2020-2021学年数学选择性第一册教案：第1章章末综合提升含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材人教a版选择性必修第一册教案：第1章 章末综合提升含解析巩固层知识整合 提升层题型探究(教师独具)空间向量的线性运算和数量积【例1】(1)如图,已知空间四边形abcd，e，h分别是边ab，ad的中点,f，g分别是边cb，cd上的点，且，。求证：四边形efgh是梯形(2)已知正四面体oabc的棱长为1，如图求：；(）（)；|.思路探究(1)利用向量共线定理证明（2)利用数量积的定义及运算法则进行解（1）证明：e,h分别是边ab，ad的中点，.则（）。（)，且|.又f不在eh上，故四边形efgh是梯形（2）在正四面体oabc中，|1.,60

2、。|cosaob11cos 60。（）()（）()（）（2)2222o12211cos 60211cos 6012211cos 60111111。.1空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求,解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量2空间向量的数量积(1）空间向量的数量积的定义表达式aba|bcos(a，n为锐角)或a，n（a,n为钝角)应注意到线面角为锐角或直角2平面与平面的夹角一定是锐角吗？提示不一定，可以是锐角，也可以是直角【例5】长方体abcd。a1b1c1d1中，a

3、b4，ad6，aa14，m是a1c1的中点，p在线段bc上，且cp2，q是dd1的中点，求：（1）m到直线pq的距离;(2)m到平面ab1p的距离解如图，建立空间直角坐标系b.xyz,则a(4，0,0)，m(2,3，4）,p（0，4，0），q(4,6,2)（1）（2，3,2)，（4，2，2）,在上的射影的模。故m到pq的距离为.（2)设n(x，y,z）是平面ab1p的某一法向量,则n,n，(4,0，4)，(4，4，0)，因此可取n(1,1,1),由于（2，3，4)，那么点m到平面ab1p的距离为d，故m到平面ab1p的距离为.1本例中，把条件“bad120”改为“bad90，且pa1，其它条件

4、不变,求点a到平面pcb的距离解如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0，0),p(0，0，1）,c(1，1,0），b（0,2,0)，(0，0,1)，（0，2，1）,（1，1，0)设平面pbc的法向量为n(x，y，z)，则即。令y1,则x1,z2。n（1,1,2)，a点到平面pcb的距离为d.2在本例条件中加上“pa1”，求直线pa与平面pcb所成角解根据题目所建立的平面直角坐标系可知a（0,0，0),p(0，0,1),c,b(0，2,0),(0,0,1），（0，2,1)，设平面pbc的法向量为m（x,y，z)，令y1，则m（，1，2)，设pa与平面pcb的夹角为,则sin |cosm

5、，45.故直线pa与平面pbc所成的角为45。用向量法求空间角的注意点(1）异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解（2）直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3）平面与平面的夹角：如图，有两个平面与,分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补培优层素养升华【例】如图，在三棱锥p。abc中，abbc2，papbpcac4，o为ac的中点（1)证明：po平面abc；(2)若点m在棱bc上,且二面角m

6、pa-c为30，求pc与平面pam所成角的正弦值思路探究(1)首先利用等腰三角形的性质可得poac，利用勾股定理可证得poob，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果;（2)根据（1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点m（含有参数）的坐标,根据已知条件求得此参数，然后求解即可解（1)证明:因为apcpac4,o为ac的中点，所以opac,且op2.如图,连接ob.因为abbcac，所以abc为等腰直角三角形，且obac,obac2.由op2ob2pb2知poob.由opob，opac，obaco,知po平面abc。(2)如图以o为坐标原点，ob，oc,op分别为x，y,z轴建立空间直角坐标

7、系oxyz。由已知得o(0，0,0)，b(2,0,0），a（0,2，0），c(0，2，0），p(0,0，2），(0,2,2）取平面pac的一个法向量（2，0,0)设m（a，2a,0)(0a2)，则（a，4a，0）设平面pam的法向量为n（x，y，z）由n0,n0得取ya,则za,x(a4)，可得n(（a4)，a,a）为平面pam的一个法向量，所以cos,n.由已知可得cos，n，所以，解得a,所以n。又(0，2,2)，所以cos，n。所以pc与平面pam所成角的正弦值为.利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题,无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹

8、角公式来求解不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时,所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量;求异面直线所成的角时,则只需取两条直线的方向向量即可跟进训练如图,长方体abcd.a1b1c1d1的底面abcd是正方形，点e在棱aa1上，beec1。（1）证明：be平面eb1c1；(2）若aea1e，求二面角b。ecc1的正弦值解（1)证明:由已知得,b1c1平面abb1a1,be平面abb1a1，故b1c1be.又beec1,b1c1ec1c1，所以be平面eb1c1.（2)由（1)知beb190.由题设知rtaberta1b1e，所以aeb45,故aeab，aa12ab。以d为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则c（0，1,0）,b（1，1,0），c1（0，1，2），e（1,0,1）,(1，0，0),(1，1,1），（0，0，2）设平面ebc的法向量为n(x,y，z）,则即所以可取n（0，1，1）设平面ecc1的法向量为m（x1