安徽省 普通高等学校专升本招生考试 高等数学历年真题及答案解析 ~

1、题 号一二三四总 分分 数绝密启用前安徽省2007年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。得 分评卷人一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。1下列各结函数中表示同一函数的是 （ ）a bc d2设 ( )a bc d3当 ( )a高阶无穷小 b等价无穷小 c低阶无穷小 d同阶无穷小4 ( )a b c d5若函数在此区间内是 ( )a单减且是凹的 b单减且是凸的 c单增且是凹的 d单增且是凸的6设 ( ) a b

2、c d7由直线轴旋转一周所得的旋转体积为 ( )a b c d8设 （ ）a b c d9四阶行列式第二行的元素依次为1,-2,5,3，对应的余子式的值依次为4，3，2，9，则该行列式的值为 （ ）a35 b7 c-7 d-3510设 （ ）a bc d得 分评卷人二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。11由参数方程_.12_ .13微分方程的特解为_.14设_.15幂级数_.16设_.17_.18矩阵.19设矩阵方程_.20设随机变量x的分布列为则概率 .得 分评卷人三、计算题：本大题共9个小题，其中第21-27小题每题7分，第28-29小题每题8分，共6

3、5分。解答应写出文字说明，计算应写出必要的演算步骤。21求极限.得 分22求函数.得 分23计算不定积分.得 分24.计算定积分.得 分25判别无穷级数的敛散性.得 分26设函数得 分27计算二重积分.得 分28求解线性方程组.得 分29设随机变量密度函数为求：（1）常数a; （2）x落在（1，+）内的概率； （3）数学期望ex,方差dx.得 分得 分评卷人四、证明与应用题：本大题共3小题，第30-31题每题8分，第32题9分，共25分。30证明：当.得 分31设证明:.得 分32在第一象限内，求曲线使在该点处的切线与曲线及两个坐轴所围成的面积最小，并求最小值.得 分题 号一二三四总 分分 数

4、绝密启用前安徽省2008年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。得 分评卷人一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。1函数的定义域为 （ ）a b c d2设函数，则x=0是的 ( )a可去间断点 b跳跃间断点 c无穷间断点 d振荡间断点3当时，无穷小量是无穷小量x3的 （ ）a高阶无穷小量 b低阶无穷小量c同阶但非等价无穷小量 d等价无穷小量 4若函数在区间上 ( )a单调增加且凹 b单调增加且凸c单调减少且凹 d

5、单调减少且是凸5已知则 ( )a4 b c2 d6设，交换积分次序得 （ ）a bc d 7设 （ ）a b c d8设a是二阶可逆矩阵，且已知，其中为a的转置矩阵，则a= ( ) a b c d9将两个球随机地投入四盒子中，则后面两个盒子中没有球的概率为 ( )a b c d10设随机变量x服从正态分布,且,则概率等于 ( )a0.6 b0.3 c0.2 d0.1得 分评卷人二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。11_.12曲线在点m (1，1)处的切线方程是_ .13函数在0，1上满足拉格朗日中值定理的= 14_.15设，则全微分_.16级数收敛域为_.

6、17矩阵，且a的秩为2，则常数t=_.18矩阵，则_.19设随机变量x服从二项分布b(20，p),且数学期望e(2x+1)=9,则p=_.20已知, 则 = 得 分评卷人三、解答题：本大题共11个小题，其中第21-26小题每题7分，第27-29小题每题8分，第30-31小题每题12分，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21已知,求常数a,b.得 分22设函数,求得 分23求不定积分.得 分24.计算.得 分25求微分方程满足条件的特解.得 分26设得 分27求二重积分.得 分28已知线性方程组,问a取何值时该线性方程组有解?在有解时求出线性方程组的通解.得 分29已知为n维向量

7、,且秩()=2, 秩()=3.证明:（1）能由线性表示;（2）不能由线性表示.得 分30已知连续型随机变量x的分布函数为求: (1) 常数c; (2) x的概率密度;(3)概率px e(x )得 分得 分安徽省2009年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1 试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2 答卷前将密封线内的项目填写清楚。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内。1是时，函数为无穷小量的是（ ）a充分条件 b必要条件c充分必要条件 d既非充分又非必要条件2设函数在处连续，则（

8、）a1 bc d3函数在区间（3，5）内是（ ）a单调递增且凸 b单调递增且凹c单调递减且凸 d 单调递减且凹4已知则（ ）a bc d5设，交换积分次序得（ ）a bc d6下列级数中发散的是（ ）a b c d7已知的伴随矩阵），则（ ）a2 b3 c4 d58已知向量，则（ ）a线性相关 b 线性相关c 线性无关 d线性相关9学习小组有10名同学，其中6名男生，4名女生，从中随机选取4人参加社会实践活动，则这4人全为男生的概率是（ ）a b c d10已知（ ）a0.7 b0.46 c0.38 d0.24二、填空填：本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。11设函数

9、_12已知_13设函数=_14曲线的拐点是_15_16幂级数的收敛半径为_17_18如果行列式0，则x=_19设随机变量x服从二项分布，且数学期望方差2.4，则n_20设_三、解答题：本大题共8小题，其中第21-25题每题7分，第26-27题每题8分，第28题12分，共63分。21求极限22求不定积分23求定积分24求微分方程的通解25求二重积分所围成的区域。26求线性议程组的通解27已知矩阵，且，求矩阵x.28已知连续开题随机变量x的密度函数为：且数学期望求，（1）常数 (2)随机变量x落在区间内的概率， （3）随机变量x的方差四、证明与应用题：本大题共3小题，其中第29题7分，第30题8分

10、，第31题12分，共27分。29证明：当30已知二元函数31设d是曲线以及该曲线在（1，1）处的切线和轴所围成的平面区域。求：（1）平面区域d的面积s； （2）d绕轴旋转而成的旋转体的体积v参考答案及精析一、 单项选择题（每小题3分，共30分）1.a 2.c 3.d 4.a 5.c 6.b 7.b 8.b 9.a 10.b二、 填空题（每小题3分，共30分）11.1 12.4 13.（） 14.（1，-1） 15.0 16.3 17. 18.3 19.10 20.0.7262三、 简答题（共63分）21.【精析】 = = =2.22.【精析】原式= = = = = =23.【精析】 = = =

11、 = = =2.24.【精析】先求对应的齐次线性方程的通解. 分离变量，得 两边积分，得 . 用常数变易法，将c换成c()，即令，代入所给的非齐次线性方程，得 整理，得 即 两边积分得 所以所求方程的通解为 25.【精析】联立方程，得两交点分别为（0,0）、（2,4）。根据图像可知 26【精析】 所以原方程组可化为 即 令得；令得并且知特解为.所以原方程组的通解为（为任意常数）27.【精析】由ax=2bx+c，知 ax-2bx=c (a-2b)x=c 经验证， 由题知 所以 所以28【精析】（1）由连续型随机变量x的密度函数的性质，知 由数学期望的定义，知 联立两方程，得 (2) (3)由于

12、所以 四、 证明与应用题（共27分）29.【证明】 得证.30【证明】31【精析】根据题意知，所以在点（1,1）处的切线方程为 即 所以，（1） (2) 模拟试卷（一）一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 *1. 当时，与比较是（ ） a. 是较高阶的无穷小量 b. 是较低阶的无穷小量 c. 与是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 d. 与是等价无穷小量 *2. 设函数，则等于（ ） a. b. c. d. 3. 设，则向量在向量上的投影为（ ） a. b. 1c. d. *4. 设是二阶线性

13、常系数微分方程的两个特解，则（ ） a. 是所给方程的解，但不是通解 b. 是所给方程的解，但不一定是通解 c. 是所给方程的通解 d. 不是所给方程的通解 *5. 设幂级数在处收敛，则该级数在处必定（ ） a. 发散b. 条件收敛 c. 绝对收敛d. 敛散性不能确定 二. 填空题：本大题共10个小题，10个空。每空4分，共40分，把答案写在题中横线上。 6. 设，则_。 7. ，则_。 8. 函数在区间上的最小值是_。 9. 设，则_。 *10. 定积分_。 *11. 广义积分_。 *12. 设，则_。 13. 微分方程的通解为_。 *14. 幂级数的收敛半径为_。 15. 设区域d由y轴，

14、所围成，则_。三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题第25题每小题6分，第26题第28题每小题10分。解答时要求写出推理，演算步骤。 16. 求极限。 *17. 设，试确定k的值使在点处连续。 18. 设，求曲线上点（1，2e+1）处的切线方程。 19. 设是的原函数，求。 20. 设，求。 *21. 已知平面，。 22. 判定级数的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。 *23. 求微分方程满足初始条件的特解。 *24. 求，其中区域d是由曲线及所围成。 *25. 求微分方程的通解。 26. 求函数的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间。 *27. 将函数展开成x的幂级数。

15、 *28. 求函数的极值点与极植。 【试题答案】一. 1. 故选c。 2. 选c 3. 解：上的投影为： 应选b 4. 解：当线性无关时，是方程的通解；当线性相关时，不是通解，故应选b。 5. 解：在处收敛，故幂级数的收敛半径，收敛区间，而，故在处绝对收敛。 故应选c。二. 6. 解： 令得： 7. 由 8. 解：，故y在1，5上严格单调递增，于是最小值是。 9. 解： 10. 解： 11. 解： 12. 13. 解：特征方程为： 通解为 14. 解： ，所以收敛半径为 15. 解：三. 16. 解： 17. 解： 要使在处连续，应有 18. 解：，切线的斜率为 切线方程为：，即 19. 是的

16、原函数 20. 解： 21. 的法向量为，的法向量 所求平面与都垂直，故的法向量为 所求平面又过点，故其方程为：即： 22. 解：满足（i），（ii） 由莱布尼兹判别法知级数收敛 又因，令，则 与同时发散。 故原级数条件收敛。 23. 由，故所求特解为 24. 因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故 25. 解：特征方程： 故对应的齐次方程的通解为 （1） 因是特征值，故可设特解为 代入原方程并整理得： 故所求通解为： 26. ，令得驻点，又 故是的极小值点，极小值为： 因，曲线是上凹的 27. 28. 解：令 解得唯一的驻点（2，-2） 由且，知（2，-2）是的极大值点 极大值为绝密启用前20

17、10年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。一、选择题：110小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。1a bcd2设，则a bc d3设，则a bc d4a bc d5设，则a bc d6a bc d7设，则abcd8过点，的平面方程为a bcd9幂级数的收敛半径a bc d10微分方程的阶数为a bc d二、填空题：1120小题，每小题4分，共40分。将答案填写在答题卡相应题号后。1112曲线在点处的切线斜率13设，则14设，则151617设，

18、则18设，则1920微分方程的通解为三、解答题：2128小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。21（本题满分8分）设函数，在处连续，求常数的值.22（本题满分8分）计算23（本题满分8分）设，（为参数），求.24（本题满分8分）设函数，求的极大值.25（本题满分8分）求.26（本题满分10分）计算，其中积分区域由，围成.27（本题满分10分）求微分方程的通解.28（本题满分10分）证明：当时，.安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。2答题前将密封线内的项目填写完整。一、选择题（下列每小

19、题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数在在处连续，则（ c ）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3解：由得,故选c.参见教材p26，5. 在处连续，则 .2.当时，与函数是等价无穷小的是（ a ）a. b. c. d. 解：由,故选a.参见教材p15,例19. 当时，与无穷小量等价的是（ ）a. b. c. d. 3.设可导，则=（ d ）a. b. c. d. 解：,故选d.参见教材p44, 1设，且存在，则（ ）a. b. c. d. 4.设是 的一个原函数，则（ b ）a. b. c. d. 解：因是 的一个

20、原函数,所以,所以故选b.参见教材p101,73设为的一个原函数，求5.下列级数中收敛的是（ c ）a. b. c. d. 解：因,所以收敛, 故选c.参见模考试卷2,6下列级数中收敛的是( ）a b c dyy=2xy=x2o 1 x216.交换的积分次序，则下列各项正确的是（ b ）a. b. c. d. 解：由题意画出积分区域如图:故选b.参见冲刺试卷12,6交换的积分顺序，则（ a ）a bc d7.设向量是非齐次线性方程组ax=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ d ）a. b. c. d. 解：因同理得 故选d.参见教材p239, 14设是线性方程组的解，则（ ）(a).

21、 是的解 (b). 是的解(c). 是的解（）(d). 是的解（）8.已知向量线性相关,则（ d ）a. -2 b. 2 c. -3 d. 3解: 由于线性相关,所以,因此参见教材p230,例4设向量组线性相关,则解: ,由于线性相关,所以,因此矩阵任意3阶子式为0,从而.9.设为事件，且则（ a ）a.0.2 b. 0. 4 c. 0.6 d. 0.8解: 参见模考试卷1,20设a和b是两个随机事件，则_.10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ b ）a. b. c. d. 解: 由全

22、概率公式得 参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的相关例题和习题.二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)11设函数，则函数的定义域为.解：.参见冲刺试卷9,1题：函数 的定义域为 ( )a b c d解：12设曲线在点m处的切线斜率为3,则点m的坐标是.解：，由，从而，故填.参见教材p46, 16已知直线是抛物线上点处的切线，求13设函数，则.解：,.参见教材p46，15求下列函数的二阶导数（4）14 .解：.参见教材p90,例30已知，则 .15= e .解：.参见教材p128,例10计算【解】.16幂级数的收敛域为.解：由.得级数收敛,当时,级数为收敛; 当

23、时,级数为发散;故收敛域为.参见教材p182,例13求下列级数的收敛半径和收敛域:（4）;冲刺试卷1,26题:求幂级数的收敛域17设a是n阶矩阵，e是n阶单位矩阵，且则.解：参见教材p213,例6矩阵的综合运算知识设,则解:.参见冲刺试卷2,19题已知阶方阵满足,其中是阶单位阵,则= 解：,18设，记表示a的逆矩阵, 表示a的伴随矩阵,则.参见冲刺试卷3,18已知a，a*为a的伴随阵，则 解：由a*a=|a|e=,a*(-4a)=e19设型随机变量且则= .解：由正态分布的对称性得.参见冲刺试卷4, 20设随机变量x,且二次方程无实根的概率为,则= 解：由于x方程 有实根,则此方程无实根的概率

24、为,故=4.20设型随机变量在区间上服从均匀分布,则方差.解：直接由均匀分布得.参见教材p277,三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。21计算极限.解：原式= =0.参见冲刺试卷4, 21求 解：令，则 22求由方程确定的隐函数的导数.解：两边取对数得,两边求导得,从而.参见模考试卷1, 22设函数由方程所确定，求23计算定积分解：令,则当时, ;当时, .所以原式= = = = .参见教材p115,例33求【解】运用第二换元积分法，令，当时，；当时，则24求微分方程的通解.解：原方程可整理为这是一阶线性微分方程,其中.所以原方程的通解为.参见冲刺

25、试卷11,24题求微分方程满足初始条件的特解.25计算二重积分,其中是由直线所围成的区域.yy=2xxy=2xo1 242解：区域d如图阴影部分所示.故.o xyy=x21图5-7参见教材p162,例4计算二重积分，其中由直线及双曲线所围成.【解】画出区域的图形，如图5-7，如图三个顶点分别为由积分区域的形状可知，采用先后的积分次序较好，即先对积分. 26设矩阵，且满足,求矩阵x.解：由可得因,所以可逆,因此参见冲刺试卷9,28题已知，若x满足ax- ba=b+x求x27设行列式,求在处的导数.解：.故.本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同.参见教材p200,例1,p201

26、,例8, p202,例9,(2),p204填空题2.从而.28已知离散型随机变量x的密度函数为且数学期望.求: (1) a的值; (2) x的分布列；(3)方差d(x )解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量x的可能取值为0、1、2，且因所以.(2) 由（1）即得x的分布列为012(3) ,参见冲刺试卷2,20题设随机变量x的概率分布律为 x 1 0 1p 1/6 a b且e(x)=1/3，则d(x)_解：由题意知: ,故.参见模考试卷1,29设离散型随机变量的分布列为12340.30.2且的数学期望求（1）常数的值；（2）的分布函数；（3）的方差.四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题

27、10分，共30分。29设，其中可微，.证明：因为 ,故 . (9分)参见冲刺试卷2,16题设，且可导，则= 30设d是由曲线及x轴所围成的的平面区域yoxy=lnx1e(e,1)求: (1) 平面区域d的面积s; (2) d绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积v解:区域d如图阴影部分所示。曲线与x轴及的交点坐标分别为（1）平面区域d的面积.（2）d绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积v 这是最基本的题型,每套试卷都有.31证明不等式：当时，.证明: 设,则,所以上单调递增,从而当当时,有,即,即;令,则,所以上单调递减,从而当当时,有,即,从而.综上所述:当时，有.参见教材p71,例8设，证明：证：选

28、择适当的函数，要证，只需证明.安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。2答题前将密封线内的项目填写完整。一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数在在处连续，则（ c ）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3解：由得,故选c.参见教材p26，5. 在处连续，则 .2.当时，与函数是等价无穷小的是（ a ）a. b. c. d. 解：由,故选a.参见教材p15,例19. 当时，与无穷小量等价的是（ ）a. b. c. d. 3.

29、设可导，则=（ d ）a. b. c. d. 解：,故选d.参见教材p44, 1设，且存在，则（ ）a. b. c. d. 4.设是 的一个原函数，则（ b ）a. b. c. d. 解：因是 的一个原函数,所以,所以故选b.参见教材p101,73设为的一个原函数，求5.下列级数中收敛的是（ c ）a. b. c. d. 解：因,所以收敛, 故选c.参见模考试卷2,6下列级数中收敛的是( ）a b c dyy=2xy=x2o 1 x216.交换的积分次序，则下列各项正确的是（ b ）a. b. c. d. 解：由题意画出积分区域如图:故选b.参见冲刺试卷12,6交换的积分顺序，则（ a ）a

30、bc d7.设向量是非齐次线性方程组ax=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ d ）a. b. c. d. 解：因同理得 故选d.参见教材p239, 14设是线性方程组的解，则（ ）(a). 是的解 (b). 是的解(c). 是的解（）(d). 是的解（）8.已知向量线性相关,则（ d ）a. -2 b. 2 c. -3 d. 3解: 由于线性相关,所以,因此参见教材p230,例4设向量组线性相关,则解: ,由于线性相关,所以,因此矩阵任意3阶子式为0,从而.9.设为事件，且则（ a ）a.0.2 b. 0. 4 c. 0.6 d. 0.8解: 参见模考试卷1,20设a和b是两个随机

31、事件，则_.10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ b ）a. b. c. d. 解: 由全概率公式得 参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的相关例题和习题.二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)11设函数，则函数的定义域为.解：.参见冲刺试卷9,1题：函数 的定义域为 ( )a b c d解：12设曲线在点m处的切线斜率为3,则点m的坐标是.解：，由，从而，故填.参见教材p46, 16已知直线是抛物线上点处的切线，求13设函数，则.解：,.参见教材p46

32、，15求下列函数的二阶导数（4）14 .解：.参见教材p90,例30已知，则 .15= e .解：.参见教材p128,例10计算【解】.16幂级数的收敛域为.解：由.得级数收敛,当时,级数为收敛; 当时,级数为发散;故收敛域为.参见教材p182,例13求下列级数的收敛半径和收敛域:（4）;冲刺试卷1,26题:求幂级数的收敛域17设a是n阶矩阵，e是n阶单位矩阵，且则.解：参见教材p213,例6矩阵的综合运算知识设,则解:.参见冲刺试卷2,19题已知阶方阵满足,其中是阶单位阵,则= 解：,18设，记表示a的逆矩阵, 表示a的伴随矩阵,则.参见冲刺试卷3,18已知a，a*为a的伴随阵，则 解：由a*a=|a|e=,a*(-4a)=e19设型随机变量且则= .解：由正态分布的对称性得.参见冲刺试卷4, 20设随机变量x,且二次方程无实根的概率为,则= 解：由于x方程 有实根,则此方程无实根的概率为,故=4.20设型随机变量在区间上服从均匀分布,则方差.解：直接由均匀分布得.参见教材p277,三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。21计算极限.解：原式= =0.参见冲刺试卷4, 21求 解：令，则