线性代数知识点全面总结

1、总复习矩阵是线性代数的核心,矩阵的概念、运算及理论贯 穿线性代数的始终,对矩阵的理解与掌握要扎实深入。理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩 阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,以及它们的性质。 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律, 了解方阵的幕与方阵乘积的行列式。正确理解逆矩阵的概 念Z掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵 的初等变换Z 了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，正 确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩 和逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵 方程。-、矩阵主要知识网络图

2、 血x个数旬Q = 1,2,，加;/=1,2,肋构成的数表单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素特殊矩阵都是零的阶方阵E对角矩阵:主对角元素是兄以2,禺余元素都是零的祁介方阵A对称矩阵：AT= AW反对称矩阵:4丁=AI4+B = (%/+第)A与B同型kA= (ka-)AB二C其中n0 A切xs Bs*n，mxnAT: AT的第i行是A的第i列.A= detA , A必须是方阵.n阶行列式的IAI所有元素的代数余子式构成的矩阵A* =A 2AiAnn J如果4伽4=则4可逆, 是A的逆薙阵oj。丿用伴随矩阵占=由*逆矩阵AQ.A 可逆.IAI = 0 , A不可逆.AB V与B互逆.反证法.

3、 v- =M 1捌审澀4X百区嗥、9 y= M 1捌审澀岸区举丫 1-卩二引（a卩禅炫二爆捌目碎盼O二（咖 O0*0克3捌审则、。一期捌审蔗曲切也7捌审蔗也者艰 迄llivi=lviiiti z捌目孔射音、燈、【II聿豆重二=.重要公式法则。1、矩阵的加法与数社(1) A + B=B+A;(2) (A + B) + C=A + (B + C);(3) A + O = (?+A=A;(4) A + ( - A) = 6?;(5) k(lA) = (kl)A ;(6) (ZA = M+ ZA ; k(A + B)=kA + kB ;(8) 1A=A,OA = Oq2、矩阵的乘法W|(1) (AB)

4、C=A(BC);(2) A (B + C)=AB+AC;(A+B)C=AC + BC;(3) (M)(/B) = (kl)AB;(4) AO 二OA = O3、矩阵的转置(1)(At)t = A; (2) (A+B)T = AT+BT; (3)(M)T=MT; (4) (AB)T= BTAT.4、矩阵的逆(1)(A-1)-1 =A ;(2) (M)-1 = kAA-1;(3) (AB)-1 = B (4) ()-i =(a-i)t.5、伴随矩阵(1) AA*=A*A = IAIE;(2) (M)* 二炉*;(3) (AT = (A-0*= L4I-U; (4) (AT)* = (A*)T.6、

5、祁介方阵的行列式(1)L4TI = L4I;(2) kA = knA ; AB = AB ;(4) L4-1! = L4H ;(5) IA*I = lAW .1、方阵的幕运算2、求逆矩阵3、解矩阵方程4、题方阵的行列式行列式是一个重要的数学工具厂在代数学中有较多的 应用。应当在正确理解祁介行列式的概念，掌握行列式性质 的基础上,熟练地计算3阶、4阶行列式7也要会计算欝单 的祁介行列式。还要会运用行列式求解个方程个未知数 的元一次线性方程组。计算行列式的基本方法是用按行（列）展开定理,通 过降阶来实现但在展开之前往往先运用行列式的性质z 对行列式作恒等变形,以期有较多零或公因式z这样可简 化计算

6、。要熟练运用计算行列式的典型的计算方法和计算 技巧。、行列式主要知识点网络图逆序，奇排列，偶排列某行（列）的M咅加到另一行（列），行列式不变。行列式U一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.行列式知识点D = DT一 互换行列式的两行（列），行列式变号。某行有公因子可以提到行列式的外面。一若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则该行列式可拆成两个行列式.行展开丫纵俎二2二1 、L列展开工為需= k=l 厂定义法 递推法一 加边法数学归纳法公式法D0D I二 J&j i = j 联j拆项法1 乘积法克拉默法则一齐次线性方程组有非零解的充要条件二主要定理1、行列式的展开定理。%1 12 。

7、22an anl=%1A 订 + ai2Ai2 +- + ainAin =QyAj+Q2jA2j+ 久4 2、行列式展开定理的推论。ai A/l + 色2人/2 + ainjn = 仙Air+ a2jA2k+ - + anjAnk=O（i= 12 刃）（i幻）（芹P）3、非齐次线性方程组克拉默法则。色內+如兀2+2刃兀=b2a內+色2兀2+%=仇的系数行列式0 ,原方程组有惟一解善心等,其中Dj(j= 1,2,)是把系数行列式D中的第/列的元素用 方程组的常数项替换后得至啲祁介行列式。4、齐次线性方程组的克拉默法则。1 兀1 + ai2x2 + + ahlxn = 0, 冋兀1+22兀2+吆

8、=0,色內+色2兀2+色屁=的系数行列式DhO,则方程组没有非零解。若齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为1、对角行列式D=D=重要公式二丛人;n(n-l)=(一1) 2入勺入.2、上、下三角行列式。D=an0ai222an %2=1122 annD=aXna2nana2lan。22ain0ann/7（n-l）二（1） 2九仏-13、设A是加阶方险是阶方阵，贝IA D=00D=B0BA0=|4|罔、= (-l)mn AB4、范徳蒙得行列式二 n(XjXj ni jl四.典型例题1、34阶的行列式2、简单的阶行列式3、用公式可逆矩阵与初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算z他在

9、 解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十 分重要的作用。熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和 等价矩阵的概念，理解矩阵秩的概念,熟练掌握用初等变 换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有m E 零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条 件。深刻理解线性方程组通解的概念，掌握用初等变换求 解线性方程组的方法。、主要知识网络图矩阵的初等变换与线性方程组初等方咱矩阵的秩线性方程组矩阵的、初等变换*2用砂0乘矩卩I的第布（列）11.初等变换不融輛炳沁q2.对A经过有限次初等变换得晶,则4等价B、3把某布（列）的M咅加到另一行（列）的对应元素上去 求逆,列E、(A

10、E)：(E A1)求矩阵A的秩、最简型、标准形.求线性方程组的解.初与方阵对单位矩阵虽施三次初等变换而得到的 矩阵称为初等方阵、三种初等变换对应三种初等方阵.初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同 种的初等矩阵.、对4心矩阵实施一次行初等变换，相当 于对A左乘一个相应的m阶初等方阵;、 对A实施一次列初等变换，相当于对A人 乘一个相应的h阶初等方阵.任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方 阵的乘积.阵的秩P阶子金、1F秩：矩阵非吞戎的最高阶数.概念零矩阵的秩为零7?(A)=7?(AT)若B可逆，贝IJ7?(AB)=/?(A). JR(A+B) R(A)+R(B)R(AB) min7?(A), R(B)

11、R(AB)NR(A)+R(B)-n若AB=O,贝R(A)+R(B) n线性方程组p Ax = O 有非零解 O R(A)n.Ax = O一1化系数矩阵为最简形.求解一 2找等价的方程组.3 写Ax = b有解o尺=R(B).Ax = b-1 把增广矩阵B化为最简形.4求解一 2.找等价的方程组.3 写通解.二重要定理1、若A与B等价z贝吠（A） = R（B）.2、初等矩阵左（右）乘矩阵A ,其结果就相当于对A 作相应的初等行（列）变换。3、初等方阵均可逆，且其逆仍是同种的初等方阵。4、若A与B等价,则存在可逆矩阵P和0,使E4Q二.5、若A可逆,则存在有限个初等方阵卩,卩2, ”，使A = P

12、jP2 P/e6、n元齐次线性方程组九心兀=0的充分必要条件是系数矩阵的秩。7、元非齐次线性方程组技/二有解的充分必要条件是系数矩阵的秩&A）等于增广矩阵&A ,方）的秩。三.重要公式1、矩阵的秩(1) W) = 7?(AT);(2) R(A+B) R(A) + R(B)(3) R(AB) min R(A) R(B) 若P、0可逆 z 贝取(丹)=R(AQ) = R(PAQ)= R(A) R(A), k 丰 0,(5) R(kA)= lo , k = O;CA 0W(6) 7?=7?(A) + (B)olo BJ2、用初等变换求逆行变换/11(A E)(E A-1)E、.E列变换1 A-1丿

13、/ wV、夂丿3、用初等行变换求AB(A B)(E A7行变换7SI0正定二次型及正定阵工0用Ax 0.特征值全大于零; 正惯性指数为;顺序主子式全大于零；4合同E,或4 =其中U可逆。惯性指数R(4) = r; 正惯性指数p； 负惯性指数G二重要方法1、求特征值与特征向量(1 )由特征方程L4 -2EI = 0 ,求出A的特征值A.(共兀 个)z再解齐次线性方程组(A-2) x = 0,其基础解系 就是人所对应的特征向量。(2 )用定义法止r =加(适用于抽象的矩阵)。2、判断A能否对角化若A是实对称矩阵z贝(1A必能对角化，这是充分条件。 对于一般的祁介方阵A ,判断步骤如下：(1 )由特

14、征方程L4 - 2EI = 0 z求出A的特征值久(共兀 个),若A的兀个特征值各不相同,贝必必能对角化。(2 )对于4的k重特征值人，求秩-心，若其秩等 于兀-k ,贝!1A可对角化。若秩R(A -久出)主Yi - k ,贝1A不可 对角化。3、求相似标准形的方法(可对角化於(1 )求A的全咅B特征值九1，口,几；(2 )对每个特征值入求(A -也)“ 0的基础解系, 得出特征值&所対应特征尙量“(3 )将求得的个线性无关的特征向量构造可逆矩阵卩 令P =(P，P2,P)则p Ap - Ao6、二次型及矩阵正定的判别法(1 )用定义z Vxo，总有xTAx 0(2 )用顺序主子式全大于零；(

15、3 )用个特征值全大于零；(4 )用正惯性指数p = n ；(5 )存在可逆矩阵C 使A = GC。1、求方阵的特征值、特征向量。2、方阵对角化。3、化二次型为标准形。4、二次型及矩阵正定性的判定。线性空间线性空间是线性代数中比较抽象的部分。概念的抽象性、理论的概括性固然增加了学习的难度，但是，只要掌 握了抽象思维与论证的规律，我们就可以在更高的视点上 观察并解决某些理论与实际方面的问题。它硏究的内容包括数及其运算、多项式及其运算、矩 阵（向量）及其运算等。研究的方法是针对每一种具体对象探索它们运算所满足的各种性质,并用以解决本系统内 的相应问题。、主要知识网络图n 无0线性空间A保持线性相关

16、（或无关）的一致性(*1，占2,，J保持加法数乘关系坐标与坐标变换设是一个非空，是一个.如果能定义一种V 的元素间白雪算，叫做：对于V中任意两个元素 0,都有V中惟一的元素y之对应;y称为伉与的和，记为7 -a +P . 另外还能定义一种数域F的数与集合催元素间的运算，叫 做：对于数域F中任一数P及集合冲任一元素s都有V中惟一的元素与之对应;3称为比与伉的数积,记为二也.并 且，集合诳以上两种运算下具有如下：对于任意心0,Y) a+ p = p + a2) (+/?)+y = +(/?+ y);3) 吁存在零耳塞運邈己型，对于创可，恒爲z +0= a;4) 对托丘V,者階鬲员兀素 e V,融+

17、 a =0; H5) 1 a- a;6) k(la)=(kl) a (式中是通常的数的乘法)；7) 伙+ l)a = ka + la (式中是通常的数的乘法)；8) k(a + p)= k a 七 k B； 则称V为数域F上的一个线性空间的基本性质性质1线性空间的零元素惟一。性质2线性空间中任一元素的负元素惟一。性质3设V是数域F上的线性空间z则对任何伉e V 及总有:(i) 0 a =0 ； (ii) 0=0 ； (iii)当砂 0且么农0时,定有比a #).性质4设V数域F上的线性空间z则对任何EWF及 a w总有(k、a 上(一a) = (Zea).1组向量呦，2，心（*2）线性相关的充

18、分必要条 件是有某个向量可以被组中其余S-1个向量线性表示.2若向郢可被一组线性无关的向量灯心线性 表示,则表示方法惟一.3若灯，2 z心线性无关,而血甩旳0线性相关, 贝！J必可由g （惟地）线性衰示.4线性相关向量组任意增加一些向量所成的向量组仍 然线性相关.5线性无关向量组的任一部分向量组仍是线性无关组. 6右向量组久,如心可由向量组几P02J於/性衾示/ 且s t,那么i“2,心宓为线性相关向量组.7向量组102,0秩为厂的充分必要条件是创心，心 线性无关.8 向量组与它的任意一个极大无关组等价.9。等价的向量组具有相同的秩.设V是数域的线性空间，如果V中存在个向量 1/2/ * I 8 /两足：1) 一切，5线性无关；2) V中田可向量Q均可由“ ,s2 / 6线性表示,则称