层流边界层积分近似解

1、 报告人：慈超 学 号：2013110806 背景 1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。 1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 4) 根据求得的速度分布

2、和温度分布计算边界 上的 t fx c x Nu 能量积分方程： 0 0 () t y dt u tt dya dxy 对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量 积分方程和能量积分方程。 动量积分方程： 0 00 )()( y y u dyuu dx du dyuuu dx d 动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流 的条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。 但求解时，必须先给出边界层速度分布函数以 及粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否 精确将影响到积分结果，这是积分方程解的特 点，因此其解是近似的。 作为实例，把 作为常数，此时动量积分 方程左边第二项为0，且 。同 时为积分方程，

3、补充的边界层速度函数一般选 用多项式较好，也可选用其他形式函数，选择 哪一种，主要看它能否更好表达边界层内的速 度分布。 u w w du dy 边界层动量积分方程解： 23 0123 uaa yayay 0 00 )()( y y u dyuu dx du dyuuu dx d 2 2 uuu uvv xyy 假定速度分布函数： ：0y0u：y uu 0 y u 0 2 2 y u 2 0 0 (1) y duuu udy dxuuy 平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程 23 0123 uaa ya ya y 代入动量积分方程后求解得： ：0y0u：y uu 0 y u 0 2 2 y

4、 u 0 0 a 1 3/2 u a 0 2 a 3 3 2 u a 3 31 ( ) 22 uyy u 00 140 13 x ddx u 1/2 280 4.64Re 13 x xu x 1/2 280 4.64Re 13 x xu x 3 1/21/2 31 () 2 4.64Re2 4.64Re xx uyy uxx 代入速度分布方程： x u y u x y w 2/1 0 Re64. 42 3 x u 3/2 0.323 1/2 2 0.646Re 1 2 wx fxx c u 由能量积分方程配合动量积分方程可分析求解 边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而 求出表面传热系数。

5、为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁 温为 ，主流温度为 ，主流速度为 2）流体为常物性，且 3）流体无 内热源也不考虑耗散热。根据热边界层的特点， x方向上导热很小故不考虑，只考虑y方向的导 热。 w t w t t u 1 r p 以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方 程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界 层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了， 尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。 边界层能量积分方程解： 23 0123 bb yb yb y 2 2 y T a y T v x T u 假定速度分布函数： ：0y0 ：y 0 y 0 2 2 y 引入过余温度：=T-Tw

6、0 0 )1 ( y y ady u u dx d u t 平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程 23 0123 bb yb yb y 令： ：0y0： t y 0 y 0 2 2 y 0 0 b 3/2 1 b0 2 b 1/2 3 b 3 31 () 22 tt yy / t 1 代入能量积分方程： 1 2 3 0y y t au dx d 2 3 ) 28 3 20 3 ( 42 24 略去高次项 au dx d 2 3 20 3 2 a dx d u dx d u10 2 2 a dx d u dx d u10 2 2 a dx d x10 13 140 13 280 2 2 dx u d 13 140 3 x u 13 028 2 Pr14 13 2 3 2 dx d x Pr14 13 4 32 dx d x Pr14 13 3 4 3 3 dx d x 令： Pr 1 56 39 4 3 xxdx d 一阶线性常微分方程 Pr 1 56 39 4 3 xxdx d P Q )(cdxQee Pdx Pdx 通解：通解： 4/3 Pr 1 14 13 cx 4/33 Pr 1 14 13 cx 0,0 t x00c 3 13 1 14 Pr 3/13/1 PrPr