第9章梁撓度和刚度计算

1、第9章梁撓度和刚度计算 第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁 第9章梁撓度和刚度计算 1、梁的变形特点 P x C C1 w(x) q q w(x) 挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 挠曲线 ( )ww x dx dy qqtan 9.1 挠曲线 挠度和转角 平面假设 小变形（小挠度） 挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线 挠曲线方程 第9章梁撓度和刚度计算

2、2，意义 工业厂房钢筋混凝土吊梁 600 500 LL f 普通机车主轴 3 . 0 0 q 符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向 第9章梁撓度和刚度计算 3，影响变形的因素 不计由小变形条件， x %3,10的的影响只有时MQ h L 4，计算变形的方法 积分法、 叠加法、能量法、 第9章梁撓度和刚度计算 1 1、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程 z z EI xM)(1 x o ( ) ( ) z z Mx w x EI 挠曲线近似微分方程 小变形小变形 3 2 2 1( ) ( ) (1) w x w x w 2 ( ) 1( ) z

3、 z Mx ww x EI M 0 2 2 ( ) 0 d w x dx M 0 2 2 ( ) 0 d w x dx 9.2 挠曲线近似微分方程 ( )w x 第9章梁撓度和刚度计算 ( )( )EIw xM x z z EI xM)(1 * 思考： ）（若、xMM 2 常量若、M1 第9章梁撓度和刚度计算 1、挠曲线方程（弹性曲线）挠曲线方程（弹性曲线） ( )( )EIw xM x 1 ( )( )dEIw xM xxC 12 ( )( )d )dEIw xM xxxC xC 9.3 积分法求梁的变形 第9章梁撓度和刚度计算 2、边界条件、连续条件 P D w x L P AB C w

4、x L a 0,0 xw ,0 xL w 12 ,xa ww 0,0 xw 11 0,0 x wq 第9章梁撓度和刚度计算 * 注意问题 ( )( )EIw xM x 什么时候需要分段积分？ 如何确定极值？PL1L2 ABC 第9章梁撓度和刚度计算 例例9.1 9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转 角。 弯矩方程 ( )()M xP xL 微分方程的积分 边界条件、连续条件 P L x w ( )( )()EIw xM xP Lx 2 1 1 () 2 EIwP LxC 3 12 1 () 6 EIwP LxC xC 3 2 1 (0)0 6 EIwPLC 2 1 1 (0)0 2

5、 EIwPLC 2 1 1 2 CPL 3 2 1 6 CPL 第9章梁撓度和刚度计算 弹性曲线方程 最大挠度及最大转角 2 ( )(3) 6 P w xLx EI x 2 max ( ) 2 PL L EI qq 3 max ( ) 3 PL ww L EI x P L w 第9章梁撓度和刚度计算 L q0 B A 例例9.2 9.2 均布荷载下的简支梁，均布荷载下的简支梁，EIEI已知，已知，求挠度及两端 截面的转角。 max w 解：1 确定反力 2 求出弯矩方程 2 A ql F 2 B ql F 2 1 22 ql M xxqx x w 3 微分方程的积分 4 边界条件、连续条件 2

6、 1 ( ) 22 ql EIw xM xqxx 1 43 11 (0)00 ( )0 1 0 2412 EIwD EIw l ql qllC lD 2 1 24 ql D 32 1 43 11 1 64 1 2412 ql EIwqxxC ql EIwqxxC xD 第9章梁撓度和刚度计算 5 梁的转角方程和挠曲线方程 3 32 3 43 1 6424 1 241224 qlql EIqxx qlql EIwqxxx q 6 梁的最大挠度：根据对称性 43 32 max 2 15 | 24212 2242384 l lqllqllql EIwEIwq EI 7 梁两端的转角 3 0 33 3

7、2 | 24 1 | 642424 Ax Bx l ql EIEI qlqlql EIEIqll qq qq 第9章梁撓度和刚度计算 例例9.3 9.3 集中力下的简支梁，集中力下的简支梁，EIEI已知，已知，求挠曲线方程 和转角方程，最大挠度及最大转角。 F a l AB 解：1 确定反力 2 求出弯矩方程 1 2 0, , Ay Fb MxF xxxa l Fb MxxF xa l xa l D 3 微分方程的积分 11 22 ( ) ( ) Fb EIw xMxx l Fb EIw xMxxF xa l B Fa F l B Fb F l 第9章梁撓度和刚度计算 2 11 2 2 22

8、2 1 22 Fb EIwxC l Fb EIwxF xaC l 积分一次： 3 111 3 3 2 22 6 1 66 Fb EIwxC xD l Fb EIwxF xa l C xD 再积分一次： 4 边界条件、连续条件 1212 1212 ( )( ) ( )( ) EIw aEIw aCC EIw aEIw aD D 11 3 3 2 22 (0)00 1 ( )0 66 0 EIwD Fb EIw llF la l C lD 边界条件 连续条件 积分成数为 12 22 12 0 6 DD Fb CClb l 第9章梁撓度和刚度计算 222 1 2 2 2 22 26 1 22 6 F

9、bFb EIwxlb ll Fb EIwxF xa l Fb lb l 322 1 3 3 2 22 66 1 66 6 FbFb EIwxlbx ll Fb EIwxF xa l Fb lbx l 5 梁的转角方程和挠曲线方程 6 最大转角 0 max 2 max | 6 | 6 6 16 Ax Bx l B Fab EIEIlb l Fab EIEIla l ifabthen Fab la lEI ifabthen Fl EI qq qq qq q 第9章梁撓度和刚度计算 6 最大挠度 222 1 22 2 22 max1 3 max 00 26 33 ( ) 9 3 48 FbFb wh

10、enwxlb ll a lblb x ifabthenxa Fb ww xlb EIl ifabthenxa Fl w EI 第9章梁撓度和刚度计算 A C EI 例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 截面的转角和 截面的挠度。设 常量。 x C D A B /2l /2l/2l w 解：1 确定反力 2 求出弯矩方程 2 1 2 1 0, 22 133 , 822 2 l Mxqxx lll Mxqlxx 3 微分方程的积分 2 11 22 1 ( )0, 22 133 ( ), 822 2 l EIw xMxqxx lll EIw xMxqlxx 3 11 2 22 1 0,

11、 62 133 , 1622 2 l EIwqxCx lll EIwqlxCx 4 111 3 222 1 0, 242 133 , 4822 2 l EIwqxC xDx lll EIwqlxC xDx 8 B ql F 第9章梁撓度和刚度计算 4 边界条件、连续条件 122 12 3 ( )( )()0 222 ( )( ) 22 lll www ll EIwEIw 4 11 4 22 22 3 3 12 34 11 34 22 1 0 2422 1 0 482 3 0 2 11 6216 111 , 16384 11 , 4832 ll qCD l qlCD l CD l qCqlC C

12、qlDql CqlDql 33 1 2 3 2 434 1 3 34 2 11 0, 6162 1313 , 162482 2 1111 0, 24163842 13113 , 48248322 2 l EIwqxqlx lll EIwqlxqlx l EIwqxql xqlx lll EIwqlxql xqlx 5 梁的转角方程和挠曲线方程 33 1 3 3 34 2 4 4 2 11 00 616 1 16 1311 4824832 113 1 4882 1 128 A A C EIEIwqql ql EI l EIylqllql lql ql yylql EI q q 第9章梁撓度和刚度

13、计算 在小变形条件下，材料服从虎克定律 成线性关系、与外力、内力 、 )()( 0M PqMQ 几个载荷共同作用的变形 = 各个载荷单独作用的变形之和 叠加原理 9.4 叠加法求梁的变形 第9章梁撓度和刚度计算 L B A max w x w qql B A 1C w x w q B A 2C w x w ql + = 1C q 2C q 例例9.4 9.4 简支梁的简支梁的EIEI已知，已知，用叠加法 求梁跨中截面的位移和支座B的转角。 43 11 5 , 38424 CB qlql w EIEI q 载荷分解如图 均布载荷单独作用时 集中力偶单独作用时 43 22 , 163 CB qlq

14、l w EIEI q 叠加 4 12 3 12 19 384 7 24 CCC BBB ql www EI ql EI qqq 第9章梁撓度和刚度计算 1C w w q + = 例例9.59.5简支梁的简支梁的EIEI已知，已知，用叠加法求梁 跨中截面的位移和两端截面的转角。 4 4 1 3 3 11 5/25 384768 /2 2448 C AB qlql w EIEI qlql EIEI qq 载荷分解如图 对称均布载荷单独作用时 集中力偶单独作用时 2 3 3 22 0 /2/2 24384 C AB w qlql EIEI qq A B C /2l/2l x /2q A B x 2C

15、 w w 1C q A B x /2q /2q 第9章梁撓度和刚度计算 叠加 4 12 333 12 333 12 5 768 3 48384128 7 48384128 CCC BAA BBB ql www EI qlqlql EIEIEI qlqlql EIEIEI qqq qqq 第9章梁撓度和刚度计算 例例 用用叠加原理求A点转 角和C点挠度。 载荷分解如图 查简单载荷变形表 = + P A B q AB q P AB C aa EI Pa PA 4 2 q EI qa qA 3 3 q 4 5 24 qC qL w EI 3 6 PC Pa w EI 第9章梁撓度和刚度计算 A A

16、A q q P P =+ B B B C aa 叠加 qAPAA qqq EI Pa PA 4 2 q EI qa qA 3 3 q EI qL yqC 24 5 4 EI Pa yPC 6 3 )43( 12 2 qaP EI a 43 5 246 C qaPa w EIEI 第9章梁撓度和刚度计算 P q a b A B C L qLP L a, 4 3 , BBwq 求： P A B C ( ) B P w )(P Bq A q B C qc ( ) B q w )(q Bq Cw 第9章梁撓度和刚度计算 P A B C ( ) B P w )(P Bq A q B C yc qc (

17、) B q w )(q Bq ( ) BCC qb wwq EI b EI qaqa 68 34 EI qL 256 351 4 qq CB q )( EI qa 6 3 EI qL 256 27 3 EI P qL B 2 )( 3 q 3 ( ) 3 B P EI PL w 第9章梁撓度和刚度计算 EIEI qLqL B 2256 33 27 q EI qL 256 155 3 44 2563 351 B EIEI qLqL w EI qL 768 1309 4 A q B C cw qc ( ) B q w )(q Bq P A B C ( ) B P w )(P Bq 第9章梁撓度和刚

18、度计算 逐段刚性法：逐段刚性法： 研究前一段梁时，暂将后面的各研究前一段梁时，暂将后面的各 段梁视为刚体，前一段梁末端截面的段梁视为刚体，前一段梁末端截面的 位移为后一段梁提供一个刚体位移；位移为后一段梁提供一个刚体位移； 在研究后一段梁时，将已变形的前一在研究后一段梁时，将已变形的前一 段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的 变形叠加在前一段梁的所提供的刚性变形叠加在前一段梁的所提供的刚性 位移上，从而得到后一段梁的总位移位移上，从而得到后一段梁的总位移 第9章梁撓度和刚度计算 9.6 用逐段刚性法求解体悬 臂梁自由端的挠度和转角 C w 0B w 1b w 0B

19、w0B q 1B q B q 把变形后的 AC刚性化 把未变形 CB刚性化 F /2lF F A B C F A B C A B C a c b 2 2 32 3 /2/2/23 2 2216 /2/2/25 3 22 296 C C F lFllFl EIEIEI F lFllql w EIEIEI q 求AC的变形时，CB刚化 AC变形引起CB的变形 2 0 3 0 3 16 7 248 BC BCC Fl EI lql ww EI qq q 第9章梁撓度和刚度计算 求CB的变形，把变形后的AC刚化， 此时CB可 看成以C为固定端的悬臂梁 2 2 1 3 3 1 /2 28 /2 324

20、B B F lFl EIEI F lql w EIEI q 1b w 0B w0B q 1B q B q 把变形后的 AC刚性化 F B C c B截面的位移等于AC段变形引起CB的 刚性位移和CB自身弯曲引起的位移 222 01 333 01 35 16816 73 482416 BBB BBB FlFlFl EIEIEI qlqlql www EIEIEI qqq 第9章梁撓度和刚度计算 9.7 用逐段刚性法求解简支 外伸梁的挠度 C D AB /2l/2la 1 F 2 F C D A B 1 F 2 F 1 Fa 0B q 1C w 1 F C B 2C w a c b把未变形BC刚性

21、化 把变形后的AB刚性化 2 1 2 12 /2/22/2 36 316 B F llllFal EIlEI FalF l EIEI q 求AB的变形时，把BC刚化 AB变形引起BC的变形 22 12 1 316 CB Fa lF al wa EIEI q 第9章梁撓度和刚度计算 求BC的变形，把变形后的AB刚化， 此时BC可 看成以B为固定端的悬臂梁 1 F C B 2C w c 把变形后的AB刚性化 3 1 2 3 C Fa w EI C截面的位移等于AB段变形引起BC的 刚性位移和BC自身弯曲引起的位移 223 121 12 22 21 3163 163 CCC Fa lF alFa w

22、ww EIEIEI F alFa la EIEI 第9章梁撓度和刚度计算 44 2563 351 B EIEI qLqL w EI qL 768 1309 4 抗弯刚度EI, 1 抗拉（压）刚度EA 抗扭刚度 Ip G ，刚度校核2 max q q max w ll w 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.5 .1 梁的刚度条件 第9章梁撓度和刚度计算 、校核刚度 qq max * 三种计算 max ww ll 、设计截面尺寸 、设计载荷 第9章梁撓度和刚度计算 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B 例例 空心圆杆，d=40mm、D=80

23、mm，E=210GPa，工程规定C点 的w/L=0.00001,B点的q=0.001弧度,校核此杆的刚度。 2 12 163 B PLP La EIEI q 232 122 1633 C PL aPaPa L w EIEIEI )( 64 44 dDI 1244 10)4080( 64 14. 3 48 m10188 第9章梁撓度和刚度计算 001.010423.0 4 max qq 校核刚度 2 12 163 B PLP La EIEI q 4 0.4400200 ()0.423 10 () 210 1880163 弧度 232 6 122 5.19 10 m 1633 C PL aPaPa

24、 L w EIEIEI max ww ll 65 max 5.19 10 m10 mww 第9章梁撓度和刚度计算 aa q A BC maGPaE1,200 选择工字钢 1 15/ , 100, ; 1000 w qKN mMPa l Bw qB Aw ABB a wwq 4 7 24EI qa 1 21000 AA w lal ww 由： 1000 1 2 24 7 4 a EI qa 10 10 9 3 4 20048 157000 48 7000 E qa Iz )(1094 48 10 m 第9章梁撓度和刚度计算 工查表，选：16 NO cmIz 4 1130 cmWz 4 141 强度校核 W M z max max W qa z 2 2 10 10 6 3 1412 15 MPa2 .53 aa q A BC qa 2 2 qa 2 2 qa qa 第9章梁撓度和刚度计算 9.5 .2 梁的合理刚度设计 梁跨度的选取 制作约束和加载方式的合理安排 梁截面的合理选取 梁材料的合理选取 第9章梁撓度和刚度计算 建立