任务掌握集中趋势-平均指标

1、任务掌握集中趋势-平均指标 任务任务1 1 掌握集中趋势掌握集中趋势- -平均指标平均指标 一、平均指标的概念、特点和作用 概念概念： 数量标志数量标志 在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。 特点：特点： 平均指标是一个代表值，代表总体综合数量平均指标是一个代表值，代表总体综合数量 特征的一般水平。特征的一般水平。 任务掌握集中趋势-平均指标 二、平均指标的种类及计算方法 作用：作用： 1、反映总体各单位变量分布的集中趋势； 2、比较同类现象在不同单位的发展水平，用来说明生 产水平、经济效益或工作质量的差距； 3、分析现象之间的依存关系。 种类：种类

2、： 算术平均数算术平均数 调和平均数调和平均数 几何平均数几何平均数 众数众数 中位数中位数 数值平均数数值平均数 位置平均数位置平均数 任务掌握集中趋势-平均指标 （一）（一）算算 术术 平平 均均 数数 算术平均数 1、算术平均数的基本公式、算术平均数的基本公式 总体标志总量 总体单位总量 = 用此公式计算算术平均数，必须注意分子与分母之 间存在的内在经济联系。即分子是分母所具有的标志 值 强度相对指标和平均指标的区别： 某企业工人平均工资1200元/月； 某城市每万人拥有的零售商业网点数为10个/万人 如： 职工人数 工资总额 平均工资 任务掌握集中趋势-平均指标 （一）（一）算算 术术

3、 平平 均均 数数 2、算术平均数的计算形式、算术平均数的计算形式 （1）简单算术平均数）简单算术平均数： x = xi n 例如：已知5名工人的工资为：600元、780元、1050元、 1100元、900元。根据资料计算五名工人的平均工资： 解：设工人的工资为 “Xi”,i= 1、2、3、4、5，则工人的 平均工资为： )(886 5 90011001050780600 元 n x x i （适用于未分组资料） 任务掌握集中趋势-平均指标 x = xf f （2）加权算术平均数: 适用于分组资料。 计算公式：计算公式： 公式中：公式中：“X” 代表各组变量值 “f ” 代表各组变量值出现的次

4、数或频数 “”为合计符号 根据分组资料计算算术平均数，平均数的大小不仅 受到各组变量值大小的影响，而且受到各个变量值出现 次数多少的影响，因此需用下式计算其平均数： 任务掌握集中趋势-平均指标 =xx f f （2）加权算术平均数: 适用于分组资料 因为各组变量值出现次数的多少对平均数 的形成产生权衡轻重的作用，所以将“f”称 为权数。权数即可以表现为“次数”的形式 ，也可以表现为“比重”的形式。 用“比重”权数计算算术平均数的公式为： 计算公式： 任务掌握集中趋势-平均指标 A A、根据单项式数列计算算术平均数根据单项式数列计算算术平均数 例：某企业工人按日产量分组资料如下： 要求：根据资料

5、计算工人的平均日产量。 日产量（件） 工人人数（人） （x） （f） (f/f)% 15 10 7 16 20 13 17 30 20 18 50 33 19 40 27 合计 150 100 任务掌握集中趋势-平均指标 A A、根据单项式数列计算算术平均数根据单项式数列计算算术平均数 )(176.17 150 2640 150 40195018301720161015 件 f xf x )(176 .17%2719%3318 %2017%1316%715 件 f f xx 解:按第一个公式计算 按第二个公式计算: 任务掌握集中趋势-平均指标 B B、根据组距数列计算算术平均数根据组距数列计算

6、算术平均数 要求：根据资料计算全部职工的平均工资。 例：某企业职工按工资分组资料如下： 工 资 （元） 职工人数（人） x f f/f (%) 400 500 50 16.7 500 600 70 23.3 600 700 120 40.0 700 800 60 20.0 合 计 300 100 任务掌握集中趋势-平均指标 解：计算过程如下解：计算过程如下： 工 资 （元） 组中值 x 职工人数 x f x（f/f） f f/f 400500 500600 600700 700800 450 550 650 750 50 70 120 60 16.7 23.3 40.0 20.0 22500

7、38500 78000 45000 75.15 128.15 260.00 150.00 合 计 300 100 184000 613.3 )(33.613 300 184000 元 f xf x 平均工资平均工资： )(3.613元 f f xx 根据组距数列计算算术平均数根据组距数列计算算术平均数 任务掌握集中趋势-平均指标 两个班组工人生产资料如下：根据资料分别计算两个班组 工人的平均日产量。 一班 二班 日产量 工人数 比重 日产量 工人数 比重 （件） （人） （%） （件） （人） （%） 20 2 10 20 1 5 21 1 5 21 1 5 22 15 75 22 1 5 2

8、3 1 5 23 1 5 24 1 5 24 16 80 合计 20 100 合计 20 100 一班工人平均日产量 二班工人平均日产量 计算得到： f xf x = = 21.9(件) f xf x = = 23.5(件) C C、权数在平均数形成中起的作用、权数在平均数形成中起的作用 任务掌握集中趋势-平均指标 D、权数的选择 当分组的标志为相对数或平均数时，经常会 遇到选择哪一个条件为权数的问题。如下例： 要求：计算全部企业的平均计划完成程度。 计划完成程度 企业数 计划产值 (%) (个) (万元) 80 90 5 50 90 100 10 80 100 110 120 200 110

9、 120 30 70 合 计 165 400 任务掌握集中趋势-平均指标 D、权数的选择 选择权数的原则选择权数的原则: 1、变量与权数的乘积必须有实际经济意义。 2、依据相对数或平均数本身的计算方法来选 择权数。 根据原则本题应选计划产值为权数，计算如下： %25.102%100 400 409 702008050 70%115200%10580%9550%85 x 平均计划完成程度： 任务掌握集中趋势-平均指标 （3）简单算术平均数与加权算术平均数的关系简单算术平均数与加权算术平均数的关系 权数起作用必须有两个条件：权数起作用必须有两个条件： 一是：各组标志值必须有差异。如果各组标志值没有

10、差异 标志值成为常数，也就不存在权数了。 二是：各组的次数或比重必须有差异。如果各组次数或比 重没有差异，意味着各组权数相等，权数成为常数， 则不能起到权衡轻重的作用，这时加权算术平均数 就等于简单算术平均数。 用公式表示二者的关系： n x nf xf f xf x 当：: 321 时 n ffff 任务掌握集中趋势-平均指标 调调 和和 平平 均均 数数 的的 计计 算算 方方 法法 （1）简单调和平均数）简单调和平均数 （2）加权调和平均数）加权调和平均数 （二）（二）调调 和和 平平 均均 数数 调和平均数是各个标志值倒数的算术调和平均数是各个标志值倒数的算术 平均数的倒数，所以又称倒

11、数平均数。平均数的倒数，所以又称倒数平均数。 x n x 1 x m m x 社会经济统计中使用的主要 是权数为特定形式（m=xf) 的加权调和平均数。 加权调和平均数作为加权算术 平均数的变形使用，仍然依据 算术平均数的基本公式计算。 f xf xf x xf 1 任务掌握集中趋势-平均指标 某工业局下属各企业按产值计划完成程度分组资料如下， 根据资料计算该工业局产值平均计划完成程度： 计划完成程度 企业数 实际产值 (%) (个) (万元) 80 90 5 50 90 100 10 80 100 110 120 200 110 120 30 70 合 计 165 400 x x m m =

12、 平均计划完成程度 = 400 394 = 101.52% 例 题 一 组中值 m (%) x x 85 59 95 84 105 190 115 61 394 m 说明：该工业局实际比计划多完成6万元，超额1.52% 完成产值计划任务。 计划产值 任务掌握集中趋势-平均指标 某车间各班组工人劳动生产率和实际产量资料如下： 班组 劳动生产率 实际产量 (件 工时) (件) 一 10 1000 二 12 2400 三 15 4500 四 20 6000 五 30 6000 合计 19900 例 题 二 要求：计算五个班组工人的平均劳动生产率。 xm m x 100 200 300 300 200

13、 1100 解：平均劳动生产率为： )/(18 1100 19900 工时件 x m m x （总工时） 任务掌握集中趋势-平均指标 （三）几何平均数 v计算公式： 1、简单几何平均数公式 2、加权几何平均数公式 n nG xxxX 21 任务掌握集中趋势-平均指标 某工业企业A产品需要经过四道工序，每道工序的合 格率如下，求平均合格率。 v第一道工序的合格率为85 v第二道工序的合格率为93 v第三道工序的合格率为90 v第四道工序的合格率为95% 则平均合格率 %67.90%95%90%93%85 4 G x 任务掌握集中趋势-平均指标 年利率（%）年数 52 66 87 105 合计20

14、 则：平均年本利率 107.6%-100%=7.6% %6 .107%110%108%106%105 205762 ）（）（）（）（ G x 任务掌握集中趋势-平均指标 （四）（四） 众众 数数 众数是现象总体中最普遍出现的标志值。 它反映了现象的一种集中趋势 众众 数数 的的 确确 定定 方方 法法 （1）由单项数列确定众数）由单项数列确定众数数列中出现次数最多的变量值数列中出现次数最多的变量值 就是众数。就是众数。 （2）由组距数列确定众数）由组距数列确定众数步骤步骤：找出众数所在的组找出众数所在的组 根据公式计算众数根据公式计算众数 公式：公式： 下限公式： d 上限公式： d 任务掌握

15、集中趋势-平均指标 某企业职工的工资分布情况如下表，根据资料确 定企业职工工资的众数。 职工工资（元）职工人数（人） 100015008020002500320 25003000150 3000350050 任务掌握集中趋势-平均指标 将总体中各单位的标志值按大小顺序排列， 处于数列中点位置的标志值就是中位数。 中中 位位 数数 的的 计计 算算 方方 法法 （1）根据未分组资）根据未分组资 料计算中位数料计算中位数 步骤：将资料按大小顺序排列将资料按大小顺序排列 计算中位数的位次：计算中位数的位次： + 1 2 n 确定中位数确定中位数(分奇偶项）分奇偶项） （2）

16、根）根 据据 单单 项项 数数 列计算中位数列计算中位数 步骤：计算数列的中间位置点计算数列的中间位置点： f+ 1 2 计算累计次数找出中位数所在的组计算累计次数找出中位数所在的组 确定中位数确定中位数 （五）（五） 中中 位位 数数 任务掌握集中趋势-平均指标 （3）根据组距数列计算中位数）根据组距数列计算中位数 步骤： 计算数列的中间位置点计算数列的中间位置点: 计算累计次数，找出中位数所在的组计算累计次数，找出中位数所在的组 用公式计算中位数用公式计算中位数 2 f 众数和中位数的主要特点：众数和中位数的主要特点：不受极端变量值的影响不受极端变量值的影响 下限公式： 上限公式： Me中

17、位数； L中位数所在组下限； U中位数所在组上限； fm为中位数所在组的次数； 总次数； d中位数所在组的组距； Sm 1中位数所在组以下的累计次数； Sm + 1中位数所在组以上的累计次数。 任务掌握集中趋势-平均指标 例 题 1、某班5名同学的身高分别为170cm、 180cm 、176cm、165cm、172cm,试求中位 数。 2、某兴趣小组8名同学的考试成绩分别为98、 78、89、68、84、65、77、88，试求中位 数。 任务掌握集中趋势-平均指标 例一 某班统计学期末考试成绩如下表，计算中位数 统计成绩人数向上累计向下累计 605550 70101545 75102535 8

18、0204525 905505 合 计50 任务掌握集中趋势-平均指标 例如，根据下表的数据，计算50名工人日加 工零件数的中位数 v 任务掌握集中趋势-平均指标 五、众数、中位数和均值的关系 左偏分布左偏分布 均值均值中位数中位数众数众数 右偏分布右偏分布 众数众数中位数中位数均值均值 对称分布对称分布 均值均值 = 中位数中位数 = 众数众数 任务掌握集中趋势-平均指标 众数、中位数和均值的特点和应用 众众 数数 不受极端值影响 具有不唯一性 据分布偏斜程度较大时应用 中位数中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 均均 值值 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分

19、布时应用 任务掌握集中趋势-平均指标 算术平均数算术平均数 应用最广泛的一种平均数应用最广泛的一种平均数 调和平均数调和平均数 算术平均数的转化形式算术平均数的转化形式 ,这种平均数使用较少。这种平均数使用较少。 而且，它要求每个原数据值都不能为零。而且，它要求每个原数据值都不能为零。 几何平均数几何平均数 用于计算相对数（如比率、速度等）的平均用于计算相对数（如比率、速度等）的平均 数数 中位数中位数 平均数的补充形式，两者都是为避免原数据平均数的补充形式，两者都是为避免原数据 中极端值的影响而采用的方法，都不受每个中极端值的影响而采用的方法，都不受每个 原数据大小的影响，而只受位置和次数的

20、影原数据大小的影响，而只受位置和次数的影 响。响。 众数众数 根据同一资料分别计算和确定五种平均数，得到的结果一般是根据同一资料分别计算和确定五种平均数，得到的结果一般是 不同的。就算术平均数、调和平均数和几何平均数来说，算术不同的。就算术平均数、调和平均数和几何平均数来说，算术 平均数最大，几何平均数其次，调和平均数最小。平均数最大，几何平均数其次，调和平均数最小。 小结： 任务掌握集中趋势-平均指标 v 任务掌握集中趋势-平均指标 任务任务3 3 掌握离中趋势掌握离中趋势-变异指标变异指标 一、一、变异指标的概念及作用变异指标的概念及作用 变异指标变异指标又称又称“标志变动度标志变动度”，

21、综合反映总体，综合反映总体 各各 个单位标志值差异的程度。个单位标志值差异的程度。 变异指标的作用：变异指标的作用： 反映分布的反映分布的离中趋势离中趋势 说明平均指标的说明平均指标的代表性程度代表性程度 说明现象变动的说明现象变动的均匀性或稳定性程度均匀性或稳定性程度 任务掌握集中趋势-平均指标 二、变异指标的种类及计算方法变异指标的种类及计算方法 全距全距平均差平均差标准差标准差变异系数变异系数 （一）全距：最大变量值与最小变量值之差（一）全距：最大变量值与最小变量值之差 优点：计算简便、意义明确优点：计算简便、意义明确 不足：不能全面反映各单位标志值的变异情况不足：不能全面反映各单位标志

22、值的变异情况 任务掌握集中趋势-平均指标 （适用于未分组资料）（适用于未分组资料） （适用于分组资料）（适用于分组资料） 3、计算方法、计算方法 D = n |x-x| f x-xf D = 2、特点：、特点： 根据总体单位所有标志值来计算差异程度根据总体单位所有标志值来计算差异程度 以算术平均数为计算的标准以算术平均数为计算的标准 对离差取绝对值对离差取绝对值 简单平均差公式简单平均差公式：加权平均差公式：加权平均差公式： （二）（二）平平 均均 差差 1、涵义：、涵义： 是总体各单位标志值对算术平均数的是总体各单位标志值对算术平均数的 离差绝对值的算术平均数。离差绝对值的算术平均数。 任务

23、掌握集中趋势-平均指标 甲乙两个班组工人日产量资料如下甲乙两个班组工人日产量资料如下： 甲班甲班 工人日产量（件）：工人日产量（件）： 25 28 30 35 4225 28 30 35 42 乙班工人日产量乙班工人日产量 （件）：（件）： 18 24 32 38 4818 24 32 38 48 要求：计算平均差，比较两个班组工人平均日产要求：计算平均差，比较两个班组工人平均日产 量的代表性。量的代表性。 解：解：1、计算平均日产量、计算平均日产量 甲班甲班：x = n x = 5 160 = 乙班乙班：x = n x = 5 160 = 32（件） 32（件） D = n |x-x| 甲班

24、甲班：= 5.2 (件)乙班：乙班：D = n |x-x| = 8.8 (件) 例例 题题 一一 2、平、平 均均 差差 甲班工人日产量的平均差小于乙班，甲班工人日产量的平均差小于乙班， 甲班工人平均日产量的代表性大于乙班。甲班工人平均日产量的代表性大于乙班。 任务掌握集中趋势-平均指标 （三）（三）标标 准准 差差 1、涵义：、涵义： 2、计算方法：、计算方法： 简单标准差公式简单标准差公式加权标准差公式加权标准差公式 （适用于未分组资料）（适用于未分组资料）（适用于分组资料）（适用于分组资料） 是总体中各单位标志值对算术平均是总体中各单位标志值对算术平均 数离差平方的算术平均数的平方根数离

25、差平方的算术平均数的平方根 计算标准差的简化式计算标准差的简化式 2 2 xx 2 2 n x n x 2 2 f xf f fx 或或 n xx 2 f fxx 2 任务掌握集中趋势-平均指标 例题例题2：根据资料计算工人的平均日产量和标准差根据资料计算工人的平均日产量和标准差： 工人平均日产量工人平均日产量: x = xf f = 74 (件) 工人日产量标准差工人日产量标准差: (x - x) 2 = f f = 11 (件) 日产量日产量 (x) 工人数工人数(f) 55 10 65 24 75 36 85 22 95 8 合计合计 100 xfxx fxx 2 fx 2 550 15

26、60 2700 1870 760 -19 -9 1 11 21 3610 1944 36 2662 3528 11780 30250 101400 202500 158950 72200 565300 7440 按简化式计算按简化式计算： 2 2 f xf f fx = 11（件）（件） 任务掌握集中趋势-平均指标 ( (四四) ) 变变 异异 系系 数数 1、涵义、涵义 是全距、平均差、标准差与算术平是全距、平均差、标准差与算术平 均数的比值。均数的比值。 2、计算方法：、计算方法： 标准差系数标准差系数 V = x 变异系数包括：全距系数、平均差系数变异系数包括：全距系数、平均差系数 、标

27、准差系数、标准差系数 使用最多的是标准差系数。使用最多的是标准差系数。 用相对数形式反映各个变量值与其平均数用相对数形式反映各个变量值与其平均数 的离差程度，其数值表现为系数或百分数。的离差程度，其数值表现为系数或百分数。 任务掌握集中趋势-平均指标 例题例题3：已知甲乙两个班组工人日产资料如下 已知甲乙两个班组工人日产资料如下： 甲 班 乙 班 日产量 工人数 日产量 工人数 （件） （人） （件） （人） 5 6 8 11 7 10 12 14 9 12 14 7 10 8 15 6 13 4 16 2 合计 40 合计 40 要求：比较一下哪个班组工人的平均日要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？产量的代表性高？ 任务掌握集中趋势-平均指标 解题过程如下：解题过程如下： 甲甲 班班 乙乙 班班 日产量 工人数 日产量工人数 5