222反证法学案（人教A版选修1-2）

1、22.2反证法课标解读1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点)2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(难点)反证法【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】实质运用了反证法的思想1反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明

2、假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.用反证法证明否(肯)定式命题设函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用【自主解答】假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0(nZ)而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，ab为偶数，则an2bnc

3、为奇数，即n(anb)为奇数n，anb均为奇数又ab为偶数，ana为奇数，即a(n1)为奇数，n1为奇数，这与n为奇数矛盾f(x)0无整数根1对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的2常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在已知非零实数a、b、c成等差数列ac，求证：，不可能成等差数列【证明】假设，成等差数列，则，又a、b、c成等差数列，2bac，b，(ac)20，即ac.这与ac

4、矛盾故假设错误，原命题正确.用反证法证明“唯一性”命题若函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断开，f(a)0，f(b)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再用反证法证明零点唯一【自主解答】由于f(x)在a，b上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，即f(a)f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)0，则nm.若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即0

5、0，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个【证明】如图所示假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为和，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面，且与、分别交于过点A的直线c、d，由b，知bc，同理bd，故cd，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立.用反证法证明“至多、至少”问题已知x，y0，且xy2.求证：，

6、中至少有一个小于2.【思路探究】明确“至少”的含义对结论作出假设得出矛盾【自主解答】假设，都不小于2，即2，2.x0，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)即xy2，这与已知xy2矛盾，中至少有一个小于2.常见结论词与反设词列表如下：原结论词等于()大于()小于()对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个反设词不等于()不大于()不小于()存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个在本例中，若x，y0且xy2，求证：，中至少有一个不小于2.【证明】假设，都小于2.则1x2y,1y2x，那么2xy2与已知xy2矛盾所以假设不成立，原命题成立.利用反证法证题时，假设错误而致误已知a，b

7、，c是互不相等的非零实数求证：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有0”，事实上，方程没有两个相异实根时0.【防范措施】用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都

8、是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根1反证法：假设原命题的反面正确，根据

9、已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾从而说明假设不正确，得出原命题正确2反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便3反证法的基本步骤是：(1)反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立1用反证法证明“如果ab，那么”的假设内容应是()A.B.C. D【解析】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“”【答案】C2否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为()A存在一个三角形，其外角最

10、多有一个钝角B任何一个三角形的外角都没有两个钝角C没有一个三角形的外角有两个钝角D存在一个三角形，其外角有两个钝角【解析】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【答案】A3用反证法证明命题：若a、b是实数，且|a1|b1|0，则ab1时，应作的假设是_【解析】“ab1”的否定为“a1或b1”，故应填a1或b1.【答案】a1或b14证明方程2x3有且仅有一个实根【证明】2x3，x，方程2x3至少有一个实根设x1，x2是方程2x3的两个不同实根，则由得2(x1x2)0，x1x2，这与x1x2矛盾故假设不正确，从而方程2x3有且仅有一个实根.一、选择题1应用反证法推出矛盾的推导过程中，

11、要把下列哪些作为条件使用()结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论ABCD【解析】由反证法的定义可知应选C.【答案】C2(2013海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60时，应假设()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60【解析】三个内角至少有一个不大于60，即有一个、两个或三个不大于60，其反设为都大于60，故B正确【答案】B3实数a，b，c不全为0等价于()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，

12、b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D.【答案】D4(1)已知p3q32，求证pq2.用反证法证明时，可假设pq2.(2)已知a，bR，|a|b|2；(2)的假设正确【答案】D5下列命题不适合用反证法证明的是()A同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B两个不相等的角不是对顶角C平行四边形的对角线互相平分D已知x，yR，且xy2，求证：x，y中至少有一个大于1【解析】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明【答案】C二、填空题6命题“三角形中最多只有一

13、个内角是直角”的否定是_【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角【答案】“三角形中最少有两个内角是直角”7用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为_【解析】“a、b全为0”即“a0且b0”，因此它的反设为“a0或b0”【答案】“a、b不全为0”8用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_【答案】三、解答题9(2013泰安高二检测)用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x25xm0与2x2x6m0至少有一个有实数根【解】假设存在实数m，使得这两个方程都没有实数根，则解得无解与假设存在实数m矛盾故无论m取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根10已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0.【证明】假设a0，由abc0得bc0，由abc0，得bca0，于是abbccaa(bc)bc0，这与已知矛盾又若a0，则ab