第二章角动量

1、2 2.3 角动量定理角动量定理 力矩是通过分析引起转动状态改变的原因而引入的。力矩是通过分析引起转动状态改变的原因而引入的。 本部分通过研究力矩的时间累积效应，本部分通过研究力矩的时间累积效应，引进冲量矩的引进冲量矩的 概念，概念，建立刻画与力矩的作用效果有关的质点运动建立刻画与力矩的作用效果有关的质点运动 状态的另一描述量状态的另一描述量角动量角动量，推导出质点角动量定推导出质点角动量定 理，并将之推广到质点系的一般情形，并考虑了重理，并将之推广到质点系的一般情形，并考虑了重 要的力矩的时间累计效应为零这一特殊情形。作为要的力矩的时间累计效应为零这一特殊情形。作为 力学基本定理的总结，本部

2、分扼要介绍对称性与守力学基本定理的总结，本部分扼要介绍对称性与守 恒律的问题。恒律的问题。 2.3 .1 2.3 .1 质点角动量定理质点角动量定理与角动量守恒定律与角动量守恒定律本本 部部 分分 内内 容容 2.3 .2 2.3 .2 质点角动量定理与角动量守恒定律质点角动量定理与角动量守恒定律 2.4 2.4 对称性与守恒定律对称性与守恒定律 为力的作用点的位置矢量为力的作用点的位置矢量 力矩大小：力矩大小： O x y P r F M z 2.3.1 2.3.1 质点的角动量定理质点的角动量定理 一、力矩一、力矩 FrM sinFrM r 力对参考点力对参考点O的力矩：的力矩： 在直角坐

3、标系中在直角坐标系中 kFjFiFF zyx kzj yi xr 方向由方向由右手螺旋规则右手螺旋规则确定。确定。 FrM zyx FFF zyx kji kMjMiM zyx jxFzF zx )(kyFxF xy )( izFyF yz )( kji ikj jik O x y P z i j k 为质点的位置矢量为质点的位置矢量 大小：大小： O x y P r p L z 二、质点的角动量、角动量定理二、质点的角动量、角动量定理 vmrprL sinprL r 方向由方向由右手螺旋规则右手螺旋规则确定确定 由矢量微商法则由矢量微商法则 dt Bd AB dt Ad dt BAd Frv

4、mv 得得 在在惯性参考系惯性参考系中，一质点中，一质点 的角动量的角动量 t p rp dt rd dt Ld d d MFr dt Ld M 在惯性参考系中，在惯性参考系中，质点对固定参考点的角质点对固定参考点的角 动量在任意时刻的时间变化率等于质点在动量在任意时刻的时间变化率等于质点在 该时刻所受合外力对该点的力矩。该时刻所受合外力对该点的力矩。 质点对固定点质点对固定点O的角动量定理的角动量定理 定义定义冲量矩冲量矩： ab b a t t LLLddtM b a 角动量定理的另一形式角动量定理的另一形式 在惯性参考系中，在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程质点所受合外力在其

5、任一运动过程 中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在 该过程中的增量。该过程中的增量。 注意：注意： 1. 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所 受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点， 对应的位矢对应的位矢 不同。物体所受的力矩不同。不同。物体所受的力矩不同。 r r 3.如果力如果力 的方向始终指向一个固定点，则该力就称为的方向始终指向一个固定点，则该力就称为 有心力，该固定点称为这个力的力心。有心力，该固定点称为这个力的力心。 F

6、受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。 2.何时何时 为零？为零？ M a.0F c.受到有心力作用受到有心力作用 b.力的作用线与轴相交力的作用线与轴相交 【补充例补充例】一质量为一质量为m m的质点沿着一条空间曲线运的质点沿着一条空间曲线运 动，该曲线在直角坐标下的矢径为：动，该曲线在直角坐标下的矢径为： 其中其中a、b、 皆为常数，皆为常数，求求该质点对原点的角动量。该质点对原点的角动量。 j tbi ta dt rd v cossin vmrL 解：解： kmab jtbi tar sincos ktmabktmab 22

7、sincos j tbi ta dt rd v cossin 解：解：分析分析 ,v mrL jir 34 ？点点的的角角动动量量求求：该该时时刻刻质质点点对对 L 0 【补充例补充例】质量为质量为 m 的质点，某时刻的位置如图，的质点，某时刻的位置如图， 速度为速度为 受力为受力为j 6 vjF 2 （SI） kmjmjiL 246)34( (Z(Z轴正方向轴正方向) ) FrM 利用利用 （4，3） 0 x y 的的力力矩矩的的大大小小和和方方向向？ 点点该该时时刻刻质质点点受受到到的的对对 0思考：思考： P O b x y 【补充例补充例】 t=0时，质量为时，质量为m的质点由的质点由

8、 P点自由下落。点自由下落。 问：问：1. 在任意在任意t时刻，质点所受的对原点时刻，质点所受的对原点O的力矩的力矩? 2.在任意在任意t时刻，质点对原点时刻，质点对原点O的角动量。的角动量。 j yixr v mrL FrM jmgF 在任意在任意t时刻时刻 jgt v FrM )jgt 2 1 ib( 2 jmg kbmg 方向垂直于纸面向里方向垂直于纸面向里 解解: jgtib 2 2 1 kbmgtjmgtjgtibvmrL 2 2 1 【补充例补充例】质点的圆周运动质点的圆周运动 （对圆心的）角动量：（对圆心的）角动量： )()(vvv rrmmrL 大小：大小：rmmvrLv si

9、n 【补充例补充例】 行星在绕太阳公转时的椭圆轨行星在绕太阳公转时的椭圆轨 道运动对定点道运动对定点（太阳）的角动量：（太阳）的角动量： )(v rmprL 大小：大小： sinrmLv 方向：方向：垂直于轨道平面垂直于轨道平面 方向：方向： o v L r ov L r m 【补充例补充例】 一质量为一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，的均匀细棒， 可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转 动，已知细棒与桌面的摩擦因素为动，已知细棒与桌面的摩擦因素为 ,求求棒转动棒转动 时受到的摩擦力矩的大小。时受到的摩擦力矩的大小。 x o dx x 如图，距如图，

10、距O点为点为x，长为，长为dx的质元的质元dm 的质量的质量 解：解： x l m mdd )d(dmgxM mgLxx l mg mgxM L 2 1 dd 0 其所受阻力矩其所受阻力矩 x o dx x 三、质点角动量守恒定律三、质点角动量守恒定律 若外力对某个固定点若外力对某个固定点O的力矩为零时，即的力矩为零时，即 ， 则对同一固定点则对同一固定点O的角动量不变，即的角动量不变，即 角动量守恒定律角动量守恒定律 dt Ld M 0 LL 0M 有时质点在运动过程中所受力矩在某个方向上的分量为零，有时质点在运动过程中所受力矩在某个方向上的分量为零， 则在该方向上的角动量分量守恒，则在该方

11、向上的角动量分量守恒，例如例如 0 x M 1 CLx 时，时，(恒量恒量) S m 如行星在太阳的万有引力的作用如行星在太阳的万有引力的作用 下，显然，相对于太阳的力矩为下，显然，相对于太阳的力矩为 零，相对于太阳的角动量不变，零，相对于太阳的角动量不变， 不但大小不变，而且方向不变，不但大小不变，而且方向不变， 行星的轨道在同一平面内。行星的轨道在同一平面内。 0 sinLmrvL r F v L sinmvrL m L vrd r 开普勒第二定律开普勒第二定律 dt rdr m sin 2 1 2 sinr dt rd m F r r d rr d 0 sinLmrvL 三角形面积三角形

12、面积 dt dS m2 .const dt dS 力力 力矩力矩 动量动量 角动量角动量 冲量冲量冲量矩冲量矩 力与动量力与动量力矩与角动量力矩与角动量 动量定理动量定理(冲量与动量冲量与动量)角动量定理角动量定理(冲量矩与角动量冲量矩与角动量) 动量守恒动量守恒：某一时间间隔内，某一时间间隔内， 质点系所受外力矢量和始终质点系所受外力矢量和始终 为零，为零， 角动量守恒角动量守恒：对固定参考点而对固定参考点而 言，质点受到的合力矩始终为言，质点受到的合力矩始终为 零，零， FrM F 2 1 t t dtFI 2 1 t t dtM vmP vmrL 12 2 1 vmvmdtF t t d

13、t vmd F dt Ld M 12 2 1 2 1 LLLddtM L L t t 一一质量为质量为m的的质点以速率质点以速率v作作 圆锥摆运动。圆锥摆运动。 分别以圆心分别以圆心O 和悬挂点和悬挂点A O A gm m 分析张力力矩、分析张力力矩、 重力力矩、重力力矩、 合力力矩合力力矩 和质点的角动量。和质点的角动量。 解解 求求 张力力矩张力力矩重力力矩重力力矩合力力矩合力力矩角动量角动量 A O TR v 方向方向 0Tr gmR v gmr v 0)(TgmR gmr Tgmr )( v cmRv r 为参考点，为参考点， v mr v mr 【补充例补充例】 方向方向 T R v

14、 【例例2-29】如图所示，质点受轻绳的约束在光滑的水如图所示，质点受轻绳的约束在光滑的水 平桌面上运动。开始时质点绕点平桌面上运动。开始时质点绕点O作半径为作半径为R0的匀速的匀速 圆周运动，速率为圆周运动，速率为v0。若用外力。若用外力F F通过轻绳使质点的圆通过轻绳使质点的圆 周运动半径减小到周运动半径减小到R1，问问质点的运动速率变为多少质点的运动速率变为多少?动动 能如何变化能如何变化? 解：解： 质点受到重力质点受到重力mg g、桌面支持力、桌面支持力NN和绳子拉力和绳子拉力T T的共的共 同作用。选同作用。选O为参考点，为参考点，mg g和和NN平衡，对点平衡，对点O的合的合 力

15、矩为零。绳子拉力力矩为零。绳子拉力T T通过点通过点O，它的力矩也为零。，它的力矩也为零。 T T NN mg g 0011 mvRmvR 因此，所有作用力对点因此，所有作用力对点O的合力矩等于零。质点的合力矩等于零。质点m 在运动过程中相对点在运动过程中相对点O的角动量守恒，即的角动量守恒，即 因此，得因此，得 1001 /RvRv 质点动能的变化为质点动能的变化为 1)/( 2 1 2 1 2 1 2 10 2 0 2 0 2 1 RRmvmvmvE k 因为因为R1 0，即质点的动能增加。增，即质点的动能增加。增 加的这部分能量来源于力加的这部分能量来源于力F F所做的功。所做的功。 【

16、例例2-30】 将一质点沿一个半径为将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形的光滑半球形 碗的内面碗的内面水平地投射水平地投射, 碗保持静止碗保持静止, 如图如图, 设设 v0 是质是质 点恰好能达到碗口所需的初速率。点恰好能达到碗口所需的初速率。(1) 试说明质点为试说明质点为 什么能到达碗口什么能到达碗口? (2) 求求 v0 与与 0 的关系。的关系。 ( 0 是质点是质点 的初始角位置，的初始角位置，O为球心为球心) 当当v v0大到一定程度时，小球能到达大到一定程度时，小球能到达 甚至飞出碗口。甚至飞出碗口。 0 z O (2)由题设条件，由题设条件， v v0与与 0满足小球刚好能到

17、达碗口满足小球刚好能到达碗口,即即 小球到达碗口时速度沿水平方向小球到达碗口时速度沿水平方向,沿碗口作圆周运动。沿碗口作圆周运动。 0 v gm N 解：解：(1)如图，设碗对小球的支持力 如图，设碗对小球的支持力 为为NN，其水平分量提供了小球其水平分量提供了小球 绕绕 z轴做圆周运动的向心力。轴做圆周运动的向心力。 小球圆周运动的速度小球圆周运动的速度v v0越大，越大， NN就越大，当就越大，当Ncos 0mg时，时， 小球将向上加速，向碗口运动。小球将向上加速，向碗口运动。 z O 0 v v 到达碗口后，沿碗到达碗口后，沿碗 口作圆周运动口作圆周运动 沿碗面螺旋上升沿碗面螺旋上升 0

18、 z O 0 v gm N 00 sinrmv 但是，由于重力矩但是，由于重力矩MM在在z方向的分量为零，即方向的分量为零，即Mz=0， 所以，小球在上升过程中对点所以，小球在上升过程中对点O的角动量的角动量L L在在z方向的方向的 分量守恒分量守恒, 为为 在小球上升过程中，相对于参考点在小球上升过程中，相对于参考点O，支持力支持力NN的力的力 矩为零，但矩为零，但小球所受重力矩不为零（始终在水平面小球所受重力矩不为零（始终在水平面 内），即合力矩即重力矩内），即合力矩即重力矩MM0，这样，小球对点，这样，小球对点O的的 角动量不守恒。角动量不守恒。 z O 0 v v 又，小球上升过程系统

19、的机械能守恒，即又，小球上升过程系统的机械能守恒，即 2 0 2 0 2 1 cos 2 1 mvmgrmv 设小球上升到碗口时速度为设小球上升到碗口时速度为v v，沿水平方向，沿水平方向，则在此则在此 处处小球对点小球对点O的角动量沿的角动量沿z方向，大小为方向，大小为 mvr 故故mvrrmv 00 sin 0 0 cos 2 gr v 【补充例补充例】在半角为在半角为的圆锥面内壁距顶角的圆锥面内壁距顶角h 的高处，有一个小球以初速度的高处，有一个小球以初速度v0沿内壁水平方沿内壁水平方 向射出。设锥面内壁光滑。向射出。设锥面内壁光滑。 （1）为使小球在高）为使小球在高h处的水平面上作匀速

20、圆处的水平面上作匀速圆 周运动，周运动，v0？；？； （2）若）若初速度为初速度为v1=2v0，求小球在运动过程，求小球在运动过程 中的最大高度。中的最大高度。 mgNsin tan cos 2 0 h v mN ghv 0 【解解】（1）小球受力：）小球受力： 重力重力mg，约束反力，约束反力 N。小球的运动方程。小球的运动方程 v0 h mg N mghmvxhmgmv 2 1 2 2 2 1 2 1 h x v1 (2) 当初速度当初速度v12v0时，时， 平衡不成立。小球平衡不成立。小球 作螺旋运动。机械作螺旋运动。机械 能守恒，设上升得能守恒，设上升得 最大高度最大高度x，其速，其速

21、 度为度为v2 ，则，则 mg N 以圆锥顶点为参考点，合力矩方向以圆锥顶点为参考点，合力矩方向始终在水平面内始终在水平面内， 所以沿圆锥轴线得角动量分量守恒所以沿圆锥轴线得角动量分量守恒 上两式联立可得上两式联立可得 （4） （5） 由（由（4）、（）、（5）式得到）式得到 2 3 x3h ， tantan 21 xhmvhmv xh ghh v 2 2 03 23 xhx hx3 得：得： 表面附近的重力加速度表面附近的重力加速度g表示表示)；(2)卫星运行轨道在卫星运行轨道在 近地点的曲率半径近地点的曲率半径r r。 【例例2-31】如图如图所示，人造地球卫星近地点离地所示，人造地球卫星

22、近地点离地r1=2R (R为地球半径为地球半径)，远地点离地心，远地点离地心r2=4R。求：。求：(1)卫星在卫星在 近地点及远地点的速率近地点及远地点的速率v1和和v2。 (用地球半径用地球半径R以及地球以及地球 1 v 2 v x y O 近地点近地点 远地点远地点 RmvRmv42 21 解：解： (1)系统内的作用力是有心力，且为保守力，因此系统内的作用力是有心力，且为保守力，因此 系统对地心的角动量守恒。系统对地心的角动量守恒。 1 v 2 v x y O 近地点近地点 远地点远地点 在远地点和近地点，速度与相对于在远地点和近地点，速度与相对于O点的位置矢点的位置矢 量垂直，所以有量

23、垂直，所以有 等式两边分别为卫星在近地点和远地点时的等式两边分别为卫星在近地点和远地点时的 角动量及机械能。角动量及机械能。引力势能的一般表示式为引力势能的一般表示式为 r Mm GE p 22 1 R mg R Mm GE p 44 2 R mg R Mm GE p 故故 考虑到在地面附近考虑到在地面附近 mg R Mm GF 2地面 2 2 21 2 1 2 1 2 1 pp EmvEmv机械能守恒机械能守恒 (2)人造地球卫星在近地点处的法向加速度分量为人造地球卫星在近地点处的法向加速度分量为 利用利用 4)2( 2 g R M Gan 2 1n 1 va r 得近地点处轨道的曲率半径为

24、得近地点处轨道的曲率半径为 3 8 4/ 3/21 2 1 n R g Rg v a r 联立求解，得联立求解，得 Rgv 3 2 1 Rgv 6 1 2 【例例2-32】如图如图所示，质量为所示，质量为m的飞船绕质量为的飞船绕质量为M的的 地球作匀速圆周运动，轨道半径为地球作匀速圆周运动，轨道半径为3R(R为地球半径为地球半径)， 它的运行速率它的运行速率v0为多少为多少?飞船在此处要将它的运动速飞船在此处要将它的运动速 度至少增加到度至少增加到v1为多少时，才能飞离地球为多少时，才能飞离地球?若飞船在若飞船在 3R处将速度增加到处将速度增加到v1后关闭发动机，在离地心为后关闭发动机，在离地

25、心为12R 处，它的切向加速度分量处，它的切向加速度分量at为多少为多少?该处轨道的曲率该处轨道的曲率 半径半径r r为多少为多少(用地球半径用地球半径R以及地球表面附近的重力以及地球表面附近的重力 加速度加速度g表示结果表示结果)? 解：解：在地面处，在地面处， 飞船在飞船在3R处绕地球作匀速圆周运动处绕地球作匀速圆周运动 以无穷远为势能零点，为脱离以无穷远为势能零点，为脱离 地球，系统机械能至少为零地球，系统机械能至少为零 9)3(3 2 2 0 mg R mM G R v m 3 0 Rg v 0 2 1 2 1 32 1 32 1 222 1 2 1 mv Mm Gmv mgR mv

26、R Mm Gmv 3 2 1 Rg v mg R Mm G 2 2 R M Gg 飞船从飞船从3R处运动到处运动到12R处，系统机械能守恒处，系统机械能守恒 0 122 1 2 2 R Mm Gmv 6 2 Rg v 在此过程中，飞船相在此过程中，飞船相 对地心的角动量守恒对地心的角动量守恒 sin123 21 RmvRmv 2/1sin 其中其中 为飞船在离地心为飞船在离地心12R处的速处的速 度与径向之间的夹角度与径向之间的夹角(见图见图)。 1 v R3 Rav48/ n 2 2 r 在离地心在离地心12R处飞船加速度大小处飞船加速度大小 144)12( 2 g R M Ga 288 3

27、 cos t g aa 288 sin n g aa a n a t a 1 v R3 方向指向地球球心方向指向地球球心 解：解： R o 【补充例补充例】当一质量为当一质量为 m2的飞船距一质量为的飞船距一质量为 m1、半径为、半径为 R 的行星的中心的行星的中心 4R 处时，速度处时，速度 为为 , 要使飞船恰好掠要使飞船恰好掠 着行星的表面着陆，着行星的表面着陆， 角应是多少角应是多少? 着陆滑行初速度着陆滑行初速度 v 多大多大? 0 v 有心力场中有心力场中, 运用角动运用角动 量守恒和量守恒和(m1 , m2 )系系 统机械能守恒定律：统机械能守恒定律： vRmRvm 202 si

28、n4 R mGm vm R mGm vm 21 2 2 21 2 02 2 1 42 1 2 1 2 0 1 ) 2 3 1 ( 4 1 sin Rv Gm 2 1 2 0 1 0 ) 2 3 1 ( Rv Gm vv 2 m 0 v Rr4 0 v 1 m m 0R =3Rm sin 火箭运动过程中只受引力火箭运动过程中只受引力(保守力保守力)作用，机械能守恒作用，机械能守恒(火火 箭、地球箭、地球)、对、对o点的角动量守恒：点的角动量守恒： 【补充例补充例】质量为质量为m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 沿地球表面发射出沿地球表面发射出 去。地轴去。地轴oo 与与 平行，火箭平行，火

29、箭A的运动轨道与地轴的运动轨道与地轴oo 相交于距相交于距o 为为3R的的C点。不考虑地球的自转和空气阻力，点。不考虑地球的自转和空气阻力，求火箭求火箭A在在C点的速点的速 度度 与与 之间的夹角之间的夹角 。(设地球的质量为设地球的质量为M、半径为、半径为R) 解得解得 C o A M R o 3R m 解：解： 0 0 0 0 0 R Mm Gm R Mm Gm 32 1 2 1 2 2 0 )43(3 sin 2 0 2 0 GMR R 【补充例补充例】人造地球卫星变轨问题。人造地球卫星变轨问题。 地球可看作是半径地球可看作是半径 R 的球体，一颗质量为的球体，一颗质量为 m的人的人 造

30、地球卫星在半径为造地球卫星在半径为r 的圆形轨道上，以的圆形轨道上，以 速度速度vt 绕地球运动。卫星沿指向地心的方向喷射气体，绕地球运动。卫星沿指向地心的方向喷射气体， 其冲量不影响卫星当时的绕地圆周切向速度其冲量不影响卫星当时的绕地圆周切向速度vt ， 但却给予卫星一个指向地心的径向速度但却给予卫星一个指向地心的径向速度vn。喷射。喷射 后卫星质量为后卫星质量为 ,卫星轨道变为卫星轨道变为椭圆椭圆。求。求这次喷这次喷 射后卫星轨道的射后卫星轨道的近地点和远地点近地点和远地点 离地心的距离。离地心的距离。 解：这是平方反比律的有心力作用下的轨道问题这是平方反比律的有心力作用下的轨道问题 这类

31、问题所满足的基本规律是这类问题所满足的基本规律是 机械能守恒、机械能守恒、 对于圆轨道，还可以利用引力提供向心力的概念对于圆轨道，还可以利用引力提供向心力的概念 角动量守恒角动量守恒 m 2 v 1 v x y O 近地点近地点 远地点远地点 n v t v x y O t v m m r 1 L 2 L 喷射喷射后，卫星对地心的角动量后，卫星对地心的角动量守恒守恒 其中其中 L是轨道是轨道近地点近地点或或远地点远地点距地心的距离，距地心的距离， 为该处速度。为该处速度。 此时此时 喷射后，卫星、地球系统机械能守恒喷射后，卫星、地球系统机械能守恒 （2 2） （3） Lvmrvm t L Mm

32、G vm r MmG vvm nt 2 22 2 1 2 1 喷射前喷射前，卫星处在圆轨道上，卫星处在圆轨道上，由牛顿第二定律由牛顿第二定律 2 2 t vGmM m rr 2 t GMv r（1） Lv v 即即 得得 远地点远地点 近地点近地点 由（由（1），（），（2），）， （3）得）得 02 2 22 2 22 rvrLvLvv ttnt 0rvLvvrvLvv tnttnt nt t vv rv L 1 nt t vv rv L 2 h1 v 2 v 卫星所受万有引力卫星所受万有引力、 火箭反冲力均通过力心，火箭反冲力均通过力心， v r 故卫星在火箭点燃前故卫星在火箭点燃前 或后

33、对地心的角动量或后对地心的角动量 始终不变，是守恒的。始终不变，是守恒的。 R ? 解：分析解：分析 【补充例补充例】 地球可看作是半径地球可看作是半径 R= 6400 km 的球体，的球体， 一颗一颗 人造地球卫星在地面上空人造地球卫星在地面上空 h=800km 的圆形轨的圆形轨 道上，以道上，以v1=7.5 km/s的速度绕地球运动。突然点的速度绕地球运动。突然点 燃燃 一一 火箭，其冲力使卫星附加一个火箭，其冲力使卫星附加一个 向外的径向分向外的径向分 速度速度 v2=0.2 km/s使卫星的轨道变成椭圆形。使卫星的轨道变成椭圆形。求求此此 后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？后

34、卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？ 火箭点燃后瞬时，可认火箭点燃后瞬时，可认 为卫星距地心的位矢不变为卫星距地心的位矢不变 仍为仍为 速度为速度为 21 vvv 根据角动量守恒定律：根据角动量守恒定律： r , 21 )(vmrvvmr , 12 , ,/vrvrvr )1( , 1 rmvrmv 卫星进入椭圆轨道后，设卫星进入椭圆轨道后，设 远地点（或近地点）的位矢远地点（或近地点）的位矢 为为 ，该处的速度为，该处的速度为 , r , v , r , v 卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力 （保守内力）作用，机械能守恒：（保

35、守内力）作用，机械能守恒： )2( 2 1 )( 2 1 , 2,2 2 2 1 r Mm Gmv r Mm Gvvm 对卫星原来的圆运动有对卫星原来的圆运动有 )3( 2 1 2 r v m r Mm G )1( , 1 rvrv )2( 2 1 )( 2 1 , 2,2 2 2 1 r M Gv r M Gvv 联立（联立（1）（）（2）（）（3）式，消去）式，消去 VG M m 则有则有 02)( 22 1 ,2 1 2,2 2 2 1 rvrrvrvv 0)()( 1 , 211 , 21 rvrvvrvrvv km vv rv r7397 2057 720057 21 1 , 1 k

36、m vv rv r7013 2057 720057 21 1 , 2 , 1 r , 2 r 1 h 2 h 远地点高度远地点高度 kmRrh997 , 11 近地点高度近地点高度kmRrh613 , 22 一一粒子在远处以速度粒子在远处以速度v0 射向一射向一重原子核重原子核，重原子，重原子 核到核到v0直线的距离为直线的距离为b b ，重原子核所带电量为，重原子核所带电量为ZeZe 。 求求粒子离开重原子核时的速度粒子离开重原子核时的速度v/ 的方向偏离的方向偏离v0 的角度的角度 b (2e) (Ze) 【补充例补充例】 0 v v 解解 F 可以认为重原子核在整个运动过程中不动可以认为

37、重原子核在整个运动过程中不动 O 所受的有心力为库仑力所受的有心力为库仑力 x b (2e) (Ze) 建立如图坐标建立如图坐标 库仑力对库仑力对O点的力矩为零点的力矩为零 粒子对粒子对O点的角动量守恒点的角动量守恒 t mFF y y d d sin v t mrmrvbm d d 2 0 v 0)(FM O 2 2 2 22 r kZe r ekZe F 0 v r v v y 联立消去联立消去r2得得 F x b (2e) (Ze) tbm kZe t y d d sin 2 d d 0 2 v v 0 0 2 sin 0 dsin 2 d bm kZe y v v v )cos1 (

38、2 sin 0 2 0 bm kZe v v 0 v sin v r v v y 机械能守恒机械能守恒 0 vv 在惯性参考系中，对同一参考在惯性参考系中，对同一参考 点，质点系总角动量为点，质点系总角动量为 2.3.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 i i M t L d d i i i i t L L tt L d d )( d d d d i i LL 内外内外 )(MMMM i i i 内外ii MM 单个质点的角动量定理单个质点的角动量定理 单个质点受到的力矩为单个质点受到的力矩为 质点系的角动量时间变化率质点系的角动量时间变化率 )( iii ivmrL ij ijiii

39、fFrM)( ij ijiii frFr 其中，单个质点的角动量为其中，单个质点的角动量为 其中，一对内力力矩其中，一对内力力矩 i ij ij i fr0 jijiji frfr i i L dt d )( i j o ijji frr )( 0 内内 i i MM t L M d d 外 式中式中 对同一参考点。对同一参考点。 LM 和 外 0 j r i r i P ij f ji f i F 在在惯性参考系惯性参考系中，中，作用于质点系的外力矩的矢量和等作用于质点系的外力矩的矢量和等 于质点系角动量对时间的变化率，于质点系角动量对时间的变化率，这就是质点系对固这就是质点系对固 定点的角

40、动量定理。定点的角动量定理。 j F j P i i L dt d )( t L M d d 外 i ii Fr i i MM 外外 若对于某点而言，质点系所若对于某点而言，质点系所 受的外力矩之和为零，则质受的外力矩之和为零，则质 点系对该点的角动量不随时点系对该点的角动量不随时 间改变，即：间改变，即： 质点系的角动量守恒：质点系的角动量守恒： .const LM ，则0若 外 故质点系角动量守恒和动量守恒也是相互独立的。故质点系角动量守恒和动量守恒也是相互独立的。 0与0 外外 FM 注意：注意： 是独立的，是独立的， 质点系的角动量守恒质点系的角动量守恒 【补充例补充例】在在光滑光滑水

41、平面上，有一原长为水平面上，有一原长为l0 = 0.6m，倔强系数，倔强系数k = 8N/m的弹性绳，绳的一端系一质量为的弹性绳，绳的一端系一质量为m = 0.2 kg 的小球，另一端的小球，另一端 固定在水平面的固定在水平面的A 点，最初弹性绳是松弛的，小球点，最初弹性绳是松弛的，小球B 的位置的位置 及初速度如图，当小球的速率为及初速度如图，当小球的速率为v 时，它与时，它与A 的距离最大，的距离最大， 此时此时l = 0.8m, ,求：求：此时的速率此时的速率v 及初速率及初速率 v 0 0 解：解：B与 与A端的距离最大时，端的距离最大时， 小球的速度与绳垂直。小球的速度与绳垂直。 角

42、动量守恒：角动量守恒： ）1sin 0 mlvmdv 机械能守恒：机械能守恒： )2)( 2 1 2 1 2 1 2 0 22 0 llkmvmv 由由1 1） 4 0 v v sm m ll v/306. 1 15 )(16 2 0 0 md4 . 0 A B 0 v 0 30 smv/33. 0 子弹射入滑块可视为碰撞过程，动量守恒：子弹射入滑块可视为碰撞过程，动量守恒： 【补充例补充例】在一在一光滑水平面光滑水平面上，有一轻弹簧上，有一轻弹簧(倔强系数倔强系数 k=100N/m)，一端固定于，一端固定于o点，另一端连接一滑块点，另一端连接一滑块 (M=1kg)。设开始时，弹簧长度为。设开

43、始时，弹簧长度为l0=0.2m(自然长度自然长度), 滑块静止滑块静止, 此时有一子弹此时有一子弹(m=0.02kg)以水平速度以水平速度 0=255m/s射向滑块并停在其中。当弹簧转过射向滑块并停在其中。当弹簧转过90 时时,其其 长度长度l=0.5m, 求求此时滑块速度此时滑块速度 的大小和方向。的大小和方向。 m 0 解：解： = (m+M) 1 其中其中 1是子弹射入后是子弹射入后 滑块的速度滑块的速度 o l0 l 1 M m 0 m/s5 0 1 Mm m =4.02m/s, =30 (m+M) 1l0 = (m+M) lsin 同时系统同时系统(滑块、弹簧滑块、弹簧)机械能守恒机

44、械能守恒 在水平面上滑块只受到弹性力的作用，故对在水平面上滑块只受到弹性力的作用，故对o点点 的角动量守恒：的角动量守恒： 2 0 2 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 llkMmMm o l0 l 1 M m 0 由上两式解得由上两式解得: 【补充例补充例】宇宙飞船质量宇宙飞船质量m=12 103kg，在月球上空，在月球上空 h=100km处围绕月球旋转。为了能降落在月球表面，处围绕月球旋转。为了能降落在月球表面， 喷气发动机在喷气发动机在A点处向着飞船飞行方向喷气，设喷点处向着飞船飞行方向喷气，设喷 出的气体相对宇宙飞船的速度出的气体相对宇宙飞船的速度u=10000m/s，

45、求求使飞使飞 船到达月球船到达月球B点处，所需要的燃料量。点处，所需要的燃料量。(设月球半径设月球半径 R=1700km，质量，质量M=7.37 1022kg) AB o 0解解: 先求出飞船绕月球旋转的先求出飞船绕月球旋转的 速度速度 0： hR m hR GmM 2 0 2 )( 1 0 sm1652 hR GM AB o 0 A B 飞船在飞船在A A点喷气后速度降为点喷气后速度降为 A A，在，在A AB B的飞行过程中，的飞行过程中， 角动量守恒、系统角动量守恒、系统( (飞船飞船+ +月球月球) )机械能守恒机械能守恒 m 代表喷气后飞船的质量。由上两式解出代表喷气后飞船的质量。由

46、上两式解出： 设喷出设喷出 m燃料，由动量守恒燃料，由动量守恒 R MmG m hR MmG m RmhRm BA BA 22 2 1 2 1 )( 11 sm1724,sm1628 BA )()( 0 ummmm AA kg8 .28 )( 0 u m m A 0 1 90sinsinvv AA mrrm 0 解：解：分析因为是有心力场分析因为是有心力场,且保守力场且保守力场 1 vv AA mdmD 0 v, B m 0 2 1 2 A mv)( 2 1 2 d mm Gm BA A v r D A B v 0 v d o d 0 v【补充例补充例】已知：质点已知：质点A A：受粒子：受粒

47、子B B引力作用，引力作用， ， ， D, , ，质点质点B B：不动，其质量未知。：不动，其质量未知。 m 求：求： ? B m 【补充例补充例】如图，两个质量均为如图，两个质量均为m的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的 两端用力向上爬。若滑轮的质量和轴上的摩擦力都可忽略，开始时两端用力向上爬。若滑轮的质量和轴上的摩擦力都可忽略，开始时 两小孩都不动。两小孩都不动。 (1) 哪一个小孩先到达滑轮哪一个小孩先到达滑轮 (2) 若两个小孩质量不等时情况如何若两个小孩质量不等时情况如何 解解: 求求 R O (1) 以小孩、滑轮作为系统。地面坐标以小孩、滑轮作为系统。地面坐标

48、系里，则系统对系里，则系统对O点的总角动量为点的总角动量为 + 而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩， 且合力矩为零且合力矩为零 所以系统对所以系统对O点的总角动量守恒点的总角动量守恒 开始时两小孩都不动开始时两小孩都不动 随后随后 )( 21 vv mRLo 000 21 ttvv 00 tLo tt 21 vv 0tLo 1 v 2 v 总角动量不守恒总角动量不守恒 (2) 若两个小孩质量不等若两个小孩质量不等m1m2 系统所受的外力矩为系统所受的外力矩为 系统对系统对O点的总角动量为点的总角动量为 开始时两小孩都不动开始时两小孩都不动 若若 m1

49、m2 总之，体轻的小孩上升的快，先到达滑轮。总之，体轻的小孩上升的快，先到达滑轮。 随后随后 )( 2211 vvmmRLo gRmmM o )( 12 00 tLo 00 21 vv0 o L O o M t L d d gRmm)( 12 2211 vvmm 21 vv gRtmmmmRLo 122211 )(vv 000 21 ttvv 同类问题同类问题 两只猴子两只猴子M、N为了争夺挂在顶部的香蕉，同为了争夺挂在顶部的香蕉，同 时沿着一根跨过无摩擦轻滑轮的绳子向上爬时沿着一根跨过无摩擦轻滑轮的绳子向上爬， （1 1）若两只猴子质量相等，谁先拿到香蕉？）若两只猴子质量相等，谁先拿到香蕉？

50、 （2 2）若）若M质量大于质量大于N，谁先拿到？，谁先拿到？ M N 【补充例补充例】一根轻绳跨过一轻定滑轮，一根轻绳跨过一轻定滑轮， 绳的两端分别绳的两端分别 悬有质量悬有质量 为为 m1 和和 m2 的物体的物体， ，m1 m2 ，滑轮的 滑轮的 半径为半径为 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩为力矩为 Mf ，绳与滑轮间无相对滑动。，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：试求：物体的加速度和绳的张力。物体的加速度和绳的张力。 . 1 m 2 m R gm1 gm2 NMf M=m2gR-m1gR-Mf 解解: 把 把m1、m2和轻定滑轮看和轻定滑轮看 作一系统。作一系统。 系统所受合外力有重

51、力系统所受合外力有重力m1g、m2g, 这两个力对轴这两个力对轴 的力矩分别为的力矩分别为m1gR、 m2gR;支撑力支撑力N通过转轴通过转轴,对轴的力对轴的力 矩为零。加上阻力矩矩为零。加上阻力矩Mf ,系统所受系统所受 合外力矩为合外力矩为(顺时针为正顺时针为正) v v 1 T 2 T 根据角动量定理根据角动量定理 )( 21 vRmvRm dt d dt dL M dt dv Rm dt dv Rm 21 ammR)( 21 amgmT 111 解得解得 21 12 )( mm R M gmm a f 系统的角系统的角 动量包括动量包括 m1: Rm1v m2: Rm2v 系统的总角动

52、量为系统的总角动量为 L=Rm1v+Rm2v amTgm 222 C l v0 【补充例补充例】二球质量均为二球质量均为m，轻绳，光滑，轻绳，光滑 水平面，水平面，求：求：运动规律及绳中张力。运动规律及绳中张力。 解：解：水平方向动量守恒水平方向动量守恒 c mvmv2 0 0 2 1 vvc 质心作匀速直线运动质心作匀速直线运动 系统相对质心角动量守恒系统相对质心角动量守恒 22 0 222 l m l m l mv l v0 小球绕质心作匀速圆周运动小球绕质心作匀速圆周运动 绳中的张力绳中的张力 l v m l mT 2 0 2 2 1 2 a bc l v045o 【补充例补充例】三球质

53、量均为三球质量均为m，轻杆，光滑，轻杆，光滑 水平面，对心弹性碰撞水平面，对心弹性碰撞, 分析其运动情况分析其运动情况。 解：解：系统动量、角动量、机械能系统动量、角动量、机械能 均守恒均守恒 ？ 相对哪个参考点？相对哪个参考点？ c mvmvmv2 0 2 0 2 245sin 2 45sin 2 l m l mv l mv 222 0 2 2 1 2 1 2 1 c vmmvmv 2 2 2 2 2 1 l m 0 7 4 vvc 0 7 24 v l 0 7 1 vv O a b 【补充例补充例】同轴圆筒同轴圆筒(Ma、Mb)均可自由均可自由 转动转动,外筒开始静止。内筒开有许多小孔外筒

54、开始静止。内筒开有许多小孔, 内表面散布着一薄层沙内表面散布着一薄层沙(M0),以以 0匀速转匀速转 动动,沙飞出并附着在外筒内壁。单位时间沙飞出并附着在外筒内壁。单位时间 喷出沙的质量为喷出沙的质量为k,忽略沙的飞行时间忽略沙的飞行时间,求求t 时刻两筒角速度。时刻两筒角速度。 解：解：以内筒与沙作为系统，角动量守恒以内筒与沙作为系统，角动量守恒 0 2 0 aMM a 0 22 0 ktaaktMM aa 0 a 以喷出的沙与外筒作为系统，角动量守恒以喷出的沙与外筒作为系统，角动量守恒 bb bktMkta 2 0 2 0 2 2 bktM kta b b 2. 有一个小块物体，置于一个光

55、滑的水平桌面上，有一有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一 绳其上一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，绳其上一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔， 该物体原以角速度在距孔为该物体原以角速度在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从的圆周上转动，今将绳从 小孔缓慢往下拉，则物体小孔缓慢往下拉，则物体 A）动能不变，动量改变。）动能不变，动量改变。 B）角动量不变，动量不变。）角动量不变，动量不变。 C）动量不变，动能改变）动量不变，动能改变 。 D）角动量不变，动能、动量都改变。）角动量不变，动能、动量都改变。 课堂练习课堂练习 1 质点系的内力可以改变质点系的内力可以改变 A）系统的

56、总质量。）系统的总质量。B）系统的总动量。）系统的总动量。 C）系统的总动能。）系统的总动能。D）系统的总角动量。）系统的总角动量。 f f r v O Q gm m T R v 圆锥摆，已知小球作水圆锥摆，已知小球作水 平匀速圆周运动。那么平匀速圆周运动。那么 课堂练习课堂练习 A）小球小球 m m 对对参考点参考点O O的角动量守恒的角动量守恒。 B）小球小球 m m 对对参考点参考点Q Q的角动量守恒的角动量守恒。 C）小球小球 m m 对任何对任何参考点参考点的角动量守恒的角动量守恒。 2.4 2.4 对称性与守恒定律对称性与守恒定律 2.4.1 对称性对称性 德国数学家魏尔（H. Weyl） 对称性：系统在某种变换下具有的不变性。对称性：系统在某种变换下具有的不变性。 镜面反演对称性镜面反演对称性 镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的变换。 一个系统若在镜面反演变换下保持不变， 则称这一系统具有镜面反演对称性。 空间平移对称性空间平移对称性 系统在空间平移，即在 )( 为常矢量RRrr 变换下具有的