第2章工业机器人运动学2013

1、 2.1 工业机器人位姿描述工业机器人位姿描述 第2章 工业机器人运动学 1. 1. 点的位置描述点的位置描述 图图2-12-1点的位置描述点的位置描述 其中其中, px、 py、pz是点是点P的三个位置坐标分量。的三个位置坐标分量。 (2.1) 如图如图2-1所示所示,在直角坐标系在直角坐标系 A中中,空间任一点空间任一点P的的位置位置可用可用 (31)的位置矢量的位置矢量AP表示为表示为 第2章 工业机器人运动学 2. 2. 点的齐次坐标点的齐次坐标 齐次坐标并不是惟一的齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个当列阵的每一项分别乘以一个 非零因子非零因子时时, 即即 (2.2)

2、如用四个数组成的如用四个数组成的(41)列阵表示三维空间直角坐标系列阵表示三维空间直角坐标系 A中点中点P, 则该列阵称为三维空间点则该列阵称为三维空间点P的的齐次坐标齐次坐标, 如下如下: 第2章 工业机器人运动学 (2.3) 其中其中:a=px, b=py, c=pz。该列阵也表示。该列阵也表示P点点,齐次齐次 坐标的表示不是惟一的。坐标的表示不是惟一的。 第2章 工业机器人运动学 3. 坐标轴方向的描述坐标轴方向的描述 列阵列阵a b c T中第四个元素不为零中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。则表示空间某点的位置。 规定规定: 列阵列阵a b c 0T中第四个元素为零中第四个元

3、素为零, 且且a2+b2+c2=1, 表示某轴表示某轴(或某矢量或某矢量)的方向的方向; 图图2-2坐标轴方向的描述坐标轴方向的描述 如图，用如图，用i、j、k来表示直角坐标系中来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴坐标轴 的单位向量的单位向量, 用齐次坐标来描述用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向轴的方向, 则有则有 第2章 工业机器人运动学 例如例如, 在图在图2-2中中, 矢量矢量v的方向用的方向用(41)列阵表示为列阵表示为 其中其中: a=cos, b=cos, c=cos。 当当=60, =60, =45时时, 矢量为矢量为 第2章 工业机器人运动学 4. 4. 动坐标系位姿的描述动坐标

4、系位姿的描述 动坐标系位姿的描述就是动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位用位姿矩阵对动坐标系原点位 置和坐标系各坐标轴方向的描述置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为该位姿矩阵为(44)的方的方 阵。如上述直角坐标系可描述为阵。如上述直角坐标系可描述为: (2.4) 第2章 工业机器人运动学 5. 刚体位姿的描述刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体若给定了刚体 上某一点的位置和该刚体在空中的姿态上某一点的位置和该刚体在空中的姿态, 则这个刚体在空间则这个刚体在空间 上是唯一确定的上是唯一确定的, 可用唯一一个位姿矩

5、阵进行描述。可用唯一一个位姿矩阵进行描述。 图图 2-3 刚体的位置和姿态描述刚体的位置和姿态描述 如图如图2-3所示所示, 设设OXYZ为与刚体为与刚体Q固连的一个坐标系固连的一个坐标系, 称为动坐标系。称为动坐标系。 刚体刚体Q在固定坐标系在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐中的位置可用齐 次坐标形式表示为次坐标形式表示为: 第2章 工业机器人运动学 令令n、o、a分别为分别为X、 Y、 Z坐标轴的单位方向矢量坐标轴的单位方向矢量, 即即 刚体的位姿表示为刚体的位姿表示为(44)矩阵矩阵: 第2章 工业机器人运动学 例例1 如图表示连于刚体的坐标系如图表示连于刚体的坐标系B位于位于OB点，点

6、，xb=10， yb=5，zb=0。ZB轴与画面垂直，坐标系轴与画面垂直，坐标系B相对固定坐标系相对固定坐标系 A有一个有一个30的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系B的的 （44）矩阵表达式。）矩阵表达式。 OA YA XA OB YB XB A B 30 (xb,yb,zb) 解：解：XB的方向阵列：的方向阵列：n=cos30 cos60 cos90 0T=0.866 0.500 0.000 0T YB的方向阵列：的方向阵列：o=cos120 cos30 cos90 0T=-0.500 0.866 0.000 0T ZB的方向阵列：的方向阵列：a=0.000

7、 0.000 1.000 0T 坐标系坐标系B的位置列阵：的位置列阵：p=10.0 5.0 0.0 1T 所以坐标系所以坐标系B的（的（44）矩阵表达式为：）矩阵表达式为： 第2章 工业机器人运动学 6. 手部位姿的描述手部位姿的描述 机器人手部的位姿如图机器人手部的位姿如图2-4所示所示, 可用固连于手部的坐标系可用固连于手部的坐标系B的位的位 姿来表示。坐标系姿来表示。坐标系B由原点位置和三个单位矢量惟一确定由原点位置和三个单位矢量惟一确定, 即即: 图图 2-4 机器人手部的位置和姿态描述机器人手部的位置和姿态描述 (1) 原点原点: 取手部中取手部中 心点为原点心点为原点OB; (2)

8、 接近矢量接近矢量: 关节关节 轴方向的单位矢量轴方向的单位矢量 a ; (3) 姿态矢量姿态矢量: 手指手指 连线方向的单位矢连线方向的单位矢 量量o ; (4) 法向矢量法向矢量: n为为 法向单位矢量法向单位矢量, 同同 时垂直于时垂直于a、o矢量矢量, 即即n=oa。 第2章 工业机器人运动学 手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系B原 点的矢量p p,手部的方向矢量为n n、o o、a a。手部的位姿可由(44)矩阵表 示: (2.5) 第2章 工业机器人运动学 例例2 图表示手部抓握物体图表示手部抓握物体Q，物体为边长，物体为边长2个单位的正立方体，个单位的正立方

9、体， 写出表达该手部位姿的矩阵式。写出表达该手部位姿的矩阵式。 X Z Y Y X Z o a n Q O 解：因为物体解：因为物体Q形心与手部坐标系形心与手部坐标系OXYZ 的坐标原点的坐标原点O相重合，所以手部位置的（相重合，所以手部位置的（41） 列阵为列阵为P=1 1 1 1T 手部坐标系手部坐标系X轴的方向可用单位矢量轴的方向可用单位矢量n来表示：来表示： n： =90=90，=180=180，=90=90 n nx x=cos=cos=0; ny=cos=-1; nz=cos=0 同理，手部坐标系同理，手部坐标系Y与与Z轴的方向可分别用单位轴的方向可分别用单位 矢量矢量o和和 来表

10、示。来表示。 手部位姿可用矩阵表达为：手部位姿可用矩阵表达为： 第2章 工业机器人运动学 图图 2-5 目标物的位置和姿态描述目标物的位置和姿态描述 7. 7. 目标物位姿的描述目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵 来表示来表示, , 如图如图2-52-5所示。楔块所示。楔块Q Q在在(a(a)图的情况下可用图的情况下可用6个点个点 描述描述, 矩阵表达式为矩阵表达式为 第2章 工业机器人运动学 (2.6) 若让其绕若让其绕Z轴旋转轴旋转90,记为记为Rot(z,90); 再绕再绕Y轴旋转轴旋转90,即即 Rot(y,9

11、0), 然后再沿然后再沿X轴方向平移轴方向平移4,即即Trans(4, 0, 0), 则楔块成为则楔块成为(b)图位图位 姿姿, 其齐次矩阵表达式为其齐次矩阵表达式为 用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程, 也便于也便于 矩阵的运算矩阵的运算, 所以应该熟练掌握。所以应该熟练掌握。 第2章 工业机器人运动学 2.2 齐次变换及运算齐次变换及运算 一一. 平移的齐次变换平移的齐次变换 图图2-6点的平移变换点的平移变换 如图如图2-6所示为空间某一所示为空间某一 点在直角坐标系中的平移点在直角坐标系中的平移,由由 A(x, y, z

12、)平移至平移至A(x, y, z), 即即 或写成：或写成： (2.7) 第2章 工业机器人运动学 a=Trans(x, y, z)a 记为记为: 其中其中,Trans(x, y,z)称为称为平移算子平移算子,x、y、z分别分别 表示沿表示沿X、Y、Z轴的移动量。轴的移动量。 即即: (2.8) (2.9) 第2章 工业机器人运动学 注注: : 算子左乘算子左乘: : 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐 标变换。标变换。 算子右乘算子右乘: : 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标 变换。变换。 该公式亦适用于坐标系的平

13、移变换、该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换物体的平移变换, 如机器人手部的平移变换。如机器人手部的平移变换。 第2章 工业机器人运动学 例例3：有下面两种情况（如图：有下面两种情况（如图2-7），动坐标系），动坐标系A相对于定相对于定 坐标系的坐标系的X0、Y0、Z0轴作（轴作（-1，2，2）平移后到）平移后到A；动坐；动坐 标系标系A相对于自身坐标系（即动系）的相对于自身坐标系（即动系）的X、Y、Z轴分别作轴分别作 （-1，2，2）平移后到）平移后到A”。已知：。已知： 试写出坐标系试写出坐标系A、A”的矩阵表达式。的矩阵表达式。 图图2-7 坐标系的平移变换坐标系的平移变换

14、Z0Y Y0 X0 X Z X” Y” Z” A A” A Y X Z 第2章 工业机器人运动学 解：动坐标系解：动坐标系A的两个平移坐标变换算子均为的两个平移坐标变换算子均为 A坐标系是动系坐标系是动系A沿固定坐标系作平移变换得来的，沿固定坐标系作平移变换得来的， 因此算子左乘，因此算子左乘，A的矩阵表达式为的矩阵表达式为 2 2 -1 2 第2章 工业机器人运动学 A”坐标系是动系坐标系是动系A沿自身坐标系作平移变换得来沿自身坐标系作平移变换得来 的，因此算子右乘，的，因此算子右乘，A”的矩阵表达式为的矩阵表达式为 经过平移坐标变换后，坐标经过平移坐标变换后，坐标A、A”的实际情况已的实际

15、情况已 图解在图图解在图2-7中。中。 第2章 工业机器人运动学 二二. 旋转的齐次变换旋转的齐次变换 点在空间直角坐标系中点在空间直角坐标系中 的旋转如图的旋转如图2-8所示。所示。A(x, y, z)绕绕Z轴旋转轴旋转角后至角后至A( x, y, z ),A与与A之间的关系为之间的关系为 图图2-8点的旋转变换点的旋转变换 (2.10) 第2章 工业机器人运动学 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 (2.17) 记为记为: a=Rot(z, )a 其中其中, 绕绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系, 即即 (2.18) 第2章 工业机器人运动学 同理同理, (2.

16、19) (2.20) 第2章 工业机器人运动学 图图2-9所示为点所示为点A绕任意过原点的单位矢量绕任意过原点的单位矢量k旋转旋转角的角的 情况。情况。kx、ky、kz分别为分别为k矢量在固定参考坐标轴矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z 上的三个分量上的三个分量,且且k2x+k2y+k2z=1。可以证明。可以证明, 其旋转齐次变换其旋转齐次变换 矩阵为矩阵为 图图 2-9 点的一般旋转变换点的一般旋转变换 第2章 工业机器人运动学 (2.21) 注注: : 该式为一般旋转齐次变换通式该式为一般旋转齐次变换通式, , 概括了绕概括了绕X X、Y Y、Z Z轴进行旋转变换轴进行旋转变换 的情况。反之的

17、情况。反之, ,当给出某个旋转齐次变换矩阵当给出某个旋转齐次变换矩阵, , 则可求得则可求得k k及转角及转角。 变换算子公式不仅适用于点的旋转变换算子公式不仅适用于点的旋转, , 也适用于矢量、也适用于矢量、 坐标系、坐标系、 物物 体的旋转。体的旋转。 左乘是相对固定坐标系的变换左乘是相对固定坐标系的变换; 右乘是相对动坐标系的变换。右乘是相对动坐标系的变换。 三三. 平移加旋转的齐次变换平移加旋转的齐次变换 第2章 工业机器人运动学 平移变换和旋转变换可以组合在一起，计算时只平移变换和旋转变换可以组合在一起，计算时只 要用旋转算子乘上平移算子就可以实现在旋转上加平要用旋转算子乘上平移算子

18、就可以实现在旋转上加平 移。不再赘述。移。不再赘述。 练习：已知坐标系中点练习：已知坐标系中点U的齐次坐标的齐次坐标U=7 3 2 1T，将此，将此 点绕点绕Z轴旋转轴旋转90，再绕，再绕Y轴旋转轴旋转90，还要作，还要作4i-3j+7k的的 平移，求变换后得到的点平移，求变换后得到的点W的列阵表达式。的列阵表达式。 end 第2章 工业机器人运动学 2.3 工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵 一一. 连杆参数及连杆坐标系的建立连杆参数及连杆坐标系的建立 图图 2-10 连杆的几何参数连杆的几何参数 1、连杆参数、连杆参数 描述该连杆可以通过两个几何参数描述该

19、连杆可以通过两个几何参数: 连杆长度连杆长度an和和扭角扭角n。 第2章 工业机器人运动学 描述描述相邻杆件相邻杆件n与与n-1的关系参数的两个参数：的关系参数的两个参数： 连杆距离连杆距离dn和和连杆转角连杆转角n 图图 2-11 连杆的关系参数连杆的关系参数 第2章 工业机器人运动学 这样这样, 每个连杆可以由四个参数来描述每个连杆可以由四个参数来描述,其中两个是连杆其中两个是连杆 尺寸尺寸, 两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。 确定连杆的运动类型确定连杆的运动类型, 同时根据关节变量即可设计关节同时根据关节变量即可设计关节 运动副运动副,从而进行整个机器

20、人的结构设计。从而进行整个机器人的结构设计。 已知各个关节变量的值已知各个关节变量的值, 便可从基座固定坐标系通过连便可从基座固定坐标系通过连 杆坐标系的传递杆坐标系的传递, 推导出手部坐标系的位姿形态。推导出手部坐标系的位姿形态。 第2章 工业机器人运动学 建立连杆建立连杆n坐标系坐标系(简称简称n系系)的规则如下的规则如下: 连杆连杆n坐标系的坐标原点位于坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上关节轴线上,是关节是关节 n+1的关节轴线与的关节轴线与n和和n+1关节轴线公垂线的交点。关节轴线公垂线的交点。 2、连杆坐标系的建立、连杆坐标系的建立 Z轴与轴与n+1关关 节轴线重合。节轴线重合。

21、X轴与公垂轴与公垂 线重合线重合;从从n指向指向n+1 关节。关节。 Y轴按右手轴按右手 螺旋法则确定。螺旋法则确定。 第2章 工业机器人运动学 表表2.1 连杆参数及坐标系连杆参数及坐标系 连杆的参数连杆的参数 名名 称称含义含义“”号号性质性质 n转角转角 连杆连杆n绕关节绕关节n的的Zn-1 轴的轴的 转角转角 右手法则右手法则 转动关节为变量转动关节为变量 移动关节为常量移动关节为常量 dn距离距离 连杆连杆n沿关节沿关节n的的Zn-1 轴的轴的 位移位移 沿沿Zn-1 正向正向 为为+ 转动关节为常量转动关节为常量 移动关节为变量移动关节为变量 an长度长度 沿沿Xn方向上，连杆方向

22、上，连杆n的长度，的长度， 尺寸参数尺寸参数 与与Xn正向一正向一 致致 常量常量 n扭角扭角 连杆连杆n两关节轴线之间的扭两关节轴线之间的扭 角，尺寸参数角，尺寸参数 右手法则右手法则常量常量 连杆连杆n的坐标系的坐标系OnZnXnYn 原点原点On轴轴Zn轴轴Xn轴轴Yn 位于关节位于关节n+1 轴线与连杆轴线与连杆n 两关节轴线的两关节轴线的 公垂线的交点公垂线的交点 处处 与关节与关节 n+1轴轴 线重合线重合 沿连杆沿连杆n两关节轴线之公两关节轴线之公 垂线，并指向垂线，并指向n+1关节关节 按右手法则确定按右手法则确定 第2章 工业机器人运动学 二、连杆坐标系之间的变换矩阵二、连杆

23、坐标系之间的变换矩阵 各连杆坐标系建立后各连杆坐标系建立后,n-1系与系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋系间变换关系可用坐标系的平移、旋 转来实现。从转来实现。从n-1系到系到n系的变换步骤如下系的变换步骤如下: 该变换过程用一个总的变换矩阵该变换过程用一个总的变换矩阵An来表示连杆来表示连杆n的齐次变换矩阵的齐次变换矩阵: (1) 令令n-1系绕系绕Zn-1轴旋转轴旋转n 角角, 使使Xn-1与与Xn平行平行, 算子为算子为 Rot(z,n)。 (2) 沿沿Zn-1轴平移轴平移dn, 使使Xn-1 与与Xn重合重合, 算子为算子为Trans(0,0,dn)。 (3) 沿沿Xn轴平移轴平移

24、an, 使两个坐使两个坐 标系原点重合标系原点重合, 算子为算子为 Trans(an,0,0)。 (4) 绕绕Xn轴旋转轴旋转n角角, 使得使得 n-1系与系与n系重合系重合, 算子为算子为 Rot(x,n)。 第2章 工业机器人运动学 第2章 工业机器人运动学 2.4 工业机器人运动学方程工业机器人运动学方程 一一. 机器人运动学方程机器人运动学方程 A变换矩阵变换矩阵 (A矩阵矩阵): 描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的 齐次变换矩阵。齐次变换矩阵。 T T6 6=A=A1 1A A2 2A A3 3A4A5A6 (2.23)

25、（六连杆）机器人运动学方程：（六连杆）机器人运动学方程： 第2章 工业机器人运动学 分析该矩阵分析该矩阵: 前三列表示手部的姿态前三列表示手部的姿态; 第四列表示手部第四列表示手部 中心点的位置。中心点的位置。 可写成如下形式可写成如下形式: (2.24) 第2章 工业机器人运动学 二二. . 正向运动学及实例正向运动学及实例 1 1、 平面关节型机器人运动学方程平面关节型机器人运动学方程 如图如图2-122-12所示所示,SCARA,SCARA装配机器人。装配机器人。 图图 2-12 SCARA装配机器人的坐标系装配机器人的坐标系 第2章 工业机器人运动学 表表2.2 SCARA装配机器人连

26、杆参数装配机器人连杆参数 连杆连杆转角（变量）转角（变量）两连杆间距离两连杆间距离d 连杆长度连杆长度a连杆扭角连杆扭角 连杆连杆11d1=0a1=l1=1001=0 连杆连杆22d2=0a2=l2=1002=0 连杆连杆33d3=0a3=l3=203=0 该机器人的参数如表该机器人的参数如表2.2所示。所示。 第2章 工业机器人运动学 该平面关节型机器人的运动学方程为该平面关节型机器人的运动学方程为 T3=A1A2A3 (2.25) T T3 3为手部坐标系为手部坐标系( (即手部即手部) )的位姿。由于其可写成的位姿。由于其可写成(4(44)4) 的矩阵形式的矩阵形式, , 即即可得向量可

27、得向量p、n、o、a, 把把1、2、3代代 入可得。入可得。 (2.26) (2.27) (2.28) 第2章 工业机器人运动学 当转角变量分别为当转角变量分别为1 1=30=30, , 2 2=-60=-60, , 3 3=-30=-30时，时， 则可根据平面关节型机器人运动学方程求解出运动学正解则可根据平面关节型机器人运动学方程求解出运动学正解, , 即手部即手部的位姿矩阵表达式的位姿矩阵表达式 (2.29) 第2章 工业机器人运动学 2 、 斯坦福机器人的运动学方程斯坦福机器人的运动学方程 图图 2-13 2-13 斯坦福斯坦福(STANFORD)(STANFORD) 机器人坐标系机器人

28、坐标系 第2章 工业机器人运动学 表表2.3斯坦福斯坦福机器人连杆参数机器人连杆参数 杆号杆号关节转角关节转角两连杆间距离两连杆间距离d 连杆长度连杆长度a连杆扭角连杆扭角 连杆连杆1100-90 连杆连杆22d2090 连杆连杆3 0d300 连杆连杆4400-90 连杆连杆550090 连杆连杆66H00 第2章 工业机器人运动学 图图3.14斯坦福（斯坦福（STANFORD） 机器人的连杆坐标系机器人的连杆坐标系 齐次变换矩阵齐次变换矩阵Ai: 第2章 工业机器人运动学 所以：所以： 斯坦福机器人运动学方程：斯坦福机器人运动学方程： 第2章 工业机器人运动学 三、三、 反向运动学及实例反向运动学及实例 反向运动学解决的问题是反向运动学解决的问题是: :已知手部的位姿已知手部的位姿, ,求各个关求各个关 节的变量。节的变量。 T T6 6= =A A1 1A A2 2A A3 3A4A5A6 如图如图2-13所示所示,以以6自由度斯坦福自由度斯坦福(STANFORD)机器人为机器人为 例例, 其连杆坐标系如图其连杆坐标系如图2-13 所示所示, 设坐标系设坐标系6与坐标系与坐标系5原原 点重合点重合, 其运动学方程为其运动学方程为: 第2章 工业机器人运动学 图图 2-13 2-13