2020-2021学年数学第四册教案：第11章11.4.2　平面与平面垂直含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材人教b版必修第四册教案：第11章 11.4.2平面与平面垂直含解析11.4。2平面与平面垂直学 习 目 标核 心 素 养1.了解二面角、面面垂直的定义（重点）2掌握面面垂直的判定定理和性质定理(重点)3灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题（难点）1。通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养2借助面面垂直的判定定理与性质定理,培养逻辑推理、数学抽象的核心素养。在平面几何中，我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系,进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况类似地，我们需要先引

2、进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系,进而研究两个平面互相垂直思考：（1)回顾初中所学知识,什么是射线？如何用射线来定义角？（2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？1二面角概念平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。图示二面角的平面角定义在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角图示符号oa，ob,l，ol,oal，oblaob是二面角的平面角范围0，规定二面角的大小用它的平面角

3、的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为，的二面角记为.l。.如图所示,也可在，内（棱以外的半平面部分)分别取点p，q，将这个二面角记作二面角p.l。q.2。平面与平面垂直(1）定义：如果两个平面所成角的大小为90,则称这两个平面互相垂直平面与平面垂直,记作.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图所示(3)面面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（4）面面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于

4、它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言a图形语言思考：若定理中的“交线”改为“一条直线，结论会是什么？提示相交或平行1思考辨析（正确的打“，错误的打“”)（1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面(）(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面（）(3）如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直()提示(1)正确(2)错误必须要在其中一个平面内作直线才能成立(3）错误可能平行,也可能相交或异面答案（1）(2）(3）2设m，n是两条不同的直线，,是两个不同的平面,给出下列说法，其中正确的是(）a若m，n，mn，

5、则b若m，m，则c若mn，m,n，则d若m，n，mn，则ba中，,还可能平行或相交，所以a不正确；易知b正确;c中，若，仍然可以满足mn，m，n，所以c不正确；d中，还可能平行或相交，所以d不正确故选b3在正方体abcd。a1b1c1d1中，平面aa1c1c与平面c1bd的位置关系是_垂直因为bdac,bdc1c,且acc1cc,所以bd平面aa1c1c因为bd平面c1bd，所以平面aa1c1c平面c1bd4在长方体abcd。a1b1c1d1中，abad2，cc1，二面角c1bdc的大小为_30如图，连接ac交bd于点o，连接c1o。因为c1dc1b，o为bd中点，所以c1obd因为acbd，

6、所以c1oc是二面角c1.bdc的平面角，在rtc1co中，c1c，可以计算出c1o2，所以sinc1oc。所以c1oc30。二面角的求解【例1】如图所示,在abc中,abbc，sa平面abc，de垂直平分sc,且分别交ac,sc于点d,e,又saab，sbbc，求二面角e。bd。c的大小思路探究求二面角e.bdc的大小先作出二面角的平面角，再计算解因为e为sc的中点,且sbbc,所以besc又desc，bedee，所以sc平面bde，所以bdsc又sa平面abc，可得sabd，scsas，所以bd平面sac，从而bdac，bdde,所以edc为二面角ebd。c的平面角设saab1，在abc中

7、,因为abbc,所以sbbc，ac，所以sc2.在rtsac中，dcs30，所以edc60，即二面角e.bd。c为60.1求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”2作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图所示，aob为二面角.a。的平面角方法二：（垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图所示，acb为二面角.m的平面角1如图，在正方体abcd。a1b1c1d1中，求二面角ba1c1。b1的正切值解取a1c1的中点o,连接b1o，bo.由题意知

8、b1oa1c1，又ba1bc1，o为a1c1的中点,所以boa1c1，所以bob1即是二面角b。a1c1。b1的平面角因为bb1平面a1b1c1d1，ob1平面a1b1c1d1，所以bb1ob1.设正方体的棱长为a，则ob1a，在rtbb1o中，tanbob1。所以二面角b。a1c1.b1的正切值为。平面与平面垂直的证明【例2】如图,在四棱锥p.abcd中，pc平面abcd，abdc，dcac(1)求证:dc平面pac;（2)求证：平面pab平面pac证明(1)因为pc平面abcd，dc平面abcd，所以pcdc又因为dcac，acpcc，所以dc平面pac（2）因为abdc，dcac，所以a

9、bac因为pc平面abcd，ab平面abcd，所以pcab又pcacc,所以ab平面pac因为ab平面pab，所以平面pab平面pac证明面面垂直的两个方法及实质（1)定义法：证明二面角的平面角为直角步骤：找出两个相交平面的平面角证明这个平面角是直角根据定义，说明这两个平面互相垂直(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线,一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决实质:证明面面垂直,实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直,其中体现了化归与转化的数学思想2如图，在四棱锥p。abcd中，底面abcd是正方形,pd平面abcd,pd

10、dc，e是pc的中点(1)证明：pa平面bde；（2）证明:平面bde平面pbc证明(1）连接ac,交bd于点o，连接oe，因为四边形abcd为正方形，所以o为ac的中点，又因为e为pc中点,所以oe为pac的中位线,所以paoe，又因为oe平面bde，pa平面bde，所以pa平面bde。（2)因为四边形abcd为正方形，pd平面abcd，所以bccd,pdbc,又cdpdd，所以bc平面pcd，所以debc又因为pddc,e为pc中点，所以depc，又pcbcc,所以de平面pbc,又因为de平面bde，所以平面bde平面pbc面面垂直性质定理的应用【例3】如图所示，p是四边形abcd所在平

11、面外的一点，四边形abcd是边长为a的菱形且dab60，侧面pad为正三角形,其所在平面垂直于底面abcd，g为ad的中点求证:（1)bg平面pad;(2）adpb思路探究(1)(2)要证adpb，只需证ad平面pbg即可证明(1)如图，在菱形abcd中，连接bd,由已知dab60，abd为正三角形,g是ad的中点，bgad平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，bg平面pad（2)如图，连接pg。pad是正三角形，g是ad的中点，pgad，由(1)知bgad又pgbgg。ad平面pbg.而pb平面pbg，adpb1平面与平面垂直的性质定理的三个作用(1)证明直线与平面垂直(2)

12、证明直线与直线平行（3)作平面的垂线2应用性质定理证线面垂直的关键一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线,然后证明所找直线与交线垂直3如图所示,四棱锥v。abcd的底面是矩形，侧面vab底面abcd，又vb平面vad求证：平面vbc平面vac证明因为平面vab底面abcd，且bcab，平面vab平面abcdab，所以bc平面vab，所以bcva又vb平面vad，所以vbva,又vbbcb，所以va平面vbc因为va平面vac，所以平面vbc平面vac垂直关系的综合应用探究问题1.如图所示，在四棱锥p。abcd中,底面是边长为a的正方形，侧棱pda，papca,你能证明pd平面abcd吗?提

13、示因为pda，dca，pca，所以pc2pd2dc2，所以pddc同理可证pdad，因为ad平面abcd，dc平面abcd，且addcd，所以pd平面abcd2如图所示，已知圆锥的顶点为s，ab为底面圆o的直径,点d为线段ab上一点，且addb，点c为圆o上一点,且bcac，p为母线sa上的点，其在底面圆o上的正投影为点d，求证：pacd提示连接co（图略），由3addb知，d为ao的中点，又ab为圆o的直径，所以accb，由acbc知,cab60，所以aco为等边三角形，从而cdao.因为点p在圆o所在平面上的正投影为点d，所以pd平面abc，又cd平面abc,所以pdcd,由pdaod得，

14、cd平面pab，又pa平面pab,所以pacd【例4】如图，在四棱锥p。abcd中，侧面pad是正三角形，且与底面abcd垂直，底面abcd是边长为2的菱形，bad60，n是pb的中点，过a，d，n三点的平面交pc于m，e为ad的中点求证：（1)en平面pdc；（2)bc平面peb;（3）平面pbc平面admn。思路探究（1）证明endm；(2)由adbc可证ad平面peb；（3）利用（2)可证pb平面admn.证明(1）因为adbc，bc平面pbc,ad平面pbc，所以ad平面pbc又因为平面admn平面pbcmn，所以admn。又因为bcad，所以mnbc又因为n是pb的中点,所以点m为p

15、c的中点所以mnbc且mnbc，又因为e为ad的中点,所以mnde，且mnde.所以四边形denm为平行四边形所以endm，且en平面pdc，dm平面pdc所以en平面pdc(2)因为四边形abcd是边长为2的菱形，且bad60，所以bead又因为侧面pad是正三角形，且e为ad中点，所以pead，bepee，所以ad平面pbe.又因为adbc，所以bc平面peb（3）由（2）知ad平面pbe,又pb平面pbe，所以adpb又因为paab，n为pb的中点，所以anpb且anada,所以pb平面admn.又因为pb平面pbc所以平面pbc平面admn.线面、面面垂直的综合问题的解题策略（1）重视

16、转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直(2）充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用4如图,在三棱锥p。abc中，paab,pabc，abbc，abbc,d为线段ac的中点，e为线段pc上一点(1)求证：pabd；（2）求证:平面bde平面pac证明（1)因为paab，pabc,abbcb，所以pa平面abc又因为bd平面abc，所以pabd（2)因为abbc，d为ac的中点，所以bda

17、c由(1）知,pabd，又acpaa,所以bd平面pac因为bd平面bde,所以平面bde平面pac知识：1二面角构成二面角的平面角的三要素：“棱上“面内”“垂直，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可2平面与平面垂直的判定定理的应用思路（1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决3垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直

18、，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内;直线必须垂直于它们的交线方法:1求二面角大小的一般方法（1）定义法；(2)垂线法2判定或证明面面垂直的一般方法（1)定义法，即计算二面角的平面角为90；(2)利用面面垂直的判定定理证明1(多选题)下列说法正确的是()a两个相交平面组成的图形称为二面角b异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补c一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为相等或互补d二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系bd由二面角的定义,可知a说法不正确,d说法正确由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a,b的平行线，分析知b正确对于c,如图，平面,两两垂直，过，的交线m作可绕m旋转的半平面，显然二面角.l.的两个半平面，分别垂直于m。的两个半平面,，但二面角。m。的大小无法确定，故c说法不正确故选bd2下列命题中错误的是()a如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内