七年级数学教师培训课件：为学生插上创新的翅膀

1、为学生插上创新的翅膀为学生插上创新的翅膀 一、一、数学核心素养的数学核心素养的构建构建 数学核心素养是数学课程目标的集中表现，在学数学核心素养是数学课程目标的集中表现，在学 生自主发展中发挥不可替代的作用，在数学学习生自主发展中发挥不可替代的作用，在数学学习 过程中逐步形成。数学素养包含具有数学基本特过程中逐步形成。数学素养包含具有数学基本特 征的必备思维品格和关键能力，是数学知识、技征的必备思维品格和关键能力，是数学知识、技 能、能力及情感、态度、价值观的综合体现。能、能力及情感、态度、价值观的综合体现。 数学核心素养是数学素养中最基本、最重要的组数学核心素养是数学素养中最基本、最重要的组

2、成部分，它既制约课程内容主线，聚焦课程目标成部分，它既制约课程内容主线，聚焦课程目标 要求，也是学业质量要求的集中反映。在中要求，也是学业质量要求的集中反映。在中学学阶阶 段它包括段它包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运数学抽象、逻辑推理、数学建模、运 算能力、直观想象、数据分析。算能力、直观想象、数据分析。 二、教师专业发展的三大基石二、教师专业发展的三大基石 理解数学理解数学 理解学生理解学生 理解教学理解教学 特别是，特别是，“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法” 的理解水平决定了理解数学的高度，同时的理解水平决定了理解数学的高度，同时 也决定了教学所能达到的水平和效果。

3、也决定了教学所能达到的水平和效果。 三、理解数学知识的意蕴三、理解数学知识的意蕴 知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括 知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它 是知识的精义和主旨所在。是知识的精义和主旨所在。 数学知识是高度抽象的，她的语言（特别是数数学知识是高度抽象的，她的语言（特别是数 学符号、图学符号、图表表语言）是高度概括、凝练的。正语言）是高度概括、凝练的。正 是这种高度的抽象性才使数学成为连接现实世是这种高度的抽象性才使数学成为连接现实世 界与人类智慧的桥梁，使数学语言成为表达客界与人类智慧的桥梁

4、，使数学语言成为表达客 观世界结构的唯一精准语言。观世界结构的唯一精准语言。因此数学知识的因此数学知识的 意蕴就在它的高度抽象性之中。意蕴就在它的高度抽象性之中。 只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解 数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘， 才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知 识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。 数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值 有着天然联系。有着天然联系。

5、数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动 的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力 量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟 数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和 解决问题能力的根基所在。解决问题能力的根基所在。 从培养创新人才出发从培养创新人才出发, ,应紧紧围绕应紧紧围绕“数量关数量关 系系”、“空间形式空间形式”、“数形结合数形结合”和和 “公理化思想公理化思想”这四条主线这四条主线, ,让让学生学生有机会有机会 体会和认识一

6、些数学本源性问题，例如引体会和认识一些数学本源性问题，例如引 发某个数学分支创立的基本问题发某个数学分支创立的基本问题, ,创立过程创立过程 中出现的瓶颈和突破的关键思想中出现的瓶颈和突破的关键思想, ,以及从定以及从定 性到精确定量的基本过程等。性到精确定量的基本过程等。 数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题 值得研究，如何构建研究路径，如何得到值得研究，如何构建研究路径，如何得到 研究方法；如何用已有知识去解决问题，研究方法；如何用已有知识去解决问题， 发展新知识；等等。发展新知识；等等。 例例 几个几个“简单简单”概念的理解概念的理解 空间中的空间中的

7、“位置位置”差异用什么表示？差异用什么表示？ 空间中的空间中的“方向方向”差异用什么表示？差异用什么表示？ 如何刻画直线的如何刻画直线的“直直”？ 如何刻画平面的如何刻画平面的“平平”？ “位置位置”是宇宙空间的最基本要素，位置是宇宙空间的最基本要素，位置 用用“点点”表示；表示； 直线段是连接两点的最短通路，两个点的直线段是连接两点的最短通路，两个点的 位置差异用有向线段的长度表示；位置差异用有向线段的长度表示； 两个两个“方向方向”的差异用角度表示；的差异用角度表示； 直线的直线的“直直”用点与直线之间的位置关系用点与直线之间的位置关系 刻画；刻画； 平面的平面的“平平”用点、直线、平面之

8、间的位用点、直线、平面之间的位 置关系来刻画。置关系来刻画。 理解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发学生，示以思维之道耳！启发学生，示以思维之道耳！ 四、数学思维再认识四、数学思维再认识 思维是指理性认识，或指理性认识的过程，思维是指理性认识，或指理性认识的过程， 它是人脑对客观事物能动的、间接的和概它是人脑对客观事物能动的、间接的和概 括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但 通常是指逻辑思维。通常是指逻辑思维。 思维的工具是语言；思维的工具是语言； 思维的形式是概念、判断、推理

9、等；思维的形式是概念、判断、推理等； 思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和 综合等。综合等。 一个结构一个结构 数学地认识事物数学地认识事物的的基本结构：定义概念基本结构：定义概念 推导性质推导性质建立联系建立联系实践应用。实践应用。 先从数、形的角度抽象事物的本质属性，先从数、形的角度抽象事物的本质属性， 定义概念从而明确数学对象；探索对象的定义概念从而明确数学对象；探索对象的 要素与要素、要素与环境等之间的关系和要素与要素、要素与环境等之间的关系和 相互作用而获得性质；建立相关知识的联相互作用而获得性质；建立相关知识的联 系而形成知识体系；应用所得知识解

10、决数系而形成知识体系；应用所得知识解决数 学内外的问题，并深化认识、拓展新知。学内外的问题，并深化认识、拓展新知。 这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。 两个方向（方面）两个方向（方面） 数学思维有两个相辅相成的方向或方面数学思维有两个相辅相成的方向或方面归归 纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认 知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析 中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一 方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认方面又要用逻辑推理、

11、数理分析去研讨业已认 知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相 关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科 统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配 合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不 到的效果。到的效果。 三种语言三种语言 数学思维的工具数学思维的工具：符号语言、图形语言和符号语言、图形语言和 普通文字语言。普通文字语言。 数学有自己的符号体系和表达方式，它使数学有自己的符号体系和表达方式，它使 人们能方便、简捷地呈现数学思想和成

12、果。人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。 数学符号是内涵丰富的数学符号是内涵丰富的“信息块信息块”，因而，因而 成为数学思维活动的理想载体。另外，数成为数学思维活动的理想载体。另外，数 学符号语言能缩短数学思维过程，使之变学符号语言能缩短数学思维过程，使之变 得简约、精练。得简约、精练。 四种形式四种形式 数学思维的基本形式数学思维的基本形式： 逻辑推理逻辑推理 代数运算代数运算 几何直观几何直观 数形结合数形结合 逻辑推理逻辑推理 逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一 些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑 规则推出结论

13、的思维过程。规则推出结论的思维过程。 认识问题的要点在于把认识问题的要点在于把握握好本质，发现问好本质，发现问 题；解决问题的任务是运用题；解决问题的任务是运用“已知已知”之性之性 质去推论质去推论“待知待知”之性质。概括言之，乃之性质。概括言之，乃 是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推 理就是这种以简驭繁的实践与步骤。理就是这种以简驭繁的实践与步骤。 代数运算代数运算 “代数学的根源在于代数运算代数学的根源在于代数运算”，有效有，有效有 系统地运用运算律去解决问题是代数学的系统地运用运算律去解决问题是代数学的 基本思想；基本思想； 数及其运算是一切运算系统

14、的模范，与它数及其运算是一切运算系统的模范，与它 类比而发现需研究的问题和方法，是基本类比而发现需研究的问题和方法，是基本 而重要的数学思维方式；而重要的数学思维方式； 代数运算的过程和方法可以容易地发展成代数运算的过程和方法可以容易地发展成 高层次函数观点。高层次函数观点。 几何直观几何直观 几何直观是利用几何概念抽象空间事物获几何直观是利用几何概念抽象空间事物获 得几何图形，用图形描述事物的结构特征，得几何图形，用图形描述事物的结构特征， 用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用点线面体的关系探索事物的关系，乃至 用图形及其关系认知、表达事物的本质和用图形及其关系认知、表达事物的本质和 关系

15、，几何直观是展开逻辑推理的思维基关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基 础。础。 数形结合数形结合 用几何图形表示数量关系用几何图形表示数量关系； 把几何中的定性结果转化为可运算的定量把几何中的定性结果转化为可运算的定量 结果结果； 这是数学思维的变通、灵活性的表现，这是数学思维的变通、灵活性的表现，也也 是数学发展的有力手段，是数学发展的有力手段，坐标法、函数与坐标法、函数与 图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与 几何等都是数形结合的思维产物。几何等都是数形结合的思维产物。 n n种因地制宜的具体思维方法种因地制宜的具体思维方法 针对具体数学问题的思维方法针

16、对具体数学问题的思维方法：观察、假观察、假 说、实验法、确证等科学思维方法在数学说、实验法、确证等科学思维方法在数学 研究中有用武之地研究中有用武之地； 观察引领思考，事物现象的因果关系、事观察引领思考，事物现象的因果关系、事 物的特征和构成要素、以及如何介入其中物的特征和构成要素、以及如何介入其中 创造出我们想要的变化等，都能从观察中创造出我们想要的变化等，都能从观察中 获得启示；获得启示； 综合法与分析法、顺证法与反证法，数学综合法与分析法、顺证法与反证法，数学 归纳法归纳法是常用的思维方法。是常用的思维方法。 数学思维数学思维 一个结构一个结构，两个方向两个方向，三种语言三种语言，四种形

17、式四种形式 演化出演化出千变万化千变万化、赏心悦目、赏心悦目的思维方法。的思维方法。 数学思维是人类智慧的最精彩绽放。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。 好比好比一棵参天大树，一棵参天大树，“一个结构，两个方一个结构，两个方 向，三种语言，四种形式向，三种语言，四种形式”是根和主干，是根和主干， 千变万化的具体方法则是其枝和叶。千变万化的具体方法则是其枝和叶。 当前当前课堂教学中的普遍问题是，把注意力课堂教学中的普遍问题是，把注意力 集中到了集中到了“枝繁叶茂枝繁叶茂”的追求，而忘却了的追求，而忘却了 “根和主干根和主干”的重要性。的重要性。 五、发挥一般观念的引领作用五、发挥一般观念的引领作用

18、 数学教学的高立意。数学教学的高立意。 使学生明白数学思维之道的关键点。使学生明白数学思维之道的关键点。 数学教材数学教材呈现呈现的的“研究之道研究之道” 一般按一般按“背景（实际背景、数学背景）背景（实际背景、数学背景） 定义（内含、表示）定义（内含、表示）分类（以要素分类（以要素 为标准）为标准）性质（要素、相关要素的相性质（要素、相关要素的相 互关系）互关系）特例（性质和判定）特例（性质和判定）联联 系（应用）系（应用）”的逻辑展开。这个系统具有的逻辑展开。这个系统具有 一般意义，是科学研究的一般意义，是科学研究的“基本之道基本之道”。 教师以此为基本依据设计课堂教学，并让教师以此为基本

19、依据设计课堂教学，并让 学生反复经历这个逻辑过程，是学生反复经历这个逻辑过程，是“使学生使学生 学会思考学会思考”的关键之一。的关键之一。 如何激发学生独立思考如何激发学生独立思考 有效数学学习有效数学学习的的两个基本条件：一是好的两个基本条件：一是好的 学习素材，二是有效的研究思路和方法。学习素材，二是有效的研究思路和方法。 为学生提供典型而丰富的学习素材，让学为学生提供典型而丰富的学习素材，让学 生展开独立思考，并在思考的方向和思想生展开独立思考，并在思考的方向和思想 方法上作适当引导，是方法上作适当引导，是“使学生学会思考使学生学会思考” 的又一关键。的又一关键。 平面几何的研究思路和方

20、法平面几何的研究思路和方法 平面图形中，三角形是最简单的平面图形中，三角形是最简单的，圆，圆是最完美是最完美 的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何 中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。三三 角形是最基本的。角形是最基本的。 得到得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到 了研究几何图形的一个典范了研究几何图形的一个典范研究研究其他其他几何几何 对象都对象都可以循着这样的思路展开，同时还得到可以循着这样的思路展开，同时还得到 了一个了一个“工具工具”，因为我们往往利用三角形的，因为

21、我们往往利用三角形的 性质去分析其他几何图形的性质。性质去分析其他几何图形的性质。 三角形性质的研究思路和方法三角形性质的研究思路和方法 以以三角形三角形的要素（三条边、三个内角）、的要素（三条边、三个内角）、 相关要素（高、中线、角平分线、外角等）相关要素（高、中线、角平分线、外角等） 以及几何量（边长、角度、面积等）之间以及几何量（边长、角度、面积等）之间 的相互关系为基本问题，从的相互关系为基本问题，从“形状、大小形状、大小 和位置关系和位置关系”等角度展开研究。显然，这等角度展开研究。显然，这 是一般观念指导下的研究。是一般观念指导下的研究。 思考一思考一 几何图形的性质指什么？几何图

22、形的性质指什么？ 思考二思考二 你认为可以怎样构建三角形性质的你认为可以怎样构建三角形性质的 研究框架？怎样引导学生独立发现三角形研究框架？怎样引导学生独立发现三角形 的性质？的性质？ 思考三思考三 类比三角形的研究思路和方法，你类比三角形的研究思路和方法，你 认为可以怎样引导学生独立构建四边形的认为可以怎样引导学生独立构建四边形的 研究路径，得到平行四边形的有关结论？研究路径，得到平行四边形的有关结论？ 思考四思考四 圆又该如何研究？圆又该如何研究？ 小结小结 数学教学的根本任务是发展学生的思维能数学教学的根本任务是发展学生的思维能 力，说到底就是要使学生在面对问题时总力，说到底就是要使学生

23、在面对问题时总 能想到办法。注重一般观念的思维引领作能想到办法。注重一般观念的思维引领作 用，可以提高思维的系统性、结构性，有用，可以提高思维的系统性、结构性，有 效克服效克服“做得到但想不到做得到但想不到”的尴尬，使数的尴尬，使数 学的发现更具学的发现更具“必然性必然性”，是实现，是实现数学数学育育 人目标的重要途径。人目标的重要途径。 六、为学生创造归纳的机会六、为学生创造归纳的机会 唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事 物的本来面目设计教学过程，才能真正物的本来面目设计教学过程，才能真正达成达成教教 学方式的学方式的实质性实质性变化变化。 在学

24、生熟悉的背景下，从具体事例中，通过在学生熟悉的背景下，从具体事例中，通过 “归纳归纳演绎演绎”而学习数学概念，关键是让学而学习数学概念，关键是让学 生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种 体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是 学生能掌控自身学习过程的必要条件。学生能掌控自身学习过程的必要条件。 当前应更加强调归纳。当前应更加强调归纳。 例例 函数概念的归纳过程函数概念的归纳过程 四个基本问题四个基本问题 （1 1）函数的函数的现实现实背景各是什么背景各是什么？刻画？刻画了哪类了哪类 运动变化现象？运动变化现象

25、？ （2 2）决定这些运动变化现象的要素是什么？）决定这些运动变化现象的要素是什么？ （3 3）要素之间的相互关系如何？）要素之间的相互关系如何？ （4 4）可以用什么数学模型来刻画？）可以用什么数学模型来刻画？ （1 1）是搞清楚）是搞清楚这这类变化过程的基本特征，明类变化过程的基本特征，明 确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别 不同变化现象，是明确问题的过程；不同变化现象，是明确问题的过程； （2 2）、（）、（3 3）是对这类运动变化现象的深入）是对这类运动变化现象的深入 分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，

26、 这里的这里的“依赖关系依赖关系”常常要借助于运算而建常常要借助于运算而建 立对应关系；立对应关系； （4 4）是以）是以“依赖关系依赖关系”为导向，利用代数、为导向，利用代数、 几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、 图形等加以明确图形等加以明确。 一次函数一次函数 现实背景现实背景：物体作匀速直线运动，其特征：物体作匀速直线运动，其特征 是运动的速度（即位移与时间的比值）是是运动的速度（即位移与时间的比值）是 一个定值。一个定值。 决定运动状态的要素决定运动状态的要素：速度：速度v、时间、时间t和位移和位移 s。这里，。这里，v是常量，是常量，t和

27、和s是变量；是变量；“速度是速度是 一个定值一个定值”是此类运动区别于它类运动的是此类运动区别于它类运动的 关键点，它的实际意义是在相同的时间段关键点，它的实际意义是在相同的时间段 上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。 要素之间的相互关系要素之间的相互关系 数学模型数学模型：对于不同类型的问题，都有一：对于不同类型的问题，都有一 个从具体事例到一般规律的归纳过程，得个从具体事例到一般规律的归纳过程，得 到了各种各样的一次函数。在此基础上，到了各种各样的一次函数。在此基础上， 再对它们进行共性的归纳，可以得到一次再对它们进行共性的归纳，可以得到一次 函数模

28、型函数模型y=kx+b。这里，特别要注意。这里，特别要注意k和和b 的意义：的意义：b是初始条件；函数值是初始条件；函数值y随自变量随自变量x 的变化而变化的过程中，函数值的改变量的变化而变化的过程中，函数值的改变量 与自变量的改变量的比值是常数与自变量的改变量的比值是常数k，k的绝的绝 对值越大，改变得越快。这里特别要强调对值越大，改变得越快。这里特别要强调 以实际问题为依托理解以实际问题为依托理解k，b的意义的意义。 思考：二次函数概念的归纳过程该如何构思考：二次函数概念的归纳过程该如何构 建？反比例函数呢？建？反比例函数呢？ 七、通过类比发现和提出问题七、通过类比发现和提出问题 类比的含

29、义类比的含义 类比的特点类比的特点 类比的一般模式类比的一般模式 代数中的类比代数中的类比 类比类比“有理数有理数”的研究过程和方法，构建的研究过程和方法，构建 “代数式代数式”的研究框架的研究框架你认为你认为“整式整式 的乘法的乘法”该如何开篇？该如何开篇？ 类比等式的性质研究不等式的性质。类比等式的性质研究不等式的性质。 类比解二元一次方程组的思想方法，获得类比解二元一次方程组的思想方法，获得 解一元二次方程的思想方法。解一元二次方程的思想方法。 八、通过推广、特殊化发现和提出八、通过推广、特殊化发现和提出 问题问题 三角形、四边形中的特殊化，位置关系的三角形、四边形中的特殊化，位置关系的

30、 特殊化特殊化平行与垂直；平行与垂直； 乘法是特殊的加法，乘方是特殊的乘法；乘法是特殊的加法，乘方是特殊的乘法； 字母代表字母代表数数一般化，一般化中的特殊一般化，一般化中的特殊 问题：分式、根式的范围限制，等与不等问题：分式、根式的范围限制，等与不等 的问题的问题方程、不等式，等等；方程、不等式，等等； 运算运算中的一般化和特殊化中的一般化和特殊化乘法公式与乘法公式与 因式分解；因式分解； 九、使学生掌握研究数学对象的方法九、使学生掌握研究数学对象的方法 数学观念和具有一般意义的数学思想方法数学观念和具有一般意义的数学思想方法 的指导的指导保证高立意。保证高立意。 好的教学既需要有好的想法，

31、也需要有能好的教学既需要有好的想法，也需要有能 够落实的具体措施，变成学生面对问题时够落实的具体措施，变成学生面对问题时 可以实施的行动。可以实施的行动。 一般而言，研究一个具体的数学对象（即一般而言，研究一个具体的数学对象（即 使是解一个有思维含金量的数学题目），使是解一个有思维含金量的数学题目）， 往往需要经历从定性到定量、从具体到抽往往需要经历从定性到定量、从具体到抽 象、从宏观到微观的过程。象、从宏观到微观的过程。 例例 “平面图形的旋转平面图形的旋转”的教学的教学 课标要求课标要求 （1）通过具体实例认识平面图形的旋转。探索它的基本性）通过具体实例认识平面图形的旋转。探索它的基本性

32、质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转 中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相 等。等。 （2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本 性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中 心，且被对称中心平分。心，且被对称中心平分。 （3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性。）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性。 （4）认识和欣赏自

33、然界和现实生活中的中心对称图形。）认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 内容结构内容结构 概念和性质概念和性质特例（性质）特例（性质）数学内数学内 部部的应用的应用实际实际应用应用 其中，其中，“概念和性质概念和性质”是基础，是重中之是基础，是重中之 重。重。 如何确定一个旋转的条件如何确定一个旋转的条件 平面图形的旋转，就是通过对图形实施旋平面图形的旋转，就是通过对图形实施旋 转变换，把一个图形从一个位置变到另一转变换，把一个图形从一个位置变到另一 个位置。这里，图形从一个位置变到另一个位置。这里，图形从一个位置变到另一 个位置，需要做到个位置，需要做到“唯一确定唯一确定”。 什么叫

34、什么叫“唯一确定唯一确定”？“三要素三要素”的的 根源根源。 如何让学生认识如何让学生认识“三要素三要素” 思考：思考：如果缺少其中某个条件的话，旋转后的图如果缺少其中某个条件的话，旋转后的图 形能唯一确定吗？为了激发学生的独立思考，可形能唯一确定吗？为了激发学生的独立思考，可 以让他们进行如下活动以让他们进行如下活动：任意：任意画一个画一个abc， （1）绕）绕点点a旋转旋转30，得到的结果怎样，得到的结果怎样？ （2）分别）分别绕点绕点a和点和点b逆时针旋转逆时针旋转30，得到的结，得到的结 果一样吗果一样吗？ （3）绕）绕a点逆时针旋转，得到的图形有多少个点逆时针旋转，得到的图形有多少个

35、？ （4）给定给定哪些哪些条件条件才能使旋转后的图形唯一确定才能使旋转后的图形唯一确定？ 有人认为这样问有人认为这样问“牵牵”的味道浓，你有好办法的味道浓，你有好办法 吗？吗？ 如何引导学生如何引导学生探探究性质究性质 假探究假探究 宏观观念的指导宏观观念的指导 变化中的不变性变化中的不变性就是性质；就是性质； 旋转的性质是旋转前后两个图形的关系，旋转的性质是旋转前后两个图形的关系， 所谓所谓“两个图形的关系两个图形的关系”，就是它们的形，就是它们的形 状、大小关系和位置关系。状、大小关系和位置关系。 研究一个数学对象的性质，要充分利用确研究一个数学对象的性质，要充分利用确 定这个对象的要素。定这个对象的要素。 这些是这些是“宏观观念宏观观念”，是探究性质的指路，是探究性质的指路 明灯。明灯。 问题引导问题引导下的下的探究探究 1.1.你你认为研究旋转的性质就是要研究什么？认为研究旋转的性质就是要研究什么？ 意图：使学生明确研究的目标意图：使学生明确研究的目标旋转前旋转前 后两个图形的关系，变化中的不变性。后两个图形的关系，变化中的不