第8章 梁的位移与刚度设计

1、2021-6-23 1 第八章第八章 梁的位移分析与梁的位移分析与刚度刚度设计设计 主讲教师：毛卫国主讲教师：毛卫国 单单 位：材料与光电物理学院位：材料与光电物理学院 2021-6-23 2 在第在第7章，我们主要学习了梁的章，我们主要学习了梁的纯弯曲、横向弯曲和纯弯曲、横向弯曲和 斜弯曲斜弯曲中中正应力与外加力偶正应力与外加力偶的关系，分析了的关系，分析了正应力的分正应力的分 布情况布情况，如何判别最大正应力的，如何判别最大正应力的位置位置，进而如何判断梁，进而如何判断梁 的的强度问题强度问题。 y I M z z x 另外，我们知道，当梁受到横向载荷或外加力偶时，其另外，我们知道，当梁受

2、到横向载荷或外加力偶时，其 中不仅产生中不仅产生正应力正应力，而且，而且在梁的不同位置处其变形情况在梁的不同位置处其变形情况 也不同也不同。 max 2021-6-23 3 失效失效(failure)或破坏或破坏 工程构件在外力作用下工程构件在外力作用下丧失丧失正常功能的现象。正常功能的现象。 (1) 强度失效强度失效(failure by lost strength) 指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。 (2) 刚度失效刚度失效(failure by lost rigidity) 指构件在外力作用下产生过量的弹性变形。指构

3、件在外力作用下产生过量的弹性变形。 (3) 稳定失效稳定失效(failure by lost stability) 指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。 失效类型：失效类型： 2021-6-23 4 研究的意义研究的意义 L位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形 和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都弹性位移都 有一定的限制有一定的限制。弹性位移过大，也会使。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能结

4、构或构件丧失正常功能， 即发生即发生刚度失效刚度失效。 尤其是在高精密的仪器、器械中对于材料的弹性变形控制尤为重要。尤其是在高精密的仪器、器械中对于材料的弹性变形控制尤为重要。 我们要研究材料的我们要研究材料的变形和位移变形和位移之间的关系。之间的关系。 位移分析也是解决位移分析也是解决超静定问题超静定问题与与振动问题振动问题的基础。的基础。 2021-6-23 5 上一章中已经提到，如果忽略上一章中已经提到，如果忽略剪力剪力FQ的影响，在平面弯的影响，在平面弯 曲的情形下，梁的轴线将弯曲成曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线平面曲线，梁的横截面，梁的横截面 变形后依然保持平面，且仍与梁变形后

5、的轴线垂直。由变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。由 于发生弯曲变形，于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变梁横截面的位置发生改变， 这种改变这种改变 称为称为位移位移(Displacement)。 Y位移是位移是各部分变形累加各部分变形累加的结果。位移与变形有着的结果。位移与变形有着 密切联系，但又有严格区别。密切联系，但又有严格区别。 Y这是因为，杆件横截面的这是因为，杆件横截面的位移位移不仅与变形有关，不仅与变形有关， 而且还与杆件所受的而且还与杆件所受的约束约束有关。有关。 2021-6-23 6 Y在数学上，确定杆件在数学上，确定杆件横截面位移横截面位移的过程主要是的过程主

6、要是积分运积分运 算算，积分限或积分常数积分限或积分常数则与则与约束条件和连续条件约束条件和连续条件有关。有关。 Y若材料的应力若材料的应力-应变关系满足应变关系满足胡克定律胡克定律，且在弹性范，且在弹性范 围内加载，则位移与力围内加载，则位移与力(均为广义的均为广义的)之间均存在之间均存在线性线性 关系关系。因此，。因此，不同的力不同的力在在同一处同一处引起的引起的同一种位移同一种位移可可 以相互叠加。以相互叠加。 Y本章将在分析本章将在分析变形与位移变形与位移关系的基础上，建立确定梁关系的基础上，建立确定梁 位移的位移的小挠度微分方程小挠度微分方程及其积分的概念，重点介绍工及其积分的概念，

7、重点介绍工 程上应用的程上应用的叠加法叠加法以及梁的以及梁的。 2021-6-23 7 8.1 基本概念基本概念 8.1.1 梁弯曲后的挠度曲线梁弯曲后的挠度曲线 若在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一条若在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一条连续连续 光滑光滑曲线。这一连续光滑曲线称为曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线弹性曲线(elastic curve) 或或挠度曲线挠度曲线(deflection curve)，简称弹性线或挠曲线。，简称弹性线或挠曲线。 2021-6-23 8 根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线 在在一点一

8、点的曲率与的曲率与这一点这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间 存在下列关系存在下列关系 1M EI 其中，其中，和和M都是横截面位置都是横截面位置x的函数，的函数，EI为横截面的为横截面的 弯曲刚度。弯曲刚度。 )(x)(xMM 2021-6-23 9 8.1.2 梁的挠度与转角梁的挠度与转角 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改 变称为位移变称为位移 (Displacement)。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分： 横截面形心处的横截面形心处的铅垂铅垂位移，称为挠度位移，称为挠度(def

9、lection)，用，用表示表示 变形后的横截面相对于变形后的横截面相对于变形前位置变形前位置绕绕中性轴中性轴转过的角度转过的角度 (slope)，用，用表示。表示。 横截面形心沿横截面形心沿水平方向的位移水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移，称为轴向位移或水平位移 (horizontal displacement)，用，用u表示。表示。 在小变形情形下，上述位移中，水平位移在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度与挠度相比为高相比为高 阶小量，故通常不予考虑阶小量，故通常不予考虑水平位移水平位移u 。 所以我们主要关注挠度所以我们主要关注挠度和转角和转角之间的关系之间的关系 2021-

10、6-23 10 + tan dx dw tan dx xdw)( 所以我们得到了挠度所以我们得到了挠度和转角和转角之间的微分关系之间的微分关系 挠度方程挠度方程(deflection equation) Z y 2021-6-23 11 8.1.3 梁的位移与约束密切相关梁的位移与约束密切相关 约 束 不 同 导约 束 不 同 导 致 梁 的 位 移致 梁 的 位 移 不相同。不相同。 2021-6-23 12 8.2 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分 应用挠度曲线的应用挠度曲线的曲率曲率与与弯矩弯矩和和弯曲刚度弯曲刚度之间的关系之间的关系 式，以及数学中关于曲线的曲率公式有式，以

11、及数学中关于曲线的曲率公式有 EI M 1 2 3 2 1 1 w w ，故被忽略。在小变形条件下，由于1 2 w EI xM dx xwd)()( 2 2 梁的梁的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程，又，又 称为称为Euler-Bernoulli方程方程。 2021-6-23 13 符号问题：符号问题： 挠度挠度和转角和转角的正负号由的正负号由所选坐标系所选坐标系的正方向来确定。的正方向来确定。 T沿沿y轴正向的轴正向的挠度挠度为为正正+，反之为负；，反之为负； T将将x轴绕坐标原点旋转轴绕坐标原点旋转90o与与y轴重合，轴重合，转角转角和它的转向和它的转向 相同为正，反之为负。相同为正，

12、反之为负。 弯矩弯矩M(x)的正负号确定依旧与的正负号确定依旧与第第5章的符号规则章的符号规则一样。一样。 2021-6-23 14 2 3 2 )(1 )( )( 1 xf xf x 2 3 2 )(1 )( xw xw 补充知识补充知识 )( xw 2 2 1( ( ) )d w x x dx 1) ( ( ) M Ix x E EI xM dx xwd)()( 2 2 曲率的定义：曲率的定义： 2021-6-23 15 2021-6-23 16 2021-6-23 17 挠度符号挠度符号按照数学中的符号规定，与坐标系的选取按照数学中的符号规定，与坐标系的选取有关有关。 弯矩弯矩的符号与前

13、面第五章的规定一致，与坐标选取的符号与前面第五章的规定一致，与坐标选取无关无关。 即即M(x)为为+，则梁的曲线向下凸。，则梁的曲线向下凸。 M(x)为为-，则梁的曲线向上凸。，则梁的曲线向上凸。 M M 2 2 )( )( 1 dx xwd x EI xM x )( )( 1 2021-6-23 18 0M 2 2 ( ) ( )0 d w x w x dx 0M 2 2 ( ) 0 d w x dx 0M 2 2 ( ) 0 d w x dx 0M x x x x x x x x 2 2 ( ) ( )0 d w x w x dx 2021-6-23 19 0M0 )( 2 2 dx xw

14、d 根据弯矩的正负号规则和根据弯矩的正负号规则和上面所选取上面所选取的坐标系，弯的坐标系，弯 矩和挠度二阶导数矩和挠度二阶导数总是不一致总是不一致的，所以在公式右边应该的，所以在公式右边应该 取取负号负号。 通常选取的坐标：通常选取的坐标： EI xM dx xwd)()( 2 2 x x 2021-6-23 20 对于对于等截面等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方 程程M(x)，分别对，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠作不定积分，得到包含积分常数的挠 度方程与转角方程为度方程与转角方程为: Dcxdxdx EI xM w cdx EI x

15、M dx dw ll l )( )( C、D为积分常数。为积分常数。 该方法称为该方法称为积分法积分法(Integration method)。 2021-6-23 21 8.2.2 积分法积分法中常数的确定中常数的确定 利用利用约束条件和连续条件约束条件和连续条件 约束条件约束条件 对对挠度挠度和和转角转角的限制。的限制。 在在固定铰支座固定铰支座和和辊轴支座辊轴支座处，约束条件是处，约束条件是 挠度等于零，即挠度等于零，即0，0 在在固定端固定端处，约束条件是处，约束条件是 挠度等于零，即挠度等于零，即0 转角等于零，即转角等于零，即0 2021-6-23 22 连续条件连续条件 梁在弹性

16、范围内加载，其轴线将弯曲成一条梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑连续光滑曲线。曲线。 在在间断处，间断处，的挠度、的挠度、 转角对应相等，转角对应相等， 1 2 1 2 2021-6-23 23 0 A M0 C M 2021-6-23 24 得到了带待定参数得到了带待定参数 的挠度方程和转角的挠度方程和转角 方程。方程。 2021-6-23 25 2021-6-23 26 其方法类似于第其方法类似于第5章所求的章所求的剪力剪力方程和方程和弯矩弯矩方程！方程！ 2021-6-23 27 8.3 工程中的工程中的叠加法叠加法 基于杆件变形后其轴线为一基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲

17、线光滑连续曲线和和位移是杆件位移是杆件 变形累加的结果变形累加的结果这两个重要概念，以及这两个重要概念，以及在小变形条件下在小变形条件下 的力的独立作用原理的力的独立作用原理，采用叠加法，采用叠加法 (superposition method), 由由现有的挠度表现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁可以得到在很多复杂情形下梁 的位移。的位移。 在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁， 在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简 称为称为挠度表挠度表(参见本章表参见本章表8

18、-1)。 2021-6-23 28 表表8-1 梁的梁的挠度挠度与与转角转角公式公式 2021-6-23 29 作业：作业：3、4、8、9 2021-6-23 30 叠加法叠加法基本思想基本思想 各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角，等于各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角，等于 各个载荷各个载荷单独单独作用时同一截面的挠度和转角的作用时同一截面的挠度和转角的代数和代数和。 叠加原理的限制：叠加原理的限制： 叠加原理要求梁的某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩叠加原理要求梁的某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩 成成，因此要求：，因此要求： 弯矩弯矩M与与成成线性线性关系，这就要求材料是关系，

19、这就要求材料是的。的。 曲率与曲率与成成线性线性关系，这就要求梁为关系，这就要求梁为。 原理原理 2021-6-23 31 2021-6-23 32 2021-6-23 33 2021-6-23 34 8.3.2 叠加法应用于叠加法应用于间断性分布载荷间断性分布载荷作用的情况作用的情况 思路：思路： 2021-6-23 35 2021-6-23 36 2021-6-23 37 8.4 简单的简单的超超静定梁静定梁 与求解拉伸、压缩杆件的静不定问题相似，求解静与求解拉伸、压缩杆件的静不定问题相似，求解静 不定梁时，除了平衡方程外，还需要根据不定梁时，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移多余约

20、束对位移 或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系， 即建立几何方程，称为即建立几何方程，称为变形协调方程变形协调方程，并建立力与位移或，并建立力与位移或 变形之间的物理关系，即变形之间的物理关系，即物理方程物理方程或称或称本构方程本构方程。将这二。将这二 者者联立联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。才能找到求解静不定问题所需的补充方程。 2021-6-23 38 (1)首先要判断静不定的首先要判断静不定的次数次数，也就是确定有几个多余约束；，也就是确定有几个多余约束； (2) 然后选择合适的多余约束，将其去除，使然后选择合适的多余

21、约束，将其去除，使静不定梁静不定梁变成变成静静 定梁定梁； (3)在解除约束处代之以多余约束力；在解除约束处代之以多余约束力； (4) 最后将解除约束后的梁与原来的静不定梁相比较，多余约最后将解除约束后的梁与原来的静不定梁相比较，多余约 束处应当束处应当满足什么样的变形条件满足什么样的变形条件才能使解除约束后的系统的受才能使解除约束后的系统的受 力和变形与力和变形与原来的系统弯曲等效原来的系统弯曲等效， 从而写出从而写出变形协调条件变形协调条件。 思路：思路： 如何得出变形协调条件？如何得出变形协调条件？ 2021-6-23 39 多余的约束多余的约束 = 多余的约束力多余的约束力(未知的外力

22、未知的外力)+变形协调条件变形协调条件 2021-6-23 40 四个未知数，三个独立方程。四个未知数，三个独立方程。 2021-6-23 41 2021-6-23 42 2021-6-23 43 8.5 梁的刚度设计梁的刚度设计 8.5.1 刚度设计准则刚度设计准则 对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是 根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转 角角(或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，限制在一定范围内， 即满足弯曲即满足弯曲刚度设计刚度设计准则：准则： w

23、w max max 2021-6-23 44 2021-6-23 45 2021-6-23 46 2021-6-23 47 1. 强度设计强度设计 2021-6-23 48 2. 刚度设计刚度设计 2021-6-23 49 2021-6-23 50 8.6 结论与讨论结论与讨论 2021-6-23 51 2 P BA F FF 2 P A F F PC FF 两种情况下两种情况下CB段段所受弯矩不一样。所受弯矩不一样。 边界条件边界条件(约束条件约束条件)和连续条件也不一样。和连续条件也不一样。 最终导致最终导致挠度方程和转角方程挠度方程和转角方程自然不一样。自然不一样。 2021-6-23

24、52 2021-6-23 53 8.6.3 关于求解关于求解超超静定问题的讨论静定问题的讨论 求解超静定问题时，除平衡方程外，还需根据求解超静定问题时，除平衡方程外，还需根据变形协变形协 调方程和物理方程调方程和物理方程建立求解未知约束力的建立求解未知约束力的补充方程补充方程。 根据小变形特点和对称性分析，可以使一个或几个未根据小变形特点和对称性分析，可以使一个或几个未 知力变为已知，从而使求解静不定问题大为简化。知力变为已知，从而使求解静不定问题大为简化。 为了建立变形协调方程。需要为了建立变形协调方程。需要解除解除多余约束，使多余约束，使超静超静 定结构变成静定结构定结构变成静定结构，这时

25、的静定结构称为，这时的静定结构称为静定系统静定系统。 在很多情形下，可以将在很多情形下，可以将不同的约束不同的约束分别视为多余约束，分别视为多余约束， 这表明这表明静定系统的选择不是唯一的静定系统的选择不是唯一的。 需要指出的是，这种解除多余约束。代之以相应的需要指出的是，这种解除多余约束。代之以相应的约约 束力束力。实际上是以。实际上是以力力为未知量求解静不定问题。这种为未知量求解静不定问题。这种 方法称为方法称为力法力法 (force method)。 2021-6-23 54 超静定梁在构造上区别于静定梁的特点，是存在多超静定梁在构造上区别于静定梁的特点，是存在多 余约束，若将超静定梁的余约束，若将超静定梁的多余约束去掉多余约束去掉，则其变成仍，则其变成仍 可承受荷载的静定梁。可承受荷载的静定梁。 超超静定梁静定梁静定梁静定梁 将超静定梁中多余的