大学物理竞赛辅导0061(热学部分)

1、大学物理竞赛辅导（热学部分） 一、气体动理论一、气体动理论 (一）、新增要求：一）、新增要求： v分子热运动的平均自由程分子热运动的平均自由程： pd kT 2 2 nkTp v分子热运动的平均碰撞频率分子热运动的平均碰撞频率： nvdz 2 2 M RT v60. 1 例：例： 1、一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运、一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运 动的平均自由程仅决定于动的平均自由程仅决定于 A压强压强 B体积体积 C温度温度D分子的平均碰撞频率分子的平均碰撞频率 pd kT 2 2 nkTp V nd 2 2 1 12、在下列四种情况中，何种将一定能使理想气体分子

2、、在下列四种情况中，何种将一定能使理想气体分子 的平均碰撞频率增大？（的平均碰撞频率增大？（ ） A增大压强增大压强,提高温度；提高温度； B增大压强增大压强,降低温度；降低温度；C降低压降低压 强强,提高温度；提高温度；D降低压强，保持温度不变降低压强，保持温度不变 nvdz 2 2 nkTp M RT v,60. 1 kT p M RT d60. 12 2 nvdz 2 2 T p pd kT 2 2 1/2 2 3、如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原来、如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原来 的一半时，分子的碰撞频率为原值的（的一半时，分子的碰撞频率为原值的（ ），分子的平），

3、分子的平 均自由程程为原值的（均自由程程为原值的（ ）。）。 8、有一个边长为、有一个边长为10cm的立方容器，内盛有标准状态下的立方容器，内盛有标准状态下 的的He气，则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的气，则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的 数量级为（数量级为（ ） （a)1020s-1 （b)1026s-1 （c)1032s-1 a a v 6 1 析：单位时间内一个分析：单位时间内一个分 子与一个器壁碰撞的次子与一个器壁碰撞的次 数：数： 单位时间内所有分子与单位时间内所有分子与 一个器壁碰撞的次数：一个器壁碰撞的次数： 3 6 1 na a v N m s/1049. 7 25

4、 （二）、麦克斯韦气体分子速率分布律（二）、麦克斯韦气体分子速率分布律 vv+dv 面积面积= dNV N f(v) v O 1) 速率分布函数速率分布函数 ： Ndv dN vf)( 表示速率分布在速率表示速率分布在速率 v v 附近单位速率间隔内的附近单位速率间隔内的 分子数占总分子数的比率分子数占总分子数的比率 （相对分子数）。（相对分子数）。 2) 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 此数学表达式适用于平衡态的任何气体此数学表达式适用于平衡态的任何气体 dvve kT m dvvf N dN kT mv 2 22 3 2 ) 2 (4)( 7 理想气体处于平衡态时，根据麦克斯韦速率分

5、布函数理想气体处于平衡态时，根据麦克斯韦速率分布函数 dvve kT m dvvf N dN kT mv 2 22 3 2 ) 2 (4)( ，可导得分子平，可导得分子平 动动能在动动能在 到到 + d 区间的概率为区间的概率为f( )d = 其中其中 2 2 1 mv。 在根据这一分布式，可导得分子平动在根据这一分布式，可导得分子平动 动能的最可几值动能的最可几值 p =kT/2 de kT m m dvve kT m dvvf N dN kT kT mv 23 3 2 22 3 2 2 4 ) 2 (4)( 2 mvdvdmv 2 2 1 kT d df 2 1 0 3) 三种统计速率三种

6、统计速率 （1）最概然速率：反映速率分布的基本特征）最概然速率：反映速率分布的基本特征 。 M RT m kT v p 41. 1 2 f(vp) vp f(v) v O 0 00 )( )( dvvvf N dvvvNf N vdN v （2）平均速率：大量气体分子速率的算术平均值。）平均速率：大量气体分子速率的算术平均值。 反映分子迁移、碰撞的基本特征。反映分子迁移、碰撞的基本特征。 M RT m kT v60. 1 8 m kT dvvfv N dvvNfv N dNv v 3 )( )( 0 2 0 2 0 2 2 （3）方均根速率：与分子的能量有关，用于）方均根速率：与分子的能量有关

7、，用于 讨论气体的压强和温度。讨论气体的压强和温度。 M RT m kT v73. 1 3 2 T f(v) v O vp v 2 v p vvv 2 f(vp3) vp3 T1 T3 T2 温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速率大的分子数越多 2.讨论讨论： 2 ,vvv p T 与与呈正比，呈正比， m 与与 成反比。成反比。 f(v) v O f(vp1) vp1 f(vp2) vp2 例：例： 5、处于平衡态的气体系统中、处于平衡态的气体系统中,分子运动的速率分布律分子运动的速率分布律 可图示为可图示为( );速度分布律可图示为速度分布律可图示为( ).已知已知0C温度下温度下 氮

8、气分子的方均根速率大约为氮气分子的方均根速率大约为493m/s，则该温度下，则该温度下 氧气分子的方均根速率为（氧气分子的方均根速率为（ ）；）；25C下氧分子的方下氧分子的方 均根速率为（均根速率为（ ），），1摩尔氧气的定体热容量为（摩尔氧气的定体热容量为（ ） v O f(v) f(vi) vi O smv M RT v o N N/461 3 2 2 2 22 250C下氧分子的方均根速率为：下氧分子的方均根速率为：482m/s 1摩尔氧气的定体热容量为摩尔氧气的定体热容量为: 5R/2 6、设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，、设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 随着温度的增加将（随

9、着温度的增加将（ ），速率在），速率在 代表代表 平均速率平均速率, p v代表最可几速率，代表最可几速率， v为一固定的速率为一固定的速率 间隔，间隔， 则速率在则速率在 vv 范围内的分子的百分率范围内的分子的百分率 vv p 的分子的百分率随着温度的增加将的分子的百分率随着温度的增加将(不变不变 ） 之间之间 T1 T3 T2 f(v) v O M RT m kT v60. 1 8 vp v 减小减小 Ndv dN ve kT m vf kT mv 2 22 3 2 ) 2 (4)( %8 .10 4 2 2 p p v p v v p v v e v v vvf N N 代入 M RT

10、 m kT v p 41. 1 2 M RT m kT v60. 1 8 pp vvvv13. 0 17、已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图，、已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图， 试在图上定性画出相同温度下氢气分子的速率分布试在图上定性画出相同温度下氢气分子的速率分布 曲线曲线 H2 N2 f(v) v O 2 22 3 2 ) 2 (4)(ve kT m vf kT mv 2 1 2 4 )( kT m e vf p （三）热传导率（三）热传导率 设设x轴是气体温度变化最大的方向，该方向上气体温轴是气体温度变化最大的方向，该方向上气体温 度的空间变化率度的空间变化率-温度梯度：温度

11、梯度： dx dT 设设S为垂直为垂直x轴的某指定平面的面积，则单位时间内轴的某指定平面的面积，则单位时间内 从温度较高的一侧，通过这一平面，向温度较低一侧从温度较高的一侧，通过这一平面，向温度较低一侧 所传递的热量，与这平面所在处的温度梯度成正比，所传递的热量，与这平面所在处的温度梯度成正比， 与面积成正比与面积成正比 S dx dT k t Q k为热传导率或导热系数为热传导率或导热系数 25-16 在两端绝热封顶，半径在两端绝热封顶，半径R2=7.5cm的长容器筒内，同的长容器筒内，同 轴的固定着半径轴的固定着半径R1=5cm的长铀棒，两者之间夹着一的长铀棒，两者之间夹着一 层空气。铀因

12、裂变在单位时间、单位体积内产生的热层空气。铀因裂变在单位时间、单位体积内产生的热 量为量为 Q=5.5 103W/(m3s)，热传导率，热传导率Ku=46W/(m K)， 空气的传导率空气的传导率KA=46W/(m K)。设整个装置与周围环。设整个装置与周围环 境间已处于热平衡状态，筒壁与环境温度同为境间已处于热平衡状态，筒壁与环境温度同为 T2=300K。 （1）计算单位时间、单位长度铀棒因裂变产生的热）计算单位时间、单位长度铀棒因裂变产生的热 量量Q；（；（2）计算铀棒外表面温度）计算铀棒外表面温度T1；（；（3）计算铀棒）计算铀棒 中央轴处温度中央轴处温度T0；（；（4）计算筒内）计算筒

13、内R1处空气密度处空气密度 1与与 R2处空气密度处空气密度 2间的比值间的比值 （1）计算单位时间、单位长度铀棒因裂变产生的热）计算单位时间、单位长度铀棒因裂变产生的热 量量Q： JRQ Q 2 .4305. 0105 . 5 2 32 1 （2）计算铀棒外表面温度）计算铀棒外表面温度T1 热平衡时，单位时间通过该空气柱面热平衡时，单位时间通过该空气柱面(r)向外向外所传所传 递的热量：递的热量： K R R k Q TT r dr k Q dT Qr dr dT k QS dr dT k t Q A R RA T T A A 624ln 2 2 2 1 2 21 2 1 2 1 R1,T1

14、 R2,T2 r R1,T1 R2,T2 r (3)在铀棒内部取一单位在铀棒内部取一单位 长度同轴柱面，热平衡长度同轴柱面，热平衡 时，单位时间铀棒通过时，单位时间铀棒通过 该面向外该面向外所传递的热量：所传递的热量： K k R TT rdr k dT rr dr dT k QS dr dT k t Q u Q R u Q T T Q u 07.624 4 2 2 2 1 10 0 2 11 0 （4）计算筒内）计算筒内R1处空气密度处空气密度 1与与R2处空气密度处空气密度 2间间 的比值的比值 热平衡时压强同，热平衡时压强同，P=nkT=常量常量 所以所以 481. 0 1 2 2 1

15、2211 T T TT （四）能量按自由度均分定理（四）能量按自由度均分定理 气体处于温度为气体处于温度为T的平衡态时，分子任何一个自由的平衡态时，分子任何一个自由 度的平均动能都相等，均为度的平均动能都相等，均为kT 2 1 理想气体的内能：理想气体的内能： 所有分子动能与分子内原子间势能的总和所有分子动能与分子内原子间势能的总和 气体的内能：气体的内能： 所有分子相对质心参照系的动能与分子间相互作用所有分子相对质心参照系的动能与分子间相互作用 势能的总和势能的总和 kTEk 2 3 kTEk 2 3 kTEk 2 3 kTEk 2 3 kTEk 2 3 RT M m E 2 3 kTEk

16、2 5 kTEk 2 5 RT M m E 2 5 kTEk 2 6 kTEk 2 7 RT M m E 2 7 分子平分子平 均能量均能量 分子的平均分子的平均 平动动能平动动能 分子的平分子的平 均动能均动能 理想气体理想气体 的内能的内能 单原子单原子 分子分子 双原子分双原子分 子（刚性）子（刚性） 双原子分双原子分 子（弹性）子（弹性） 例：例： 11、一个大气压下、一个大气压下270C时空气分子的平均动能是时空气分子的平均动能是 ： 10、在常温下，氦气的定压摩尔热容是、在常温下，氦气的定压摩尔热容是 A B R C D 2R E 2 R 2 3R 2 5R JkT 20 1004

17、. 1 2 5 二、热力学理论二、热力学理论 （一）可逆过程：无摩擦的准静态过程（一）可逆过程：无摩擦的准静态过程 如果一个系统如果一个系统p进行后，存在另一个过程进行后，存在另一个过程q，可以使，可以使 原过程反方向进行，使系统和外界都恢复到原来的状态原过程反方向进行，使系统和外界都恢复到原来的状态 而不留下任何影响，那么原来的过程称为可逆过程。反而不留下任何影响，那么原来的过程称为可逆过程。反 之称为不可逆过程。之称为不可逆过程。 例：例： 一个系统经历的过程是不可逆的，就是说，该系统不可能一个系统经历的过程是不可逆的，就是说，该系统不可能 再回到原来的状态。再回到原来的状态。 （二）准静

18、态过程（二）准静态过程 无限缓慢进行的过程，有一系列依次接替的平衡态组成无限缓慢进行的过程，有一系列依次接替的平衡态组成 的过程，可以系统状态图上一条曲线表示的过程，可以系统状态图上一条曲线表示-过程曲线过程曲线 四个等值过程：四个等值过程： CTPCTVCPV CPVCT C T V CP C T p CV 11 , ; ; ; 绝热； （三（三)热力学第一定律热力学第一定律 WEQ 适用于两平衡态间任意系统的任意过程适用于两平衡态间任意系统的任意过程 例：例： 12、一定的理想气体从体积、一定的理想气体从体积V的初状态，变到体积为的初状态，变到体积为 2V的末状态，则不论经历什么过程，系统

19、必然对外做的末状态，则不论经历什么过程，系统必然对外做 正功。正功。 W=0 X 理想气体理想气体 自由膨胀自由膨胀 13、隔板、隔板C把绝热材料包裹的容器分为把绝热材料包裹的容器分为A、B两部分。如两部分。如 图所示，图所示，A室充以真实气体，室充以真实气体，B室为真空。现将室为真空。现将C打开，打开， A室气体充满整个容器，在此过程中，内能应（室气体充满整个容器，在此过程中，内能应（ ） ACB 不变不变绝热自由膨胀绝热自由膨胀 00, 0EWQ 14、用一、用一不导热不导热的活塞，把气室分成的活塞，把气室分成A、B两部分，内两部分，内 有理想气体。活塞和气室间无摩擦。开始时有理想气体。活

20、塞和气室间无摩擦。开始时tA=270C， tB=370C，活塞最终达平衡状态。现将活塞固定，同时使，活塞最终达平衡状态。现将活塞固定，同时使 A、B的温度各升高的温度各升高100C，然后撤去对活塞的固定，活塞，然后撤去对活塞的固定，活塞 将向（将向（ B）侧运动。（）侧运动。（9） AB AB 初始条件初始条件: BABA ppKTKT;310;300 末态末态:KTKT BA 320;310 保持不变保持不变； BA vv BB B B B B AA A A A A pp T p T p pp T p T p 310 320 300 310 960 961 B A p p 活塞将向（活塞将向

21、（ B）侧运动。）侧运动。 15、摩尔质量为、摩尔质量为 、摩尔数为、摩尔数为 的单原子理想气体进的单原子理想气体进 行了一次行了一次x过程，在过程，在p-V图上过程曲线向下平移图上过程曲线向下平移P0后，后， 恰好与温度为恰好与温度为T0的等温曲线重合，则的等温曲线重合，则x过程的过程方过程的过程方 程（程（V-T关系式）为（关系式）为（ ），），x 过程的比热过程的比热c与压强的与压强的 关系为关系为c（ ） P V P0 T0 P0 2 3 0 0 0 p pR c TT p R V x P V P0 T0 P0 x A B 解解(1)设设A态气体的状态态气体的状态 方程是方程是: 0

22、0 00 TT p R V RTVpp RTpV (2)比热比热 dTdm dQ c 设在设在x过程中有一微小变化过程中有一微小变化 微小过程的过程方程：微小过程的过程方程：dT p R dV 0 P V P0 T0 P0 x A B 利用热力学第一定律利用热力学第一定律 RdTpdV dEdWdQ 2 3 (2)比热比热 2 31 1 0 p pR dT dQ dT dQ M c 17、图中、图中MN为某理想气体的绝热过程曲线，为某理想气体的绝热过程曲线， ABC是是 任意过程，箭头表示过程进行的方向。任意过程，箭头表示过程进行的方向。ABC过程结束过程结束 后气体的温度（增加、减小或不变）

23、（后气体的温度（增加、减小或不变）（ ）；气体所吸）；气体所吸 收的热量为（正、负或零）（收的热量为（正、负或零）（ ）。 P V A B M N C 减小减小 负负 解解:(1)MN绝热过程绝热过程Q=0 A经经MN到达到达C,W0 内能降低内能降低,TCTA (2)设一循环过程设一循环过程 ABCNM:W0,QNM=0 QABC0 28、一绝热容器被一活塞分隔成两部分，其中分别充有一、一绝热容器被一活塞分隔成两部分，其中分别充有一 摩尔的氦气和氮气，设初始时摩尔的氦气和氮气，设初始时He的压强为的压强为2atm，温度为，温度为 400K，N2的压强为的压强为1atm，温度为，温度为300K

24、。由于两则压力不。由于两则压力不 等，活塞将在容器内滑动。假定活塞是导热的，摩擦可以等，活塞将在容器内滑动。假定活塞是导热的，摩擦可以 互略不计，互略不计，He和和N2均可视为刚性分子理想气体，求最终均可视为刚性分子理想气体，求最终 达到平衡时达到平衡时He的压强和温度（的压强和温度（2） T=337.5k;P=1.35atm He N2 He N2 解解:系统系统总内能总内能不变不变;总体积总体积不变不变 初态初态: 末态末态:p,T相同相同 molnKTatmpN molnKTatmpHe 1,300,1: 1,400,2: 2222 111 内能不变内能不变0 2211 TTCTTC V

25、V T=337.5k 体积不变体积不变 p RTnn p RTn p RTn 21 2 22 1 11 P=1.35atm 29、一气缸的初始体积为、一气缸的初始体积为30.5l，内盛空气和少量水，内盛空气和少量水 （水的体积可略），总压强为（水的体积可略），总压强为3atm.作等温膨胀时体作等温膨胀时体 积加倍，水恰好全部消失，此时压强为积加倍，水恰好全部消失，此时压强为2atm。继续。继续 等温膨胀，使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理等温膨胀，使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理 想气体。试求（想气体。试求（1）气体的温度；（）气体的温度；（2）最后的压强；）最后的压强； （3）水和空气

26、的摩尔数。）水和空气的摩尔数。 T0=100k, p3=1atm, n1=n2=2mol 解解: 初态初态 中间态中间态 末态末态 atmpppTlV3,5 .30 1101 饱和空气总 atmpppTVV2,2 22012 饱和空气总 3013 ,4pTVV (1)初态到中间态初态到中间态: 对空气应用等温过程方程对空气应用等温过程方程 饱和总 饱和总 ppp VpVp ppp 22 2211 11 )373(1 0 KTatmp 饱和 (2)从中间态到末态从中间态到末态 对混合气体应用等温过程方程对混合气体应用等温过程方程3322 VpVp 总 atmp1 3 （3）将状态方程用于初态的空

27、气：）将状态方程用于初态的空气： 饱和总空气空气 pppRTnVp 110111 moln2 1 02133 RTnnVp moln2 2 水的摩尔数：水的摩尔数： 30、有、有n摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程， 图中是图中是P0,V0是已知量，是已知量，ab是直线，求：是直线，求： （1）气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量。）气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量。 （2）在该过程中温度最高值是什么？最低值是什么？）在该过程中温度最高值是什么？最低值是什么？ 并在并在P-V图上指出其位置。图上指出其位置。 P V a(3P0,V

28、0) b(P0,3V0) W=Q=4 P0V0 (2P0,2V0)温度最高温度最高 a或或b温度最低温度最低 nR VP 00 4 nR VP 00 3 P V a(3P0,V0) b(P0,3V0) 解：解：n摩尔，摩尔，P0,V0 （1）由图知）由图知 babbaa TTVpVp 由图线下面积知由图线下面积知 00 4VpSW 由热一律，气体在该过程中吸收的热量：由热一律，气体在该过程中吸收的热量： 00 4VpWUQ P V a(3P0,V0) b(P0,3V0) （2）由图知，）由图知，ab过程过程 方程：方程： 0 0 0 4pV V p p nR Vp V nRV p T nRTp

29、V 0 2 0 0 4 0 dV dT 00 22ppVV 过程方程 0 2 0 0 2 2 nRV p dV Td 为温度极大值点 00 2 ,2Vp P V a(3P0,V0) b(P0,3V0) a或或b温度最低温度最低 nR VP nR pV T 00 min 3 31、2摩尔单原子理想气体从初态经历一热容量摩尔单原子理想气体从初态经历一热容量c2R（1 0.01T）的准静态过程，到达温度为初态温度的）的准静态过程，到达温度为初态温度的2倍、体倍、体 积为初态体积的积为初态体积的 倍的终态。试求内能增量倍的终态。试求内能增量 E及系统对及系统对 外所作的功外所作的功A 2 JW JE

30、kT 621 1728 3 .69 0 解：热容量解：热容量 dTTRdQ TR dT dQ C 01. 012 01. 012 （1） 由热一律由热一律 V nRT p RC pdVdTnCdWdEdQ V V 2 3 （2） V dV T dT dT 2 01. 0 （1）从初态到末态积分）从初态到末态积分 0 0 0 0 0 0 222 2 01. 0 V V T T T T V dV T dT dT KT2 .69 0 （2）从初态到末态内能增量）从初态到末态内能增量 JTTnCE V 17282 00 （3）从初态到末态吸收的热量）从初态到末态吸收的热量 2 00 22 03. 02

31、01. 012 0 0 0 0 RTRTdTTRCdTQ T T T T 系统对外做功：系统对外做功： JEQW621 33、某、某单原子单原子理想气体经历的一准静态过程中，压强理想气体经历的一准静态过程中，压强 p和温度和温度T成反比例关系。（成反比例关系。（1）试求此过程中该气体）试求此过程中该气体 的摩尔热容量的摩尔热容量C；（；（2）设此过程中某一状态的压强为）设此过程中某一状态的压强为 p0，体积为，体积为V0，试求在体积从，试求在体积从V0增到增到2V0的一般过程的一般过程 中气体对外做功量中气体对外做功量W 。 00 122; 2 7 VPWRC 解解（1）依题意，过程方程可表述

32、为：）依题意，过程方程可表述为： T p （2）状态方程）状态方程 nRTpV （3）由热一律）由热一律pdVdTnCdWdEdQ V 2 )2)(1 (RT n V RTdT n dV 2 nRdT RdTnpRTdT n dQ 2 7 2 3 2 RCV 2 7 (4)系统对外做的功系统对外做的功 nRdTpdVdW2 2 RT n V 由过程方程由过程方程 0 2 0 2 0 0 2 2 TT T V T V 00 0 2 122 1222 0 0 Vp nRTnRdTdWW T T 5-3-11（p140） 水平放置的水平放置的绝热气缸绝热气缸内有一内有一不导热不导热的隔板，把气缸分的

33、隔板，把气缸分 成成A，B两室，隔板可在气缸内无摩擦的平移，如图两室，隔板可在气缸内无摩擦的平移，如图 所示，每室中容有质量相同的同种单原子理想气体，所示，每室中容有质量相同的同种单原子理想气体， 它们的压强都是它们的压强都是P0,体积都是体积都是V0,温度都是温度都是T0。今通过。今通过A 室中的电热丝室中的电热丝T对气体加热，传给气体的热量为对气体加热，传给气体的热量为Q， 达到平衡时达到平衡时A室的体积恰为室的体积恰为B室的两倍，试求室的两倍，试求A、B两两 室种气体的温度。室种气体的温度。 A BT 隔板隔板 00 00 0 00 00 0 3 9 4 3 9 2 VPQ VP T T

34、 VPQ VP T T B A A BT 隔板隔板 ; 2 3 ; 21 RCnn V 解：解： 初态：初态：QTVp, 000 末态：末态： BABA VVpp2, （1）由状态方程）由状态方程 000 000 3 2 ; 3 4 2 2 2 VVVVVVV VV pp TTnRTVp nRTVp nRTVp BABA BA BA BABBB AAA A BT 隔板隔板 （2）对）对A，B组成的组成的 系统应用热一律系统应用热一律 0 0 00 00 23 2 3 TT T Vp TTnCTTnCEQ B BVAV 00 00 0 00 00 0 3 9 4 3 9 2 VPQ VP T T

35、 VPQ VP T T B A 三、热一律与循环效率的计算三、热一律与循环效率的计算 36、某气体系统在、某气体系统在p V图上的一条循环曲线如图所示，试图上的一条循环曲线如图所示，试 求证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量求证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量 (12) 例例 P V P V 反证法：反证法： 设循环过程中摩尔热容设循环过程中摩尔热容 量是常量量是常量C，则循环过，则循环过 程中吸收的热量：程中吸收的热量： 0 dTCdQQ V 循环后系统恢复原态，其内能增量：循环后系统恢复原态，其内能增量： 0U 但系统对外做功不为零，与热一律矛盾但系统对外做功不为

36、零，与热一律矛盾 25-6 四个恒温热源的温度之间关系为四个恒温热源的温度之间关系为T1= 8 一个平均输出功率为一个平均输出功率为50MW的发电厂，热机循环的的发电厂，热机循环的 高温热源温度为高温热源温度为T1=1000K,地温热源温度地温热源温度T2=300K，理，理 论上热机的最高效率为论上热机的最高效率为。如果该厂只能达到。如果该厂只能达到 这个效率的这个效率的70%，为了产生，为了产生50MW的电功率，美妙需的电功率，美妙需 要消耗要消耗 J的热量。的热量。 MW 0.49 50 %49 W Q %70 %;701 1 2 ； 吸热 Q W T T 0 V P 0 T 0 3T (

37、等温线）等温线） (等温线）等温线） 0 V 0 3V 14-22设想某种双原子分子理想气体，在温度低于设想某种双原子分子理想气体，在温度低于2T时时 等体摩尔热容量为等体摩尔热容量为 ，在温度高于时，等体摩尔热，在温度高于时，等体摩尔热 容量增至容量增至 。该气体所经历热循环过程如图所示，。该气体所经历热循环过程如图所示， 试求循环效率试求循环效率. R 2 5 R 2 7 A B C D 0 V P 0 T 0 3T (等温线）等温线） (等温线）等温线） 0 V 0 3V A B C D 解解:首先判断吸热和放热过首先判断吸热和放热过 程程: 吸热吸热:AB,BC 放热放热:CD,AD

38、08 2 5 3 2 7 0 00 12 RT TRTR TCTCQ AVBVAB 吸热吸热 03ln3ln3 00 RT V V TRWQ B C BCBC 吸热吸热 0 V P 0 T 0 3T (等温线）等温线） (等温线）等温线） 0 V 0 3V A B C D 08 3 2 7 2 5 0 00 21 RT TRTR TCTCQ CVDVAB 放热放热 03ln3 ln3 0 0 RT V V TRWQ D A DADA 放热放热 3ln8 01 RTQQQ BCAB 总吸热总吸热 总放热总放热3ln38 02 RTQQQ DACD 0 V P 0 T 0 3T (等温线）等温线）

39、 (等温线）等温线） 0 V 0 3V A B C D 循环效率循环效率: %5 .191 1 2 Q Q 5-3-20 P-V坐标面上，坐标面上，单原子分子单原子分子理想气体的两条等压线和两条等体线理想气体的两条等压线和两条等体线 围成的矩形围成的矩形ABCD如图所示。状态如图所示。状态B的温度是状态的温度是状态D的温度的的温度的4倍，倍， 状态状态A与状态与状态C的温度相同，过的温度相同，过A、C的等温线已在图中画出。将的等温线已在图中画出。将 循环过程循环过程ABCA、ACDA的效率分别记为的效率分别记为 1和和 2 ，试求：，试求： 1和和 2 的比值的比值 0 V P A B C D

40、 V1 V2 917. 0 2 1 T3 T1 T2 T2 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 解：解： 13 4, 2 3 , 2 5 TTRCRC Vp 由状态方程：由状态方程： 111 221 322 212 : : : : RTVpD RTVpC RTVpB RTVpA )4( 13 2 3 1 2 1 2 TT T T T T V V 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 2,2 1 2 12 V V TT 循环循环ABCA: 05 123 RTTTCQ pAB 03 132 RTTTCQ VBC 02ln2ln 1 2 1 2

41、RT V V RTWQCA 效率：效率： 2ln1 5 2 1 1 AB CABC Q QQ 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 2,2 1 2 12 V V TT 循环循环ACDA: 0 2 3 112 RTTTCQ VDA 02ln2ln 1 1 2 2 RT V V RTQAC 效率：效率： 32ln4 12ln22 1 2 DAAC CD QQ Q 0 2 5 121 RTTTCQ pCD 0 V P A B C D V1 V2 T3 T1 T2 T2 917. 0 2 1 37、1mol单原子理想气体从初态单原子理想气体从初态p032Pa压强，体积压强，体

42、积 V08m3经经pV图上的直线过程到达终态压强图上的直线过程到达终态压强p1 1Pa，体积，体积V164m3；再经绝热过程回到初态，如此；再经绝热过程回到初态，如此 构成一循环。求此循构成一循环。求此循 环的效率（环的效率（7） P V a c b 52% P V a c b 解：解： paVpapmVPap64,1,8,32 11 3 00 （1）求吸热放热的转折点）求吸热放热的转折点C pdVdT R dQ 2 3 0 设直线的过程方程：设直线的过程方程： Vp 直线上任一点：直线上任一点： RTpV 2 1 VV R T P V a c b 对某一微小过程：对某一微小过程： VdVdV

43、 R dT 2 1 代入热一律：代入热一律： dVVdQ 4 2 5 若该过程在若该过程在C点附近：点附近： 0dQ 8 5 C V 8 3 C Vp p P V a c b 由由a，b两点坐标两点坐标 papa 56 31 ; 7 255 3 1 .41,7 .13mVpap CC （2）效率）效率 0WEQAC 0WEQCB %521 AC CB Q Q 38、等容热容量等容热容量为常量的某理想气体的两个循环过程为常量的某理想气体的两个循环过程 曲线如图所示曲线如图所示,图中的两条斜直线均过图中的两条斜直线均过p V坐标面的原坐标面的原 点点O,其余各直线或与其余各直线或与p轴平行或与轴平

44、行或与V轴平行。试证：这轴平行。试证：这 两个循环过程的效率相等两个循环过程的效率相等.(11) P V o A B C E F G P V o A B C E F G 解解（1） 计算计算ABCA循环效率循环效率 判断吸热、放热判断吸热、放热 AB:吸热；吸热；BC:放热；放热； CA：放热：放热 吸热：吸热： Vkp RTpV WEQQ AB AB 1 22 1 2 1 AB V ABAB VV R C kQQ P V o A B C E F G 循环过程系统对外做功：循环过程系统对外做功： 2 2 2 1 AB ABAB VV k VVppW ABCA效率：效率： AB V AB VV

45、R C VV Q W 1 2 1 P V o A B C E F G , , 与斜率无关 有关、只与 V AB AB C VV VV ABCA和和GEFG循环循环CV 相同相同, GE GE AB AB VV VV VV VV 所以这两个循环过程的效率相等所以这两个循环过程的效率相等 32、某理想气体经历的正循环过程、某理想气体经历的正循环过程 ABCDA和正循环和正循环 过程过程AEFGA如图所示，有关特征态的状态参量在图如图所示，有关特征态的状态参量在图 中已经给出，各自效率分别记为中已经给出，各自效率分别记为 1和和 2， 试试 证：证： 2 ： 1 =4：3（15） A P V o B

46、C D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 A P V o BC D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 解：设理想气体的摩尔解：设理想气体的摩尔 数为数为n,态态A温度温度T0, （1）根据状态方程：）根据状态方程： nRTpV 000 00 7;3;2 ;4;2 TTTTTT TTTT FED CB （2）ABCDA循环效率循环效率 0001 01 2 nRTVpW TCCnQQQ pVBCAB A P V o BC D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 ABCDA循环效率：循环效率： pV CC R Q W 2 1 1 1 （

47、3）AEFGA循环效率循环效率 0001 01 3 8 3 4 2 22 nRTVpW TCCnQQQ pVEFAE AEFGA循环效率循环效率 pV CC R Q W 23 4 1 1 2 A P V o BC D E F G V02V07/3V0 P0 2P0 3P0 所以所以 3 4 1 2 四热力学第二定律四热力学第二定律 A. 克劳修斯表述：克劳修斯表述： B. 开耳文表述：开耳文表述： 不可能把热量从低温物体传到高温物体，而不产生不可能把热量从低温物体传到高温物体，而不产生 任何影响任何影响 不可能制成一种循环工作的热机，只从单一热源不可能制成一种循环工作的热机，只从单一热源 吸热

48、全部变为有用功而不产生任何影响吸热全部变为有用功而不产生任何影响 25、热力学第二定律的开尔文表述为、热力学第二定律的开尔文表述为 ；热力学；热力学 第二定律的克劳修斯表述为第二定律的克劳修斯表述为 。(19,25) 例例 22、从单一热源吸收热量并将其完全用来对外做功，、从单一热源吸收热量并将其完全用来对外做功， 是不违反热力学第二定律的，例如是不违反热力学第二定律的，例如 过程就是这种过程就是这种 情况（情况（2） 等温等温 24、假设循环由等温过程、假设循环由等温过程 和 绝 热 过 程 组 成 （ 如和 绝 热 过 程 组 成 （ 如 图），图）， 可以认为（可以认为（ ）(4) （a

49、）此循环过程违反）此循环过程违反 热力学第一定律热力学第一定律 （b）此循环过程违反）此循环过程违反 热力学第二定律热力学第二定律 （c）此循环过程既违）此循环过程既违 反热力学第一定律，又反热力学第一定律，又 违反热力学第二定律违反热力学第二定律 1 2 a b V 0 P 24-图图 C熵增原理熵增原理 在孤立系中进行的自然过程总是沿着熵增大的方向在孤立系中进行的自然过程总是沿着熵增大的方向 进行，它是不可逆的。平衡态相当于熵的最大状态进行，它是不可逆的。平衡态相当于熵的最大状态 （2）孤立系可逆过程熵不变）孤立系可逆过程熵不变 0s （1）孤立系不可逆过程熵增加）孤立系不可逆过程熵增加 0s (3)熵熵S是系统的状态函数是系统的状态函数 WKSln 玻耳兹曼关系式玻耳兹曼关系式 26、热力学系统处于某一宏观态时，将它的熵记为、热力学系统处于某一宏观态时，将它的熵记为S， 该宏观态包含的微观态个数记为该宏观态包含的微观态个数记为 W，玻耳兹曼假设二，玻耳兹曼假设二 者间的关系为者间的关系为 。一个系统从平衡态。一个系统从平衡态 A经平衡过经平衡过 程到达平衡态程到达平衡态B，状态，状态A的熵的熵SA与状态与状态B的熵的熵SB之间的之间的 关系为关系为 。(19) WKSln0S （4）熵的计算：）熵的计算： 任意系统