对于塑性材料 宜设计成关