普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.文)含详解

1、2011福建文本试卷第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分，第i卷1至3页，第ii卷4至6页。满分150分。注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第i卷每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第ii卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据的标准差 其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积，

2、为高锥体公式，其中为底面面积，为高球的表面积、体积公式，其中为球的半径第i卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。 1若集合，则等于（） a b c d 【解】故选a 2是虚数单位等于（）. a b c d 【解】故选d3若，则“”是“”的（） a充分而不必要条件 b必要而不充分条件 c充要条件 d既不充分又不必要条件 【解】当时，有所以“”是“”的充分条件，反之，当时，所以“”不是“”的必要条件故选a 4某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名。现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中

3、抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）a b c d【解】故选b5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）a b c d【解】运行相应的程序是第一步：，第二步：，输出故选b6 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）a b c d【解】因为关于的方程有两个不相等的实数根，则，解得或故选 7（同理 4）如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（） a b c d【解】因为，则点取自内部的概率故选c8已知函数，则实数的值等于（）a b c d【解】因为，则由得，于是，故选a9若，且，则的值等于（）a b c d 【解】由

4、得，所以，即，因为，所以，于是，所以故选d10若，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）a bc d【解】，因为在处有极值，则，于是，因为，当且仅当时，等号成立此时，因此是一个极值点所以的最大值等于故选d11（同理7）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（）a或 b或 c或 d或【解】因为，所以设，若为椭圆，则所以若为双曲线，则所以故选a12.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论：；整数属于同一“类”的充要条件是“”其中，正确结论的个数为（）a bc d【解】，所以正确；，所以不正确；，正确；若整数属于同一“类”，则，则，

5、所以正确由以上，正确，故选c第ii卷（非选择题 共90分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上。13.若向量，则等于_【解】14若的面积为，则边的长度等于_【解】，所以，又，所以是等边三角形，于是15如图，正方体中，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于_【解】因为，且平面与平面的交线为，所以，又点为的中点，所以为的中位线，所以，因为，为正方形，所以，所以16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价，最高销售限价（）以及常数（）确定实际销售价格，这

6、里，被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数恰好使得是和的等比中项，据此可得，最佳乐观系数的值等于_【解】由得，设，则由题设，则，即，于是，因为，所以三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列中，（）求数列的通项公式；（）若数列的前项和，求的值【解】（）设等差数列的公差，则，由题设，所以（）因为，所以，解得或因为，所以18.（本小题满分12分）如图，直线与抛物线相切于点（）求实数的值；（）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程【解】（）解法1由得，因为直线与抛物线相切，所以，解得解法2设切点，由得，所以切线在点处的斜率为

7、，因为切线的斜率为，则，又在抛物线上，所以，于是的坐标为，因为在直线s上，所以，（）由（），则由解得，于是的坐标为，设以点为圆心的圆的方程为，抛物线的准线为，而圆与抛物线的准线相切则，所以圆的方程为19.（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为现从一批该日用品中随机抽取件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（）若所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，等级系数为的恰有件，求的值；（）在（）的条件下，将等级系数为的件日用品记为，等级系数为的2件日用品记为，现从这件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的

8、等级系数恰好相等的概率【解】（）由频率分布表得，即因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以，又因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以，于是所以，（）从件日用品中任取两件，所有可能的结果为：，所以所有可能的结果共个。设事件表示“从这件日用品中任取两件，等级系数恰好相等”则包含的事件为，共个，所以所求的概率为20.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，点在线段上，且（）求证：；（）若，求四棱锥的体积【解】因为，所以因为，所以又，所以（）由（），在中，又因为，则，又，所以四边形为矩形四边形为梯形因为，所以，于是四棱锥的体积为21（本小题满分12分）设函数，其中角的顶点与坐标原点重合，

9、始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且（）若点的坐标为，求的值；（）若点为平面区域，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值【解】（）因为的坐标为，则（）作出平面区域，则为图中的的区域，其中，因为，所以，则，所以，所以当，即时，取得最大值，且最大值为；当，即时，取得最小值，且最小值为22.（本小题满分14分）已知为常数，且，函数，（是自然对数的底数）（）求实数的值；（）求函数的单调区间；（）当时，是否同时存在实数和（），使得对每一个，直线与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由【解】由，得；（）由（），定义域为从而，因为，所以(1) 当时，由得，由得；(2) 当时，由得，由得；因而，当时，的单调增区间为，单调减