《理论力学》第三章力系的平衡条件及其应用

1、1 2 31 空间力系的平衡条件及其应用空间力系的平衡条件及其应用 32 平面力系的平衡条件及其应用平面力系的平衡条件及其应用 33 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 34 刚体系统的平衡刚体系统的平衡 35 平面静定桁架的内力分析平面静定桁架的内力分析 习题课习题课 3 一、空间任意力系的平衡充要条件一、空间任意力系的平衡充要条件 ()0 OOi MMF 00 i FF 222 ()()() ixiyiz FFFF 又 222 ( )( )( ) Oxyz MMFMFMF 所以空间一般力系的平衡方程为：所以空间一般力系的平衡方程为： 0,()0 0,()0 0,()0 ixxi

2、iyyi izzi FMF FMF FMF 还有四矩式，五矩式和六矩式，还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。同时各有一定限制条件。 4 空间汇交力系的平衡方程为：空间汇交力系的平衡方程为： 因为各力线都汇交于一点，因为各力线都汇交于一点， 各轴都通过该点，故各力矩各轴都通过该点，故各力矩 方程都成为了恒等式。方程都成为了恒等式。 0 0 0 ix iy iz F F F 空间平行力系的平衡方程为：空间平行力系的平衡方程为： 设各力线都设各力线都 / z 轴。轴。 ()0 0 0 zi ix iy MF F F 因为因为均为恒等式均为恒等式 0 ()0 ()0 iz xi yi

3、F MF MF 5 二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转 动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有 阻碍就有约束反力。阻碍就有约束反力。 1、球铰链、球铰链 6 2、向心轴承，蝶铰链，滚珠（柱）轴承、向心轴承，蝶铰链，滚珠（柱）轴承 7 3、导向轴承、导向轴承 4、带有销子的夹板、带有销子的夹板 8 5、止推轴承、止推轴承 6、空间固定端、空间固定端 9 例例1 1、镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力、镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力F Fz z， 径向力径向力F F

4、y y，轴向力，轴向力F Fx x的作的作 用。各力的大小用。各力的大小F Fz z=5000N=5000N， F Fy y=1500N=1500N， F Fx x=750N=750N，而刀尖，而刀尖B B 的坐标的坐标x x =200mm=200mm， y y =75mm=75mm，z z =0=0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A A的约束力。的约束力。 10 1、取镗刀杆为研究对象：、取镗刀杆为研究对象： 解：解： 2、受力分析、受力分析 刀杆根部是空间固刀杆根部是空间固 定端约束，可有作用在定端约束，可有作用在 A点的三个正交分力和点的三个正交分力和

5、 作用在不同平面内的三作用在不同平面内的三 个正交力偶表示约束反个正交力偶表示约束反 力。力。 11 0 ix F 0 Axx FF 0 iy F 0 Ayy FF 0 iz F 0 Azz FF 0.0750 Axz MF0 x M 0 y M 0.20 Ayz MF 0 z M 0.0750.20 Azxy MFF 4、联立求解联立求解 750 N , Ax F 1500 N , Ay F 5000 N Az F 375 N m , Ax M1000 N m , Ay M 243.8 N m Az M 3、列平衡方程列平衡方程 12 例例2、某种汽车后桥半轴可看成支承、某种汽车后桥半轴可看

6、成支承 在各桥壳上的简支梁。在各桥壳上的简支梁。A处是径向止处是径向止 推轴承，推轴承， B处是径向轴承。已知汽车处是径向轴承。已知汽车 匀速直线行驶时地面的法向约束力匀速直线行驶时地面的法向约束力 FD=20kN，锥齿轮上受到有切向力锥齿轮上受到有切向力Ft , 径向力径向力Fr ，轴向力，轴向力Fa的作用。已知：的作用。已知： Ft=117kN， Fr=36kN， Fa=22.5kN， 锥齿轮的节圆平均直径锥齿轮的节圆平均直径d=98cm，车轮，车轮 半径半径r=440cm，l1=300cm，l2=900cm， l3=80cm。如果不计重量，试求地面的。如果不计重量，试求地面的 摩擦力和摩

7、擦力和A，B两处轴承中约束力的大两处轴承中约束力的大 小。小。 13 3、列平衡方程列平衡方程 解：解： 1、取整体系统为研究对象：取整体系统为研究对象： 2、受力分析如图、受力分析如图 t 0 AxBx FFFF a 0 Ay FF r 0 DAzBz FFFF 0 ix F 0 iy F 0 iz F 14 12r23a 0 2 DBx d F lF lF llF t 0 2 d FrF 12t23 0 Bx FlF lF ll 0, x M 0, y M 0, z M 3、联立求解联立求解 7 kN , Ax F 28.6 kN Az F 123 kN , Bx F 13 kN F 44

8、.6 kN , Bz F 22.5 kN , Ay F 15 一、平面力系的平衡充要条件一、平面力系的平衡充要条件 ()0 OOi MMF 00 i FF 22 ()() ixiy FFF 又 ()0 Oi MF 0 ix F 0 iy F 平面力系平衡方程的基本形式平面力系平衡方程的基本形式 （一矩式）（一矩式） 16 0 ix F ()0 Ai MF ()0 Bi MF 二矩式二矩式 条件：条件：x 轴不轴不 AB连线连线 ()0 Ai MF ()0 Bi MF ()0 Ci MF 三矩式三矩式 条件：条件：A,B,C不在同一直线上不在同一直线上 17 平面汇交力系的平衡方程为：平面汇交力

9、系的平衡方程为： 0 0 ix iy F F 平面平行力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程为： (设各力作用线平行设各力作用线平行y轴）轴） 0 ()0 iy Oi F MF （一矩式）（一矩式） ()0 ()0 Ai Bi MF MF 条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线 （二矩式）（二矩式） 平面力偶系的平衡方程为：平面力偶系的平衡方程为： 0 i M 18 例例1、伸臂式起重机如图所示伸臂式起重机如图所示 ，匀质伸臂，匀质伸臂AB重重G =2200N， 吊车吊车D，E连同吊起重物各重连同吊起重物各重 F1= =F2=4000N。有关尺寸为：。有关尺寸为：

10、 l= =4.3m，a=1.5 m，b=0.9 m， c=0.15 m，=25。试求铰链。试求铰链 A对臂对臂AB的水平和铅直约束力的水平和铅直约束力 ，以及拉索，以及拉索BF 的拉力的拉力。 19 1、取伸臂、取伸臂AB为研究对象为研究对象 2、受力分析如图、受力分析如图 解：解： 20 3、列平衡方程列平衡方程 0 ix F cos0 AxB FF 0 iy F 12 sin0 AyB FFGFF 0, A MF 12 cossin0 2 BB l FaGFlbFcFl 4. .联立求解。联立求解。 FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N 21 例例

11、2 2、梁、梁AB上受到一个均上受到一个均 布载荷和一个力偶作用布载荷和一个力偶作用 ，已知载荷集度（即梁，已知载荷集度（即梁 的每单位长度上所受的的每单位长度上所受的 力）力）q=100=100N/ /m，力偶矩，力偶矩 大小大小M=500=500Nm。长度。长度 AB=3=3m，DB=1=1m。求活。求活 动铰支动铰支D和固定铰支和固定铰支A的的 约束力约束力。 22 解：解： 1.1.取梁取梁ABAB为研究对象。为研究对象。 FD 23 3、选如图坐标系，列平衡方程、选如图坐标系，列平衡方程 FD 0 ix F 0 Ax F 0 iy F 0 AyD FFF 0 Ai MF 2 m0 2

12、 D AB FFM 24 例例3、自重为、自重为G=100kN的的 T字形刚架字形刚架ABD，置于铅置于铅 垂面内，载荷如图所示，垂面内，载荷如图所示， 其 中其 中 M = 2 0 k N m ， F=400kN，q=20kN/m， l=1m。试求固定端。试求固定端A的约的约 束力。束力。 l q 60 G 25 1、取、取T 字形刚架为研究对象字形刚架为研究对象 B 解：解： 2、受力分析、受力分析 60 l q 60 G 26 3、按图示坐标，列写平衡方程、按图示坐标，列写平衡方程 1 1 0 sin 600 0 cos 600 0 cos 60sin 6030 x Ax y Ay A

13、A F FFF F FPF MF MMFlFlFl 4、联立求解联立求解 1 1 sin 60316.4 kN cos 60100 kN cos 603sin 60789.2 kN m Ax Ay A FFF FPF MMF lFlFl B 60 27 例例4、塔式起重机如图所示。机架、塔式起重机如图所示。机架 重重G1=700kN，作用线通过塔架的，作用线通过塔架的 中心。最大起重量中心。最大起重量G2=200kN，最，最 大悬臂长为大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间距的间距 为为4m。平衡荷重。平衡荷重G3到机身中心线到机身中心线 距离为距离为6m。试问：。试问： (1)保证起重机在满载

14、和空载时都保证起重机在满载和空载时都 不翻倒，求平衡荷重不翻倒，求平衡荷重G3应为多少应为多少? (2)当平衡荷重当平衡荷重G3=180kN时，求时，求 满载时轨道满载时轨道A，B给起重机轮子的给起重机轮子的 约束力？约束力？ A F B F 28 3min12 3min 0 6 m2 m2 m12 m2 m0 75 kN B M GGG G 3max1 3max 0 6 m2 m2 m0 350 kN A M GG G 解：解： A F B F 29 312 312 0 6 m2 m2 m12 m2 m4 m0 0 0 A B iy AB M GGGF F GGGFF 870 kN 210

15、kN B A F F A F B F 30 F1 60 F2 例例5、外伸梁的尺寸及载荷如图所示，、外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5kN，M=1.2kNm，l1=1.5m， l2=2.5m，试求铰支座，试求铰支座A及支座及支座B的约束力。的约束力。 31 1、取梁为研究对象、取梁为研究对象 0.75 kN Ax F 3.56 kN By F 0.261 kN Ay F 4、 解方程 解：解： 0 ix F 2cos60 0 Ax FF 0 A M 21 1212 ()sin600 By F lMFlF ll 0 iy F 12 sin600 AyBy FFFF 3、列平

16、衡方程、列平衡方程 60 2、受力分析、受力分析 F1 60 F2 32 静定静不定 静定问题静定问题 当系统中未知量数目等于或少于独当系统中未知量数目等于或少于独 立平衡方程数目时的问题。立平衡方程数目时的问题。 静不定问题静不定问题 当系统中未知量数目多于独立平衡当系统中未知量数目多于独立平衡 方程数目时，不能求出全部未知量方程数目时，不能求出全部未知量 的问题。的问题。 33 静不定静不定 (1次）次）静定静定 静不定静不定 (2次）次）静不定静不定 (3次）次） 34 一、一、 概念概念 刚体系统刚体系统：由若干个刚体通过约束组成的系统由若干个刚体通过约束组成的系统。 外力外力：刚体系

17、统以外任何物体作用于该系统的力。：刚体系统以外任何物体作用于该系统的力。 内力内力：刚体系统内部各物体间互相作用的力：刚体系统内部各物体间互相作用的力。 二、二、 刚体系统平衡方程数目刚体系统平衡方程数目 由由n个刚体构成的刚体系统个刚体构成的刚体系统 n1个平面力系个平面力系 n2个平面汇交力系或平面平行力系个平面汇交力系或平面平行力系 n3个平面力偶系个平面力偶系 系统平衡方程的个数为：系统平衡方程的个数为：m=3n1+2n2+n3 35 例例1、组合梁、组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端为活端为活 动铰链支座。受力如图所示。已知：动铰链支座。受力如

18、图所示。已知： l=8m，F=5kN，均布载，均布载 荷集度荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小M=5kNm，试求固端，试求固端A，铰，铰 链链C和支座和支座E的约束力。的约束力。 36 解：解： 2、受力分析、受力分析 0 ix F 0 Cx F 0 C M 0 482 E lll qMF 3、列平衡方程列平衡方程 1、取、取CE段为研究对象段为研究对象 0 iy F 0 4 CyE l FqF 4、求解得： FE=2.5kN， FCy=2.5kN 一：一： 37 3、列平衡方程、列平衡方程 1、取、取AC段为研究对象段为研究对象 3 0 8482 ACy llll MFq

19、F 0 A M 0 4 AyCy l FFFq 0 iy F Cy F Cx F 2、受力分析、受力分析 二： 0 AxCx F F 0 ix F 38 例例2、三铰拱桥如图所示，由三铰拱桥如图所示，由 左右两段借铰链左右两段借铰链C连接起来，连接起来， 又用铰链又用铰链A，B与基础相连接。与基础相连接。 已知每段重已知每段重G=40kN，重心分，重心分 别在别在D，E处，且桥面受一集处，且桥面受一集 中载荷中载荷F=10kN。设各铰链都。设各铰链都 是光滑的，试求平衡时，各铰是光滑的，试求平衡时，各铰 链中的力。尺寸如图所示链中的力。尺寸如图所示。 G F 3 m G 1 m 6 m6 m

20、6 m 39 G F 3 m G 1 m 6 m6 m 6 m FBy FBx FAy FAx 解：解： 2、受力分析、受力分析 3、列平衡方程列平衡方程 1、取、取整体整体为研究对象为研究对象 一：一： 113120 Ay GFGF 0 B M 119120 By GFGF 0 A M FAy= 42.5 kN FBy= 47.5 kN 0 ix F 0( ) AxBx FFa 40 3、列平衡方程、列平衡方程 1、取、取AC段为研究对象段为研究对象 2、受力分析、受力分析 二： 0 ix F 0 AxCx FF 0 iy F 0 AyCy FFG 0 C M 6650 AxAy FFG F

21、Ax= 9.2 kN FCx = 9.2 kN FCy= 2.5 kN 解得：解得： FAx带入（带入（a）式可求）式可求FBx 41 例例3、A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为处均为光滑铰链，物块重为 G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的的E点，点， 各构件自重不计，试求各构件自重不计，试求B处的约束力。处的约束力。 42 520 Ax rGrF 0 C M 220 BxByE rFrFrF0 A M 0 AxBxE FFF0 ix F 1.5 , Bx FG 2 By FG 2.5 Ax FG 一： 二： FAy FAx FCx FCy G FBx

22、FAy FAx FBy FE 43 例例4、如图所示，已知重力、如图所示，已知重力 G，DC=CE=AC=CB=2l； 定滑轮半径为定滑轮半径为R，动滑轮半，动滑轮半 径为径为r，且，且R=2r=l, =45。 试求：试求：A，E支座的约束力支座的约束力 及及BD杆所受的力。杆所受的力。 44 5 25 88 13 sin 45 8 AEx EyA G FGF G FGF sin 450 AEy FFG 解：解： 一： 0 E M 5 220 2 A FlGl 0 ix F cos 450 AEx FF 0 iy F 45 二： cos 45220 DBKEy FlFlFl 0 C M 32

23、8 D B G F DB F Cy F Cx F 46 一、概念一、概念 桁架：桁架：一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成， 受力后几何形状不变的结构。受力后几何形状不变的结构。 平面桁架：平面桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。所有杆件都在同一平面内的桁架。 节节 点：点：桁架中杆件的铰链接头。桁架中杆件的铰链接头。 杆件内力：杆件内力：各杆件所承受的力。各杆件所承受的力。 47 桁架结构桁架结构 48 无余杆桁架：无余杆桁架： 如果从桁架中任意抽去一根杆件，如果从桁架中任意抽去一根杆件， 则桁架就会活动变形，即失去形状则桁架就会活动变形，即失去形状

24、 的固定性。的固定性。 49 有余杆桁架：有余杆桁架：如果从桁架中抽去某几根杆件，桁架如果从桁架中抽去某几根杆件，桁架 不会活动变形，即不会失去形状的固不会活动变形，即不会失去形状的固 定性。定性。 50 简单平面桁架：简单平面桁架：以一个铰链三角形框架为基础，每增以一个铰链三角形框架为基础，每增 加一个节点需增加二根杆件，可以加一个节点需增加二根杆件，可以 构构 成无余杆的平面桁架。成无余杆的平面桁架。 51 二、桁架计算的常见假设二、桁架计算的常见假设 1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。 2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。桁

25、架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。 3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端 的节点上，这样的桁架称为理想桁架。的节点上，这样的桁架称为理想桁架。 52 桁架结构的优点桁架结构的优点 可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量， 节约材料。节约材料。 简单平面桁架的静定性简单平面桁架的静定性 当简单平面桁架的支座反力不多于当简单平面桁架的支座反力不多于3个时，求其个时，求其 杆件内力的问题是静定的，否则不静定。杆件内力的问题是静定的，否则不静定。 53 三、三、计算计算桁架杆件内力的方法桁架杆件内力的方

26、法 节点法节点法 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁应用共点力系平衡条件，逐一研究桁 架上每个节点的平衡。架上每个节点的平衡。 截面法截面法 用应用平面任意力系的平衡条件，研用应用平面任意力系的平衡条件，研 究桁架由截面切出的某些部分的平衡。究桁架由截面切出的某些部分的平衡。 54 例例1 1、如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力、如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力 FC=4 kN，水平力，水平力FE=2 kN。 解：解： 1、取整体为研究对象取整体为研究对象 2、受力分析如图、受力分析如图 55 3、列平衡方程列平衡方程 0 AxE FF 0 ix F 0 BAyC FFF 0 iy F 30 CEB FaFaFa0 A M 4、联立求解联立求解 FAx= 2 kN FAy= 2 kN FB = 2 kN 56 5、取节点取节点A，受力分析如图受力分析如图 解得解得 2 2 kN AF F 4kN AC F 列平衡方程列平衡方程 cos450 AxACAF FFF 0 ix F cos450 AyAF FF 0 iy F 57 6 6、取节点、取节点F，受力分析如图，受力分析如图 解得解得 2kN FE F 2kN FC F 列平衡方程列平衡方程 0 ix F cos450 FEFA FF 0 iy F cos450 FCFA FF