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文档简介
1、经济数学基础积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( a ) ay = x2 + 3 by = x2 + 4 cy = 2x + 2 dy = 4x 2. 若= 2,则k =( a ) a1 b-1 c0 d 3下列等式不成立的是( d ) a b c d 4若,则=(d ).a. b. c. d. 5. ( b ) a b c d 6. 若,则f (x) =( c ) a b- c d- 7. 若是的一个原函数,则下列等式成立的是( b ) a bc d 8下列定积分中积分值为0的是( a ) a b c d 9下列无穷积分中收敛的是( c ) a
2、b c d10设(q)=100-4q ,若销售量由10单位减少到5单位,则收入r的改变量是( b ) a-550 b-350 c350 d以上都不对 11下列微分方程中,( d )是线性微分方程 a b c d 12微分方程的阶是(c ).a. 4 b. 3 c. 2 d. 113在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1, 3)的曲线为( c )a b c d 14下列函数中,( c )是的原函数a- b c d 15下列等式不成立的是( d ) a b c d 16若,则=(d ).a. b. c. d. 17. ( b ) ab c d 18. 若,则f (x) =( c )a b- c
3、 d- 19. 若是的一个原函数,则下列等式成立的是( b ) a bc d 20下列定积分中积分值为0的是( a ) a b c d 21下列无穷积分中收敛的是( c ) a b c d 22下列微分方程中,( d )是线性微分方程 a b c d 23微分方程的阶是(c ).a. 4 b. 3 c. 2 d. 124.设函数,则该函数是( a ).a. 奇函数 b.偶函数 c.非奇非偶函数 d.既奇又偶函数25. 若,则( a )a. b. c. d. 26. 曲线在处的切线方程为( a ). a b c d 27. 若的一个原函数是, 则=(d) ab c d 28. 若, 则( c )
4、. a. b. c. d. 二、填空题1 2函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数) 3若,则.4若,则= .50. 607无穷积分是收敛的(判别其敛散性)8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q,且r (0) = 0,则平均收入函数为2 + 9. 是 2 阶微分方程. 10微分方程的通解是1112。答案:13函数f (x) = sin2x的原函数是14若,则. 答案:15若,则= . 答案:16. 答案:017答案:018无穷积分是答案:1 19. 是 阶微分方程. 答案:二阶20微分方程的通解是答案: 21. 函数的定义域是(-2,-1)u(-1,222. 若,则4 23.
5、 已知,则=27+27 ln324. 若函数在的邻域内有定义,且则1.25. 若, 则-1/2 (三) 判断题11. . ( )12. 若函数在点连续,则一定在点处可微. ( ) 13. 已知,则= ( )14. . ( ). 15. 无穷限积分是发散的. ( 三、计算题 解 2 2解 3 3解 4 4解 = =5 5解 = = 6 6解 7 7解 = 88解 =-=9 9解法一 = =1 解法二 令,则 =10求微分方程满足初始条件的特解10解 因为 , 用公式 由 , 得 所以,特解为 11求微分方程满足初始条件的特解11解 将方程分离变量: 等式两端积分得 将初始条件代入,得 ,c =
6、所以,特解为: 12求微分方程满足 的特解. 12解:方程两端乘以,得 即 两边求积分,得 通解为: 由,得 所以,满足初始条件的特解为: 13求微分方程 的通解13解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnc sinx 通解为 y = ec sinx 14求微分方程的通解.14. 解 将原方程化为:,它是一阶线性微分方程, ,用公式 15求微分方程的通解 15解 在微分方程中,由通解公式 16求微分方程的通解 16解:因为,由通解公式得 = = = 17 解 = = 18 解: 19解:= 20 解: =(答案: 21 解: 22 解 =23 24. 2526设,求 27. 设,
7、求. 28设是由方程确定的隐函数,求.29设是由方程确定的隐函数,求.30. 31.32. 33.34.35. 36. 37. 四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低. 1解 当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 = 100(万元) 又 = = 令 , 解得. x = 6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2(元/件),固定成本为0,边际收益(x)=12-0.02
8、x,问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化? 2解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0,得x = 500 x = 500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值. 所以,当产量为500件时,利润最大. 当产量由500件增加至550件时,利润改变量为 =500 - 525 = - 25 (元)即利润将减少25元. 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台),边际收入为(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化? 3. 解 (x) =(x)
9、-(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10(百台)又x = 10是l(x)的唯一驻点,该问题确实存在最大值,故x = 10是l(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大. 又 4已知某产品的边际成本为(万元/百台),x为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本. 4解:因为总成本函数为 = 当x = 0时,c(0) = 18,得 c =18即 c(x)= 又平均成本函数为 令 , 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时,平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5设生产某产品的总成
10、本函数为 (万元),其中x为产量,单位:百吨销售x百吨时的边际收入为(万元/百吨),求: (1) 利润最大时的产量;(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化? 5解:(1) 因为边际成本为 ,边际利润 = 14 2x 令,得x = 7 由该题实际意义可知,x = 7为利润函数l(x)的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 (万元)即利润将减少1万元. 6投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增
11、至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 = 100(万元) 又 = = 令 , 解得. x = 6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.7已知某产品的边际成本为(万元/百台),x为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本. 解:因为总成本函数为 = 当x = 0时,c(0) = 18,得 c =18即 c(x)= 又平均成本函数为 令 , 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时,平均成本最低. 最底平均成本为 (万元
12、/百台) 8生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台),边际收入为(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?解:已知(x)=8x(万元/百台),(x)=100-2x,则令,解出唯一驻点 由该题实际意义可知,x = 10为利润函数l(x)的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台,利润的改变量为(万元)即利润将减少20万元. 9设生产某产品的总成本函数为 (万元),其中x为产量,单位:百吨销售x百吨时的边际收入为(万元/百吨),求: (1) 利润最大时的产量;
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