第十五章 动荷载交变应力

1、第第 十五十五 章章 动荷载动荷载 交变应力交变应力 151 概述概述 152 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算 153 构件受冲击荷载作用时的动应力计算构件受冲击荷载作用时的动应力计算 155 交变应力下材料的疲劳破坏交变应力下材料的疲劳破坏 疲劳极限疲劳极限 内容提要内容提要 重点、难点重点、难点 动荷载作用下应力与强度计算动荷载作用下应力与强度计算 匀加速直线运动和等速转动问题匀加速直线运动和等速转动问题 冲击问题冲击问题 疲劳破坏问题疲劳破坏问题 交变应力交变应力 静荷载静荷载：荷载由零缓慢增长至最终值，然后保持不变。构件内各：荷

2、载由零缓慢增长至最终值，然后保持不变。构件内各 质点加速度很小质点加速度很小,可略去不计。可略去不计。 动荷载动荷载：荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳定（包：荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳定（包 括大小、方向），构件内各质点加速度较大。括大小、方向），构件内各质点加速度较大。 材料力学中将动荷载分为四类材料力学中将动荷载分为四类 (1) 构件做变速运动时应力与变形的计算构件做变速运动时应力与变形的计算 (2) 在冲击荷载作用下构件的应力与变形的计算在冲击荷载作用下构件的应力与变形的计算 (3) 构件做强迫振动时应力的计算构件做强迫振动时应力的计算 (4) 交变应力交变应力

3、 152 构件做等加速直线运动和等速转动时的构件做等加速直线运动和等速转动时的 动应力计算动应力计算 除外加荷载外，再在构件的各点加上惯性力，除外加荷载外，再在构件的各点加上惯性力， 按求静荷载问题的程序，求得构件的动应力。按求静荷载问题的程序，求得构件的动应力。 例题例题：一起重机绳索以加速度：一起重机绳索以加速度 a 提升一重为提升一重为 G 的物体，设绳的物体，设绳 索的横截面面积为索的横截面面积为 A ，绳索单位体积的重量，绳索单位体积的重量 ，求距绳索下求距绳索下 端为端为 x 处的处的 mm 截面上的应力。截面上的应力。 G a x mm G a x mm G a A G a 物体

4、的惯性力为物体的惯性力为 a g G a g G 绳索每单位长度的惯性力为绳索每单位长度的惯性力为 a g A a g A 绳索的重力集度为绳索的重力集度为 ： A a x mm G a A G a a g G a g A a g A A a g G G a x mm a g A A a g G G a g A A a g A A x mm a g G G Nd )(1 (AxG g a Nd a g A A x mm a g G G Nd )(1 (AxG g a Nd 静止时绳索静止时绳索mm截面上截面上 的轴力为的轴力为 AxG Nj 引入引入 g a Kd 1 则则NKN jdd Kd

5、 称为动荷系数称为动荷系数 A x mm G Nj a g A A x mm a g G G Nd )(1 (AxG g a Nd AxG Nj NKN jdd A x mm G Nj 绳索中的动应力为绳索中的动应力为 jd j d d dK A N K A N j 为静荷载下为静荷载下绳索中的绳索中的静静应力应力 a g A A x mm a g G G Nd A x mm G Nj强度条件为强度条件为 jddK Kd j 或或 当材料中的应力不超过比例极限时荷载与变形成正比当材料中的应力不超过比例极限时荷载与变形成正比 jddK d 表示动表示动变形变形 j 表示静表示静变形变形 结论结论

6、 只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数 Kd 即得动载下的应力与变形。即得动载下的应力与变形。 例题例题：一平均直径为：一平均直径为 D 的薄圆环，绕通过其圆心且垂于环的薄圆环，绕通过其圆心且垂于环 平面的轴作等速转动。已知环的角速度为平面的轴作等速转动。已知环的角速度为 ，环的横截面面环的横截面面 积为积为A，材料的容重为，材料的容重为 。求圆环横截面上的正应力。求圆环横截面上的正应力。 r o 因圆环很薄，可认为圆环上各因圆环很薄，可认为圆环上各 点的向心加速度相同，等于圆环中点的向心加速度相同，等于圆环中 线上各点的向心加速度。线上各点的向心加速度

7、。 2 2 D r o 解：解： 因为环是等截面的，所以相同长度的任一段质量相等。因为环是等截面的，所以相同长度的任一段质量相等。 加在环上的惯性力必然是沿轴线均匀分布的线分布力。加在环上的惯性力必然是沿轴线均匀分布的线分布力。 其上的惯性力集度为其上的惯性力集度为 g DAD g A qd 2 ) 2 )( 1 ( 2 2 r o pd y Rd Nd Nd d ) 2 (d D qd g DAD g A qd 2 ) 2 )( 1 ( 2 2 y Rd Nd Nd d ) 2 (d D qd g D A d g D A d D qR d d 2 sin 4 sin 2 22 0 22 0

8、g D A R N d d 42 22 g D A Nd d 4 22 当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的运动将受阻当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的运动将受阻 而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲击作用。而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲击作用。 在冲击过程中，运动中的物体称为在冲击过程中，运动中的物体称为 阻止冲击物运动的构件，称为阻止冲击物运动的构件，称为 153 构件受冲击荷载作用时的动计算应力构件受冲击荷载作用时的动计算应力 Ud VT T、V 是是 冲击物冲击物 在冲击过程中所在冲击过程中所 减少的减少的 动能和势能。动能和势能。 Ud 是是 被冲击物被冲击物

9、 所所 增加的增加的 应变能。应变能。 机械能守恒定律机械能守恒定律 一，自由落体冲击一，自由落体冲击 假设：假设： （1） 不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触后无反弹，不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触后无反弹， 成为一个运动系统。成为一个运动系统。 （3） 过程中只有位能，动能与应变能的转化，略去其它能量的过程中只有位能，动能与应变能的转化，略去其它能量的 损失。损失。 （2）被冲击物的质量与冲击物相比很小可略去不计，冲击应力）被冲击物的质量与冲击物相比很小可略去不计，冲击应力 瞬间传遍被冲击物，材料服从虎克定律。瞬间传遍被冲击物，材料服从虎克定律。 已知：一重量为已知：一重量

10、为 P的重物由高度为的重物由高度为 h 的位置自由下落的位置自由下落,与一块和直与一块和直 杆杆AB 相连的平板发生冲击。杆的横截面面积为相连的平板发生冲击。杆的横截面面积为A。 求：冲击应力求：冲击应力。 A P B h l A B d d P A P B h l 重物是冲击物，杆重物是冲击物，杆 AB（包括圆盘）是被冲击物。（包括圆盘）是被冲击物。 冲击物减少的势能：冲击物减少的势能：)( h PV d 动能无变化：动能无变化： 0T A B d d P A P B h l AB 增加的应变能：增加的应变能： dddPU 2 1 ddd PhP 2 1 根据能量守恒定理：根据能量守恒定理：

11、 EA lP d d dd l EA P 2 )( 2 1 2 1 dddd l EA PU A B d d P A P B h l EA lP st 2 )( 2 1 d d l EA hP st l EA P A B P st A B d d P A P B h l A B P st 022 2 h stdstd st std h2 11 st d h2 11k 称为自由落体冲击的动荷系数称为自由落体冲击的动荷系数 A P B h l A B A B d d P P st stddK P KPdd stddK 为冲击物以静载方式作用在冲击点时。冲击点的静位移。 为冲击物以静载方式作用在冲击

12、点时。冲击点的静位移。 例题例题： 图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物冲击，图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物冲击， 已知弹簧刚度已知弹簧刚度 K=100KN/mm，h=50mm，G=1KN，钢梁的，钢梁的 I=3.04107mm4，W=3.09 105mm3，E=200GPa。试比较。试比较 两者的冲击应力。两者的冲击应力。 G h l/2l/2 G h l/2l/2 G h l/2l/2 l/2l/2 G 解：冲击点的静位移解：冲击点的静位移 mm EI Gl st1027. 8 48 2 3 8 .34 2 11 st d h K MPa W Gl st 43. 2 4 MP

13、a Kstdd 5 .84 解：冲击点的静位移解：冲击点的静位移 mm K G EI Gl st 08. 5 248 3 55. 5 2 11 st d h K MPa W Gl st 43. 2 4 MPa Kstdd 5 .13 G h l/2l/2 G l/2l/2 例例 题题： 图示钢索下端挂重图示钢索下端挂重 G=50KN 的物体，其上端绕于的物体，其上端绕于 可自由转动的滑轮上，物体以可自由转动的滑轮上，物体以 v=1m/s 匀速下降，当钢索长匀速下降，当钢索长 度度 l=20m 时，将滑轮突然制动，已知钢索材料的弹性模量时，将滑轮突然制动，已知钢索材料的弹性模量 E=170GPa

14、，钢索横截面面积为，钢索横截面面积为 A=500mm2，重力加速度，重力加速度 g=9.8m/s2 ，试求动荷系数，试求动荷系数 Kd 及钢索中动应力及钢索中动应力 d 。 A B G l A B G l d j 解：（解：（1）冲击过程中重物）冲击过程中重物 所减少的能量所减少的能量 g P T 2 2 d 为滑轮被卡住后长为为滑轮被卡住后长为 l 的吊索在的吊索在冲击冲击荷载荷载 Pd 作用下的总伸长作用下的总伸长 j 为滑轮被卡住前一瞬为滑轮被卡住前一瞬 间由于重物间由于重物 P 所引起的所引起的 静伸长静伸长 A B G l A B G l d j 冲击物位能的减少为冲击物位能的减少为

15、 )( jd PV )( 2 2 jd P g P VT 冲击物在冲击过程中冲击物在冲击过程中 减少的总能量减少的总能量 A B G l A B G l d j （2）计算在冲击过程）计算在冲击过程 中吊索内所增加的应变能中吊索内所增加的应变能 滑轮被卡住前一瞬间，滑轮被卡住前一瞬间， 吊索内已有应变能吊索内已有应变能 j P 2 1 滑轮被卡后吊索内应变能滑轮被卡后吊索内应变能 ddP 2 1 冲击过程中吊索内所增加的应变能冲击过程中吊索内所增加的应变能 jdd P P U 2 1 2 1 jddjd P P P g P 2 1 2 1 )( 2 2 由能量守恒定律由能量守恒定律 EA l

16、Pd d EA l P j 02 2 2 jdjd g jd j jdK g )1 ( 2 95. 311 22 Gl EA gg K j d MPa A G KKdjdd 395 l B A 二二 、水平冲击、水平冲击 已知：等截面杆已知：等截面杆AB在在 C 处受一重量为处受一重量为 G，速度为，速度为 v 的物体沿的物体沿 水平方向冲击水平方向冲击 。 a C v 求：杆在危险点处的求：杆在危险点处的 d 。 22 2 1 2 1 v g P mvT 解：解： 冲击过程中小球冲击过程中小球动能减少动能减少为为 l B A a C v B A C G d Pd 位能位能 没有改变没有改变

17、V = 0 ddd PU 2 1 杆应变能的可用冲击力杆应变能的可用冲击力 Pd 所所作的功作的功表示。表示。 d 是被是被击击点处的点处的冲击冲击挠度挠度 l B A a C v B A C G d Pd EI aPd d 3 3 dd a EI P 3 3 2 3 ) 3 ( 2 1 2 1 d ddd a EI PU 由机械能守恒定律由机械能守恒定律 U VT d 2 3 2 ) 3 ( 2 1 2 d a EI g Pv ) 3 ( 32 EI Pa g v d l B A a C v B A C G d Pd ) 3 ( 32 EI Pa g v d B A a C st EI Pa

18、 st 3 3 冲击物的重量冲击物的重量 P以以静载方式静载方式作用作用 在冲击点时，在冲击点时，冲击点冲击点的静位移的静位移 ) 3 ( 32 EI Pa g v d EI Pa st 3 3 g v EI Pa g v st std 232 ) 3 ( g v K st st d d 2 Kd 称为水平冲击时的动荷系数称为水平冲击时的动荷系数 stddK stddK l B A a C v B A a C st 当杆受当杆受静水平力静水平力 P 作用时，作用时， 杆的固定端外缘是危险点。杆的固定端外缘是危险点。 W Pa W M st max st 是所求点处的静应力。是所求点处的静应力。

19、 杆危险点处的杆危险点处的冲击应力冲击应力为为 W Pa g v K st stdd 2 155 交变应力下材料的疲劳破坏交变应力下材料的疲劳破坏 疲劳极限疲劳极限 交变应力的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异，故表交变应力的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异，故表 征材料抵抗交变应力破坏能力的强度指标也不同。征材料抵抗交变应力破坏能力的强度指标也不同。 下图为交变应力下具有代表性的正应力下图为交变应力下具有代表性的正应力时间曲线。时间曲线。 一，交变应力一，交变应力 t o 一个应力循环一个应力循环 基本参数基本参数 应力每重复变化一次，称为应力每重复变化一次，称为 r 表示表示交变应力的交

20、变应力的 循环特征循环特征 t o 一个应力循环一个应力循环 max min 在拉，压或弯曲交变应力下在拉，压或弯曲交变应力下 max min r 在扭转交变应力下在扭转交变应力下 max min r t o 一个应力循环一个应力循环 max min 最大应力和最小应力的差值，称为交变应力的最大应力和最小应力的差值，称为交变应力的 。 minmax minmax 注意注意 最大应力和最小应力都是代正负号的，这里以最大应力和最小应力都是代正负号的，这里以 绝对值绝对值 较大者为最大应力，并规定它为正号，而与正号应力较大者为最大应力，并规定它为正号，而与正号应力 反向的最小应力则为负号。反向的最小应力则为负号。 t o max min 1，在交变应力下若最大应力与小等值而反号，在交变应力下若最大应力与小等值而反号 （ min = - max 或或 min = - max ） 1 max min r r= -1 时的交变应力，称为时的交变应力，称为 交变应力。交变应力。 t o max min=0 2， 时的交变应力，称为时的交变应力，称为 交变应力。交变应力。1r （1）若）若 交变应力中的最小应力等于零（交变应力中的最小应力等于零（ min） 0 max min r r=0 的交变应力，称为的交变应力，称为 交变应力交变应力 （2）r 0 为同号应力循环；为同号应力循环； r