工程力学05-杆件的内力图

1、Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 p构件内力图概念、画法构件内力图概念、画法 p杆件基本变形时内力图的表示杆件基本变形时内力图的表示 p内力图沿杆轴线的分布规律内力图沿杆轴线的分布规律 p最大内力与危险截面的确定最大内力与危险截面的确定 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本

2、方法 5.1.1 5.1.1 整体平衡与局部平衡的概念整体平衡与局部平衡的概念 弹性杆件在外力作用下若保持平衡弹性杆件在外力作用下若保持平衡 则，从其上截取任意部分也必须保持平衡则，从其上截取任意部分也必须保持平衡 弹性体平衡原理弹性体平衡原理 整体平衡整体平衡局部平衡局部平衡 A B m m F FB MB x l F m m A x Fs M Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 5.1.2 5.1.2 杆

3、件横截面上的内力与外力的相依关系杆件横截面上的内力与外力的相依关系 1 1）相依关系）相依关系 当杆件上的外力沿杆的轴线方向发生当杆件上的外力沿杆的轴线方向发生“突变突变” 时，内力的变化规律也将发生突变时，内力的变化规律也将发生突变 2 2）外力突变概念）外力突变概念 指指：有集中力、集中力偶作用情形；分布载荷有集中力、集中力偶作用情形；分布载荷 间断或分布载荷集度发生突变的情形间断或分布载荷集度发生突变的情形 F1F2 B A q(x) M0y x Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineer

4、ing .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 5.1.2 5.1.2 杆件横截面上的内力与外力的相依关系杆件横截面上的内力与外力的相依关系 1 1）内力变化规律）内力变化规律 F1F2 B A q(x) M0y x 指指：表示内力变化的函数或变化的图线表示内力变化的函数或变化的图线 即即：如果在两个外力作用点之间的杆件上没有如果在两个外力作用点之间的杆件上没有 其它外力作用，则这一段杆件上所有截面上的内其它外力作用，则这一段杆件上所有截面上的内 力可以用同一数学方程或同一图线描述力可以用同一数学方程或同一图线描述 内力方程内力方程 内力图内力图 Bengbu

5、 college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 5.1.3 5.1.3 控制面控制面 1 1）控制面（点）控制面（点） 指指：在一段杆件上，内力按一种函数规律变化，在一段杆件上，内力按一种函数规律变化， 这一段杆的两端截面称为这一段杆的两端截面称为“控制面控制面” 即即：内力函数的定义域的两个端点：内力函数的定义域的两个端点 F1F2 B A q(x) M0y x 2 2）控制截面的确定）控制截面的确定 集度相同、连续变化的分布力起

6、点和终点集度相同、连续变化的分布力起点和终点 集中力作用点两侧集中力作用点两侧 集中力偶作用点两侧集中力偶作用点两侧 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 5.1.4 5.1.4 杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则 1 1）正负号规定的目的）正负号规定的目的 为保证在同一杆件截取的两侧截面上的内力为保证在同一杆件截取的两侧截面上的内力 具有相同的正、负号和相同的数值，规定截面两具有相同的正、负号和

7、相同的数值，规定截面两 侧的内力分量的正负号规则是必需的。侧的内力分量的正负号规则是必需的。 2 2）内力分量的正负号规定）内力分量的正负号规定 轴力轴力FN：“受拉为正，受压为负受拉为正，受压为负” 剪力剪力FQ：使截开部分杆件产生：使截开部分杆件产生“顺为正，逆为负顺为正，逆为负” 弯矩弯矩M：依截面：依截面“左逆右顺左逆右顺”为正为正 扭矩扭矩Mx：扭矩矢量：扭矩矢量“外法线外法线”为正为正 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基

8、本方法基本概念与基本方法 5.1.4 5.1.4 杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则 3 3）内力分量的正负号规则图例）内力分量的正负号规则图例（轴力、扭矩）（轴力、扭矩） F m m FN m m F FN Me m m Mx x n m m Me Mx n Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 5.1.4 5.1.4 杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则 3 3）内力分量的正负号规

9、则图例）内力分量的正负号规则图例（剪力、弯矩）（剪力、弯矩） FQ FQ FQ FQ +- M M +- Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.1 基本概念与基本方法基本概念与基本方法 5.1.5 5.1.5 截面法确定指定横截面上的内力分量截面法确定指定横截面上的内力分量 1 1）基本步骤）基本步骤 首先求出所有的外力（若需要）首先求出所有的外力（若需要） 在需要求内力的截面处假想地将杆件截开在需要求内力的截面处假想地将杆件截开 保留一个部分（左边或

10、右边）考察平衡保留一个部分（左边或右边）考察平衡 根据外力情况在截面上加上相应的内力分量根据外力情况在截面上加上相应的内力分量 根据局部平衡，建立平衡方程根据局部平衡，建立平衡方程 解方程求出内力分量解方程求出内力分量 特别说明特别说明：添加内力分量时，设其为正号添加内力分量时，设其为正号 若求值为正内力与所设方向相同，否则相反若求值为正内力与所设方向相同，否则相反 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 应用举例应用举例 例例4-1 l MO =2FPl

11、l C D B A FP 图示一端固定一端自由的梁（悬臂梁）。图示一端固定一端自由的梁（悬臂梁）。 承受一集中力承受一集中力FP及集中力偶及集中力偶MO作用。作用。 试确定截面试确定截面C及截面及截面D上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 解：解： MO =2FPl l C D B FP MC FQC A）求）求C截面剪力和弯矩截面剪力和弯矩 1 1）假想从截面）假想从截面C处截开，取右侧研究处截开，取右侧研究 2 2）在截面）在截面C处标上剪力处标上剪力FQC和弯矩和弯矩MC 3 3）以该段列平衡方程）以该段列平衡方程 S SFy= 0 FQC FP =0 S SMMC= 0 0 MC + MO

12、 FPl =0 解得：解得：FQC=FP MC = MO FPl = 2FPl FPl = FPl Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 应用举例应用举例 例例4-1 l MO =2FPl l C D B A FP 图示一端固定一端自由的梁（悬臂梁）。图示一端固定一端自由的梁（悬臂梁）。 承受一集中力承受一集中力FP及集中力偶及集中力偶MO作用。作用。 试确定截面试确定截面C及截面及截面D上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 解：解： MO =2FPl l C

13、 D B FP D B FP D D MC FQC FQD MD B）求）求D截面剪力和弯矩截面剪力和弯矩 1 1）假想从截面）假想从截面D处截开，取右侧研究处截开，取右侧研究 2 2）在截面）在截面D处标上剪力处标上剪力FQD和弯矩和弯矩MD 3 3）以该段列平衡方程）以该段列平衡方程 S SFy= 0 FQD FP =0 S SMMC= 0 0MD FPD D =0 解得：解得：FQD=FP MD = FPD D = 0 # D D00 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w

14、.p_chen工程力学 5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 5.2.1 5.2.1 轴力图轴力图 1 1）轴向载荷与内力分量）轴向载荷与内力分量 沿着杆件轴线方向作用的载荷沿着杆件轴线方向作用的载荷轴向载荷轴向载荷 杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有一个杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有一个 与轴线方向相一致的内力分量与轴线方向相一致的内力分量轴力轴力 2 2）轴力特点与轴力图）轴力特点与轴力图 若杆件只有两端部受力，则杆件的所有截面上轴若杆件只有两端部受力，则杆件的所有截面上轴 力相同力相同 若杆件有多个轴向载荷作用时，载荷作用点之间若杆件有多个轴向载荷作用时，载荷作用点之间 的截面上

15、轴力相同的截面上轴力相同 表示轴力沿杆轴线方向变化的图形表示轴力沿杆轴线方向变化的图形轴力图轴力图 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 应用举例应用举例 例例4-2 F2F1F3 C BA 1 1 2 2 双压手铆机，简化后的力分别为：双压手铆机，简化后的力分别为：F1=2.62kN， F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图示。，计算简图如图示。 求活塞杆截面求活塞杆截面1-1和和2-2上的轴力，并画轴力图。上的轴力，并画轴力图。 F1 p2

16、 p3 1 1 2 2 解：解： 简化活塞杆如图简化活塞杆如图 截取杆截取杆1-1截面并取左段研究截面并取左段研究 xFN1 A F1 1 1 用用FN1表示右段对作段的作用力表示右段对作段的作用力 建立坐标并列方程求解建立坐标并列方程求解 S SFx= 0 FN1 + F1 =0 FN1 = - -F1 =- -2.62kN 负号说明该截面为压力负号说明该截面为压力 控制截面控制截面 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 x 应用举例应用举例 例例4-2

17、 F2F1F3 C BA 1 1 2 2 双压手铆机，简化后的力分别为：双压手铆机，简化后的力分别为：F1=2.62kN， F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图示。，计算简图如图示。 求活塞杆截面求活塞杆截面1-1和和2-2上的轴力，并画轴力图。上的轴力，并画轴力图。 F1 p2 p3 1 1 2 2 解：解： 截取杆截取杆2-2截面并取左段研究截面并取左段研究 xFN1 A F1 1 1 FN1 = - -2.62kN 用用FN2表示右段对作段的作用力表示右段对作段的作用力 B F1 F2A 2 2 FN2 建立坐标并列方程求解建立坐标并列方程求解 S SFx= 0 FN2 +

18、 F1 F2=0 FN2 = F2 F1 = 1.32kN 画轴力图画轴力图 x FN/kN 2.621.32 说明：说明：如果截取杆如果截取杆2-22-2截面并截面并 取右段研究，同样可以得到相取右段研究，同样可以得到相 同的答案同的答案 x F3C FN2 2 2 S SFx= 0 FN2 F3= 0FN2= F3 = 1.32kN - - # Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 5.2.2 5.2.2 扭矩图扭

19、矩图 1 1）扭转内力分量与扭矩）扭转内力分量与扭矩 作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化，作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量量扭矩扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到算得到 2 2）功率）功率P、转速、转速n和外力偶矩和外力偶矩T T=9549 (N.m) P n (5-1) 式中：式中： P：功率（：功率（kW)n：转速（：转速（r/min) Bengbu college . The Department of Mechanical

20、 and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 5.2.2 5.2.2 扭矩图扭矩图 3 3）扭矩作法同轴力图）扭矩作法同轴力图 应用举例应用举例 MA MC MB ACB D MD d 传动轴主动轮输入力传动轴主动轮输入力 偶矩偶矩MA=1146N.m，从动，从动 轮轮B、C、D输出力偶矩分输出力偶矩分 别为别为:MB=MC=350N.m， MD=446N.m。 试画轴的扭矩图。试画轴的扭矩图。 解：解：简化结构简化结构 MAMC MB AC B D MD d 确定控制截面确定控制截面 控制面位置表明：控制面位置表

21、明： 杆件分为杆件分为三三段段 即：即：BC，CA，AD Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 x x 5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 5.2.2 5.2.2 扭矩图扭矩图 MA MC MB ACB D MD d MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MAMC MB AC B D MD 求各截面扭矩求各截面扭矩 BC段段 1 1 MB Mx1 S SMMx= 0= 0 Mx1+ MB= 0 Mx1= - - MB =

22、- - 350N.m CA段段 2 2 C B MB MC Mx2 S SMMx= 0= 0 Mx2+ MB + MC= 0 Mx2= - - MB - - MC= - - 700N.m Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 x x x 5.2 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 5.2.2 5.2.2 扭矩图扭矩图 MA MC MB ACB D MD d MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MAMC MB AC B D MD

23、求各截面扭矩求各截面扭矩 BC段段 1 1 MB Mx1 Mx1= - - 350N.m CA段段 2 2 C B MB MC Mx2 Mx2= - - 700N.m AD段段 3 3 Mx3 MD D S SMMx= 0= 0 画扭矩图画扭矩图 - - Mx3+ MD= 0 Mx3= MD = 446N.m x Mx/N.m 350 466 700 + - - # Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 5.3.1 5

24、.3.1 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 1 1）梁弯曲截面内力的特点）梁弯曲截面内力的特点 一般情况下，梁内同时存在剪力和弯矩两种内力一般情况下，梁内同时存在剪力和弯矩两种内力 剪力和弯矩随横截面位置变化的改变而发生变化剪力和弯矩随横截面位置变化的改变而发生变化 描述剪力沿梁长度方向变化的代数方程描述剪力沿梁长度方向变化的代数方程剪力方程剪力方程 描述弯矩沿梁长度方向变化的代数方程描述弯矩沿梁长度方向变化的代数方程弯矩方程弯矩方程 2 2）内力方程）内力方程 3 3）内力方程建立方法）内力方程建立方法 根据作用的外力情况确定控制截面和分段数；根据作用的外力情况确定控制截面和分段数； 在

25、所分的段内取任意截面（坐标为在所分的段内取任意截面（坐标为x) )截开，标出截开，标出 该截面的剪力和弯矩；列出该截面平衡方程。该截面的剪力和弯矩；列出该截面平衡方程。 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 x 应用举例应用举例 例例5-4 试写出图示简支梁在均布载荷作用下的剪试写出图示简支梁在均布载荷作用下的剪 力方程和弯矩方程。力方程和弯矩方程。 q A B l FA FB x 解：解： 1）求出支座反力：）求出支座反力： 2 AB ql FF= 2）

26、确定控制面：）确定控制面：（无需）（无需） 3）取任意）取任意x截面，建立坐标系截面，建立坐标系 A FA x x 4）确定剪力方程和弯矩方程）确定剪力方程和弯矩方程 FQ (x) M(x) S SFy= 0= 0FA- - qx- - FQ(x) = 0 S SMx= 0= 0 M(x) + (qxx/2 ) - -FAx= 0 解得：解得： ( 0 x l )= - - qx ql 2 FQ(x) M(x)( 0 x l ) = x- q 2 x2 ql 2 线性方程线性方程 二次函数二次函数 # Bengbu college . The Department of Mechanical

27、and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 x 应用举例应用举例 例例5-5 l M =2FPl l C B A FP 试写出图示悬臂梁在集中力和集中力偶共试写出图示悬臂梁在集中力和集中力偶共 同作用下的剪力方程和弯矩方程。同作用下的剪力方程和弯矩方程。 解：解： 1）确定控制面）确定控制面 截面截面A、C、B为控制面为控制面 梁分为梁分为AC段和段和CB段段 2）建立坐标系，分段列内力方程）建立坐标系，分段列内力方程 AC段：段： x1 M =2FPl l C B FP 2lx1 FQ (x1) M(x1) S SFy= 0= 0 FQ(x1) -

28、- FP= 0 S SM= 0= 0 - - M(x1) + M - -FP(2l x1) = 0 整理得：整理得： FQ(x1) = FP ( 0 x1 l ) M(x1) = M - -FP(2l x1) = FP x1 ( 0 x1 l ) Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 x 应用举例应用举例 例例5-5 l M =2FPl l C B A FP 试写出图示悬臂梁在集中力和集中力偶共试写出图示悬臂梁在集中力和集中力偶共 同作用下的剪力方程和弯矩

29、方程。同作用下的剪力方程和弯矩方程。 解：解： CB段：段： x1 x2 M =2FPl l C B FP 2lx1 FQ (x1) M(x1) S SFy= 0= 0FQ(x2) - - FP= 0 S SM= 0= 0- - M(x2) - -FP(2l x2) = 0 整理得：整理得： FQ(x2) = FP( l x2 2l ) M(x2) = - -FP(2l x2)( l x2 2l ) B FP 2lx2 FQ (x2) M(x2)AC段：段：FQ(x1) = FP( 0 x1 l ) M(x1) = FP x1 ( 0 x1 0时，剪力图为上升直线，弯矩时，剪力图为上升直线，弯

30、矩 图为凹型曲线；图为凹型曲线；q0时，剪力图为下降直线，弯时，剪力图为下降直线，弯 矩图为凸型曲线矩图为凸型曲线 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 5.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 5.3.3 5.3.3 剪力图与弯矩图的绘制剪力图与弯矩图的绘制 内力图绘制步骤内力图绘制步骤 p根据载荷及约束力作用位置，确定控制截面根据载荷及约束力作用位置，确定控制截面 p应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩 p建立内力与截面位置

31、坐标系，标出内力数值建立内力与截面位置坐标系，标出内力数值 n在在FQ-x中，中，FQ向上为正向上为正 n在在M-x中，中，M向下为正向下为正 p应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和 弯矩图形状弯矩图形状 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 应用举例应用举例 例例5-6 1.5m1.5m1.5m A F M=1kM.m F=2kN B CD E 简支梁简支梁AF受力及尺寸如图示。试画该受力及尺寸如图示。试画该

32、梁的剪力图和弯矩图，并确定梁的剪力图和弯矩图，并确定| |FQ| |max和和 | |M| |max之值。之值。 解：解：1 1）求支座约束力 ）求支座约束力 FAyFFy FAy= 0.89kN FFy= 1.11kN 2 2）确定控制面）确定控制面 梁分梁分AB、CD、EF三段：三段： A、B、C、D、E、F 3 3）建立内力坐标系）建立内力坐标系 x FQ x M 4 4）求各控制面剪力和弯矩）求各控制面剪力和弯矩 A截面：截面：FQ= 0.89kN M= 0 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical E

33、ngineering .w.p_chen工程力学 应用举例应用举例 例例5-6 1.5m1.5m1.5m A F M=1kM.m F=2kN B CD E 剪力图和弯矩图，确定剪力图和弯矩图，确定| |FQmax| |和和| |Mmax| |之值。之值。 FAyFFy x FQ x M A截面：截面： FQ= 0.89kN， M= 0 B截面：截面： FQ= 0.89kN M= 1.335kN.m C截面：截面： FQ= 0.89kN M= 0.335kN.m D截面：截面： FQ= 0.89kN M= 1.665kN.m E截面：截面： FQ= 1.11kN M= 1.665kN.m F截面：截面： FQ= 1.11kN M= 0 5 5）标出各控制面内力值）标出各控制面内力值 0.89 1.11 1.335 0.335 1.665 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学 应用举例应用举例 例例5-6 1.5m1.5m1.5m A F M=1kM.m F=2kN B CD E 剪力图和弯矩图，确定剪力图和弯矩图，确定| |FQ| |max和和| |M| |max之值。之值。 FAyFFy x FQ x M 6 6）绘制各段内力图