高等数学电子教案(大专版)

1、高等数学教案第一讲 函数与极限1.函数的定义 设有两个变量x，y。对任意的xd，存在一定规律f，使得y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数。记作y=f(x)，xd。其中x叫自变量，y叫因变量。函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。例1：设f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2f(x)=2x2 x 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：分母不等于0 偶次根式被开方数大于或等于0 对数的真数大于0 例2 求函数y=+arcsin的定义域.解：要使

2、函数有定义，即有： 于是，所求函数的定义域是：-3，-23，4.例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx2与y=2lnx (2)=与y= 解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c为常数) 幂函数： y=（为常数）指数函数：y=(a0，a1，a为常数)对数函数：y=(a0，a1，a为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=a

3、rccotx（2）复合函数 设其中，且的值全部或部分落在的定义域内，则称为的复合函数，而称为中间变量.例4：若y=，u = sinx，则其复合而成的函数为y=，要求u必须0，sinx0，x2k，+2k例5：分析下列复合函数的结构（1）y= （2）y=解：（1）y=，u=cosv，v=（2）y=，u=sinv，v=，t=x+1例6：设f(x)= g(x)= 求fg(x) gf(x)解：fg(x)=f()=()=4 gf(x)=g()=2 3. 极限（1）定义 函数y=f(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x，或+或），因变量y无限接近于一个确定的常数a，则称函数f(x)以a为极限。定理

4、1 函数 当时的极限存在的充分必要条件是，当时的左右极限都存在并且相等.即 例7：判断下列函数在指定点的是否存在极限 （当时） （当时）解： ， 函数在指定点的极限不存在。 ， 函数在指定点的极限=04.无穷小量与无穷大量极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；若（或）,则称为当（或 ）时的无穷大量,简称无穷大。例如：，所以，当x0时，sin x 是无穷小量。同样，当x0时 (0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。当x+时， ，所以是无穷小量.无穷小量的性质：（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量。（2）无穷小量与有界量之积是无穷小量。推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。推论

5、2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）5.极限的运算设在同一变化过程中（此处省略了自变量的变化趋势，下同）及都存在，则有下列运算法则：法则1、f(x)g(x)= f(x) g(x)法则2、f(x) g(x)= f(x) g(x)法则3、=（g(x)0） (1)直接代入求值例8 求(3x-4x+1)解：(3x-4x+1)=32-42+1=5例8 求解：= -例10 求解：=（2）型例11 求解：=小结：时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之（3）-型，型，例12 求下列函数极限 1、（-） 2、 3、解：1、（-）=12、=3、=0（4）利用两个重要极限1 =

6、1 特点：它是“”型 （三角形代表同一变量） 例13 求解： =2注：1=0例14 求解： =1例15 求解： =例16 求解：原式=2 （1+） = e 特点：（） (1+无穷小) ，即1型；（）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数， 推广： 例17 （1+）解：原式=例18 （1+） 解：原式=（1+）（1+）=（1+）（1+）=例19 （1+）解：原式=（1+）=（5）利用常用的几个等价无穷小代换：当时，有 x；tanxx；arcsinxx；arctanxx；cosx； ln(1+x) x；x；。例20 求解：=例21 求解：=例22 求解：=例23 解：=注：1用等价代换时，必须对分

7、子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换）2分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。（6）利用函数的连续性定义1 设y=f(x)在点的某邻域上有定义，如果自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即则称f(x)在点是连续的。定义2 设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，若，则称函数f(x)在点处连续。定义3（间断点的分类）：设是的一个间断点，如果：（1）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当，则称为的跳跃间断点（2）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当存在，但不等于，则称为的可去间断点（3）除（1）（2）以外的，称为的第二类间断点，当=，称为的无穷间断点。例2

8、4 设，讨论f(x)在x=1处的连续性。解：f(1)=1 f(x)= =1， f(x)= (x+1)=2即f(x)不存在，x=1是第一类间断点，且为跳跃间断点。例25 设，讨论f(x)在x=0处的连续性。解：f(0)=1 x=0是第一类间断点，且为可去间断点。例26 在x=1是什么间断点。解：函数在x=1处没有定义，且= 则x=1为f(x)的无穷间断点。例27 求极限解：在处连续 =ln(sin)=ln1=0例28 求极限解：=，复合函数是由lnu和u=组成，又=e，在u=e点lnu连续。=例29 证明方程至少有一个根介于1和2之间。证明： 设f(x)= ，在（）连续，又f(1)=1-3-1=

9、-30时y=lnf(x),当f(x)0时,y=ln(-f(x),例9 求的导数. 解:（3）、反函数的求导法则定理 如果单调连续函数x=在点y 处可导，而且，那么它的反函数y=f(x)在对应的点x处可导，且有 。 例10 求 导数解： 特别：例11 设 （u为实数），求.解： 例12 设求解：（4）、隐函数求导法：例13 求由方程所确定的隐函数的导数解：方程两端对求导：有 即注意：表达式允许有含y的式子；例14 求曲线在点（2，2）处的切线方程；分析：（1）关键求斜率k;(2 )由导数几何意义知：可用隐函数求导法来解决；解：方程两边对x求导： 所求切线方程：（5）对数求导法步骤：（1）两边取对

10、数；（2）两边对x求导；它适合于含乘、除、乘方、开方的因子所构成的比较复杂的函数。例15 设y=求：解：两边先取绝对值，再取对数，得例16 求y=的导数解：两边取对数， lny=sinxlnx等式两端对求导 lnx（6）由参数方程所确定的函数求导法 若参数方程 确定y与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数. 其求导法则是： 例17 求摆线 (0)，（1）在任何点的切线斜率；（2）在处的切线方程. 解：（1）易知 k=；（2）当t=时，摆线上对应点为（），在此点的切线斜率为切线方程 ，即y。（7）高阶导数例18 求函数 的二阶及三阶导数。解： 例19 求n次多项式 的

11、各阶导数。解： 每经过一次求导运算，多项式的次数就降低一次，继续求导得：; 这是一个常数，所以 .=0 这就是说，n次多项式的一切高于n阶的导数都是零。例20 求指数函数 的n阶导数；解： 依次类推：例21 求方程 ， 所确定的函数的一阶导数及二阶导数.解：6函数的微分 若函数在点处的改变量，可表示为。其中为常数，则函数在点处可微，称为函数在点的微分，记为 且有，则例22 求函数在x=1，时的改变量及微分.解：，在点 x=1处， 所以 定理 函数y=f(x)在点处可微 f(x)在处可导例23 设 ，求dy解：例24 设，求dy 解： 例25 求方程 确定的隐函数y=f(x)的微分dy及导数 解

12、：对方程两边求微分，得，即 第三讲 中值定理及导数应用1. 柯西中值定理与洛必达法则定理（柯西中值定理）如果函数满足下列条件：（1） 在闭区间a,b上连续；（2） 在开区间(a,b)上可导；（3） 在（a,b）内的每一点均不为零，那么，在（a,b）内至少存在一点 , 使得定理（洛必达法则）若 （1）；（2） f(x)与g(x)在的某个邻域（点除外）可导，且0； （3）（a为有限数，也可为）则 例1 求 解： =例2 求解：例3 求解：=1例4 求解： 例5 求解：例6 求 2.拉格朗日中值定理及函数的单调性定理（拉格朗日中值定理）如果函数满足下列条件：（1） 在闭区间a,b上连续（2） 在开区

13、间(a,b)内可导，则在区间(a,b)上至少存在一点，使得。 推论 如果函数f(x)在区间(a,b)内满足，则在(a,b)内f(x)=c (c为常数)推论 如果对(a,b)内任意x，均有，则在(a,b)内f(x)与g(x)之间只相差一个常数，即 f(x)=g(x)+c （c为常数） 定理 设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)可导，则有（1）如果在(a,b)内，则函数f(x)在a,b上单调递增；（2）如果在(a,b)内，则函数f(x)在a,b上单调递减。例7 讨论函数的单调性。解：令得驻点：，将定义域分为三个部分区间时，当有，有；当时，有；当时有，因此，由定理2知，函数在区间上单调减少，在

14、区间（0，2）上单调增加。3.函数的极值与最值（1）极值的定义 设函数f(x)在的某个邻域内有定义，且对此邻域内任意一点x()，均有，则称是函数的一个极大值；同样，如果对此邻域内的任一点x（），均有，则称是函数的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点，称为极值点. 定理1（极值的必要条件） 设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则（2）函数极值的判别法定理（第一充分条件） 设函数f(x)在点处连续，在点的某一个空心邻域内可导，当x由小到大经过点时，如果1）由正变负，那么是函数f(x)极大值点；2）由负变正，那么是函数f(x)极小值点；3）不变号，那么不是极值点。定理（

15、第二充分条件）设函数f(x)在点处具有二阶导数且1）如果，则在点处取得极大值；2）如果，则在点处取得极小值。例7 求函数f(x)=的极值。解法1：因为 f(x)=的定义域为(),令，得驻点为.在内，在(1,3)内，故f(1)=4为函数f(x)的极大值。同理知f(3)=0为f(x)极小值。解法2：因为f(x)的定义域为，且,令，得驻点为。又因为，所以f(1)=4为极大值，所以，f(3)=0为极小值。例8 求函数的极值。解：因为 f(x)的定义域为，且在上连续，且x=1时，不存在，所以x=1为f(x)的可能极值点。在内，在内，,故在x=1处取得极大值。（3）最大值与最小值某些优先问题可归结为求函数

16、f(x)在区间i上的最大值与最小值，求连续函数f(x)在闭区间a, b上最大（小）值的一般步骤是：1）求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x1, x2,。xn,;2）计算出函数值f(x1), f(x2), f(xn);以及f(a)与f(b);3）比较上述值的大小.例9 求函数在-3,4上的最值。解：因为f(x)在 -3,4 上连续，所以在该区间上存在最大和最小值。又因为，令，得驻点。由于比较各值，可得f(x)最大值为128，最小值为-7。例10 有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x，问高x取何值时水槽的流量最大。解：设两边各折

17、起，则横截面积为s(x)=2x(a-x)(0x0时，故y=lnx在内是向下凹的。（2）拐点及其求法若连续函数f(x)的点p是曲线上凹和下凸的分界点，则称点p是曲线的拐点。由于拐点是曲线凹向的分界点，则在拐点两侧近旁必异号。故拐点横坐标只能是使的点或是不存在的点。所以可得其求法：1)先求出，找出在(a,b)内使的点和不存在的点；2)用上述点将(a,b)分成若干小区间，再在每个小区间上考察的符号；3)若在某点两侧近旁异号，则该点是拐点，否则不是。例11 求曲线的凹向及拐点，并画草图。解；因为定义域为，且，令得 x=0用x=0将分成两小区间当时，曲线下凹；当时，曲线上凹所以，点x=0为拐点。（3）渐

18、近线若曲线c上的动点p沿着曲线无限地远离原点时，点p与某一固定直线l的距离趋近于零，则称l为曲线c的渐近线。 斜渐近线 若满足：（1）；（2）则曲线y=f(x)有斜渐近线为y=kx+b.例12 求曲线的斜渐近线解：令， 因为所以斜渐近线为铅直渐进线 若时（有时仅当或），有，则称直线为曲线的铅直渐近线。（其中c为常数）水平渐进线 若当时，（c为常数）则称曲线y=f(x)有水平渐近线（4）函数的图形的描绘函数作图的步骤如下：（1）确定函数的定义域，判断函数是否有奇偶性，周期性；（2）求出，并求出使；在定义域内的所有点x及，不存在点；（3）这些点将定义域分成若干小区间，在各小区间内确定的符号，由此确

19、定每个区间上函数图像的单调性，凹凸性，极值点和拐点。（4）确定函数的渐进线；（5）求出极值点，拐点对应的纵坐标，必要时可再补充一些特殊点；（6）描点并根据上述结果绘出函数的图形。例13 描绘函数的图象解；函数的定义域为的全体实数，且当时，有，即时，图象在轴的下方；当时，有，图象在轴的上方.由于，所以，时为曲线的铅直渐进线又因为，所以，为水平渐进线；因为，令，得，又时，不存在。极小值故可画出图象（略）。第四讲 不定积分与定积分1. 不定积分（1）不定积分的概念设f (x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数f(x)，使得f(x) = f (x) 或d f(x) = f (x)dx ,则称f(x)

20、为f (x) 的一个原函数. 函数f (x)的全体原函数叫做f (x)的不定积分，记为 = f(x)+ c，其中 f/(x) = f (x)。例1 求下列不定积分（1）； （2）。解：（1）因为 = ，所以=+c（2）因为x0时, = ,又x0函数f（x）=当时单调增加例35 设是由方程+=0所确定的函数，求解： 方程两边同时对x求导得：（+）/=0 （）/+（）/=0 +=0 =4.定积分的应用（1）平面图形的面积（平面直角坐标系情况下）例36 求由抛物线与直线所围成的图形的面积解： 的解为 或 积分区间为0，2 微元q=（- ）dx a=（2）旋转体体积 例37 已知球体的半径为，求球体的

21、体积 解：在一象限中，圆的方程为： 即： 在0，r上任取一点x，则体积的微元为 故。第五讲 空间解析几何与向量代数1. 向量的线性运算a b c d a b c （1）向量的加法（三角形法则，平行四边形法则） （2）向量与数的乘法 例1 在平行四边形abcd中, 设=a, =b. 试用a和b表示向量、, 其中m是平行四边形对角线的交点. 解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a b c d m a+b, 即 -(a+b), 于是 (a+b). 因为, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a). 由于, 所以(a-b). 2. 利用坐标作向量的线性运算 设a=(ax, ay, az)

22、, b=(bx, by, bz)，即a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk , 则 a+b= (ax+bx, ay+by, az+bz). a-b= (ax-bx, ay-by, az-bz). la= (lax, lay, laz). 利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b/ab=la , 即b/a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 例2、 求解以向量为未知元的线性方程组, 其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次线性方程组, 可得x=2

23、a-3b, y=3a-5b . 以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 例3 已知两点a(x1, y1, z1)和b(x2, y2, z2)以及实数l-1, 在直线ab上求一点m, 使. 解 由于, , 因此 , 从而 . , 这就是点m的坐标. 点m叫做有向线段的定比分点. 当l=1, 点m的有向线段的中点, 其坐标为 , , . 3. 向量的模、方向角、投影 （1）向量的模与两点间的距离公式 , （2）于是点a与点b间的距离为 . 例4 求

24、证以m1(4, 3, 1)、m2 (7, 1, 2)、m3 (5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 因为 | m1m2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | m2m3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | m1m3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, 所以|m2 m3|=|m1m3|, 即d m1 m2 m3为等腰三角形. 例5 已知两点a(4, 0, 5)和b(7, 1, 3), 求与方向相同的单位向量e. 解 因为, , 所以 . （3）方向角与方向余弦 非零向量r与三条坐标轴的夹角a、b、g称为向量r的

25、方向角. 设r=(x, y, z), 则 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg， cosa、cosb、cosg 称为向量r的方向余弦. , , . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1.例6 设已知两点)和b (1, 3, 0), 计算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 4. 数量积 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 例7 已知三点m (1, 1, 1)、a (2, 2, 1)和b (2, 1, 2), 求amb .

26、 解 从m到a的向量记为a, 从m到b的向量记为b, 则amb 就是向量a与b的夹角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因为 ab=11+10+01=1, , . 所以 . 从而 . 5. 向量积 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即c = ab. 数量积的坐标表示: 设a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. ab = ( a

27、y bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 例8 设a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 计算ab . 解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k. 例9 已知三角形abc的顶点分别是a (1, 2, 3)、b (3, 4, 5)、c (2, 4, 7), 求三角形abc的面积. 解

28、根据向量积的定义, 可知三角形abc的面积. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是 . 6. 曲面及其方程 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在这样的意义下, 如果曲面s与三元方程f(x, y, z)=0有下述关系: (1) 曲面s上任一点的坐标都满足方程f(x, y, z)=0; (2) 不在曲面s上的点的坐标都不满足方程f(x, y, z)=0, 那么, 方程f(x, y, z)=0就叫做曲面s的方程, 而曲面s就叫做方程f(x, y, z)=0的图形. 例10 建立球心在点m0(x0, y0, z0)、半径为r的球面的方程

29、. 解 设m(x, y, z)是球面上的任一点, 那么|m0m|=r. 即 , 或 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2. 这就是球面上的点的坐标所满足的方程. 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程. 所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2. 就是球心在点m0(x0, y0, z0)、半径为r的球面的方程. 特殊地, 球心在原点o(0, 0, 0)、半径为r的球面的方程为 x2+y2+z2=r2. 例11 设有点a(1, 2, 3)和b(2, -1, 4), 求线段ab的垂直平分面的方程. 解 由题意知道, 所求的平面就是与a和b等距离的点的几何轨迹. 设

30、m(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有|am|=|bm|, 即 . 等式两边平方, 然后化简得2x-6y+2z-7=0. 这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程. 例12、 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？解 通过配方, 原方程可以改写成(x-1)2+(y+2)2+z2=5. 这是一个球面方程, 球心在点m0(1, -2, 0)、半径为. 一般地, 设有三元二次方程 ax2+ay2+az2+dx+ey+fz+g=0, 这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同

31、, 只要将方程经过配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2. 的形式, 它的图形就是一个球面. （1）旋转曲面 设在yo z 坐标面上有一已知曲线c, 它的方程为f (y, z) =0, 把这曲线绕z轴旋转一周, 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面. 它的方程: , 同理, 曲线c绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为. 例13 直线l绕另一条与l相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角a ()叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点o, 旋转轴为z轴, 半顶角为a的圆锥面的方程. 解 在yo z 坐标面内, 直线l的

32、方程为 z=ycot a , 将方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圆锥面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例14 将zox坐标面上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为; 绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为. 这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面. （2）柱面 柱面: 平行于定直线并沿定曲线c移动的直线l形成的轨迹叫做柱面, 定曲线c叫做柱面的准线, 动直线l叫做柱面的母线. 例15 方程x2+y2=r2表示怎样的曲面？ 解 在空间直角坐标系中, 过xoy 面上的圆x2+y

33、2=r2作平行于z轴的直线l , 则直线l上的点都满足方程x2+y2=r2, 因此直线l一定在x2+y2=r2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xoy 面上的圆x2+y2=r2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xoy 面上的圆x2+y2=r2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线. 一般地, 只含x、y而缺z的方程f(x, y)=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xoy 面上的曲线c: f(x, y)=0. 例如, 方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱面, 它的准线是xoy 面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面.

34、又如, 方程 x-y=0表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xoy 面的直线 x-y=0, 所以它是过z 轴的平面. 类似地, 只含x、z而缺y的方程g(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程h(y, z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面. 例如, 方程 x-z=0表示母线平行于y轴的柱面, 其准线是zox 面上的直线 x-z=0. 所以它是过y轴的平面. 7. 空间曲线及其方程 （1）空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设f(x, y, z)=0和g(x, y, z)=0是两个曲面方程, 它们的交线为c. 因为曲线c上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方

35、程组. 例16 方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xoy 面上的圆, 圆心在原点o, 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面, 由于它的准线是zox 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线. （2）空间曲线的参数方程 空间曲线c的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将c上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: . 当给定t=t1时, 就得到c上的一个点(x1, y1, z1); 随着t的变动便得曲线c上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 例17 如果空间一点m 在

36、圆柱面x2+y2=a2 上以角速度w绕z轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数), 那么点m构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程. 解 取时间t为参数. 设当t=0时, 动点位于x轴上的一点a(a, 0, 0)处. 经过时间t, 动点由a运动到m(x, y, z)(图7-44). 记m在xoy 面上的投影为m, m的坐标为x, y,0. 由于动点在圆柱面上以角速度w 绕 z 轴旋转, 所以经过时间t,aom= w t. 从而 x=|om|cosaom=acos w t, y=|om|sinaom=asin w t,由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的

37、正方向上升, 所以 z=mm=vt .因此螺旋线的参数方程为 , 也可以用其他变量作参数; 例如令q=w t, 则螺旋线的参数方程可写为 , 其中, 而参数为q . （3）空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线c的一般方程为. 设方程组消去变量z后所得的方程 h(x, y)=0 , 这就是曲线c关于xoy面的投影柱面. 曲线c在xoy 面上的投影曲线的方程为: . 例18、求由上半球面和锥面所围成立体在xoy面上的投影. 解 由方程和消去z 得到x2+y2=1. 这是一个母线平行于z轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线c关于xoy面的投影柱面, 因此交线c在xoy面上的投影曲线为

38、 . 这是xoy面上的一个圆, 于是所求立体在xoy面上的投影, 就是该圆在xoy面上所围的部分:x2+y21. 8. 平面及其方程 （1）平面的点法式方程 当平面p上一点m0 (x0, y0, z0)和它的一个法线向量n=(a, b, c)为已知时, 平面方程为: a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0. 例1 9 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为(x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 例20 求过三点m1(2, -1, 4)、m2(-1, 3, -2)和m3

39、(0, 2, 3)的平面的方程. 解 我们可以用作为平面的法线向量n. 因为, , 所以 . 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0, 即 14x+9y- z-15=0. （2）平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程 ax+by+cz+d=0 来表示 . 例21 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即a=0; 另一方面表明 它必通过原点, 即d=0. 因此可设这平面的方程为 by+cz=0. 又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3b-c=0, 或c=-3b . 将其代入所设方程并除以b (b0), 便得所求的平面方程为y-3z=0. 例22 设一平面与x、y、z轴的交点依次为p(a, 0, 0)、q(0, b, 0)、r(0, 0, c)三点, 求这平面的方程(其中a0, b0, c0). 解 设所求平面的方程为 ax+by+cz+d=0.