高阶导数与高阶偏导数

1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 1 1.3 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 一、一、高阶偏导数的定义高阶偏导数的定义 二、二、求高阶导数与高阶偏导数求高阶导数与高阶偏导数 三、三、 四、小结四、小结 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 2 ( )( ),f xfxx 如如果果函函数数的的导导数数在在点点 处处可可导导 即即 回顾：高阶导数的定义回顾：高阶导数的定义 定义定义 0 ()( ) ( )lim x fxxfx fx x ,( )( ).fxf xx 存存在在 则则称称为为函函

2、数数点点 处处的的二二阶阶导导数数在在 记作记作 22 22 ( ) ( ),. d yd f x fxy dxdx 或或 .,),( 3 3 dx yd yxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数, , 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 3 ,( )1 ( ), f x n n f x 一一般般地地 函函数数的的阶阶导导数数的的导导 阶阶导导 数数称称为为 函函数数数数的的记记作作 ( )( ) ( ) ( ),. nn nn nn d yd f x fxy dxdx 或或 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导

3、数, , 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. . ,( );( ).f xfx 零零阶阶导导数数相相应应地地称称为为称称为为一一阶阶导导数数 .,),( 4 4 )4()4( dx yd yxf 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 4 30203 )73()87( xxxy (90)(91) .yy求求和和 由于函数由于函数 30203 )73()87( xxxy 展开后的最高次幂项为展开后的最高次幂项为 3020330 3 x 9030 3x 所以所以 )90( y )91( y 30 390!, 0. 例例

4、1 已知函数已知函数 解解 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 5 ),( 2 2 yxf x z x z x xx ),( 2 2 yxf y z y z y yy ),( 2 yxf yx z x z y xy ),( 2 yxf xy z y z x yx 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导 定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. . 一、高阶偏导数的定义一、高阶偏导数的定义 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 6 解解 x z ,33 322 y

5、yyx y z ;92 23 xxyyx 2 2 x z ,6 2 xy 2 2 y z ;182 3 xyx 3 3 x z ,6 2 y xy z 2 . 196 22 yyx yx z 2 , 196 22 yyx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 7 原函数图形原函数图形 偏导函数图形偏导函数图形 偏导函数图形偏导函数图形 二阶混合偏二阶混合偏 导函数图形导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：函数图象间的关系： 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与

6、高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 8 解解 ,cosbyae x u ax ;sinbybe y u ax ,cos 2 2 2 byea x u ax ,cos 2 2 2 byeb y u ax 2 s,in ax ab u x y eby 2 s.in ax ab u y x eby 问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？ 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 9 3 22 ( , )(0,0) ( , ) 0( , )(0,0) ( , ). x y x y f x yxy x y f x y 设设 求求的的二二阶阶混混合合偏偏

7、导导数数 解解( , )(0,0),x y 当当时时 222 3222 )( 2)(3 ),( yx yxxyxyx yxf x , )( 23 222 4 22 2 yx yx yx yx , )( 2 ),( 222 23 22 3 yx yx yx x yxf y 例例 4 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 10 ( , )(0,0),x y 当当时时按定义可知：按定义可知： x fxf f x x )0 , 0()0 ,( lim)0 , 0( 0 , 0 0 lim 0 x x y fyf f y y )0 , 0(), 0( lim

8、)0 , 0( 0 , 0 0 lim 0 y y y fyf f xx y xy )0 , 0(), 0( lim)0 , 0( 0 , 0 x fxf f yy x yx )0 , 0()0 ,( lim)0 , 0( 0 . 1 (0,0)(0,0). xyyx ff 显显然然 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 11 . 0 2 2 2 2 y u x u 问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 解解 2222 1 lnln(), 2 xyxy 因因为为 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首

9、页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 12 22 , ux xxy , 22 yx y y u 222 222 2 ()2 () uxyxx xxy 222 2222 ()2 () uxyyy yxy 22 22 uu xy . 0 222 22 222 22 )()(yx yx yx xy 因此因此 所以所以 22 222 , () yx xy 22 222 . () xy xy 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 13 例例6 arctan ,(0),(0).yxff 设设求求 解解 2 1 1 x y ) 1 1 ( 2 x y 2

10、2 )1( 2 x x ) )1( 2 ( 22 x x y 32 2 )1( )13(2 x x 0 22 )1( 2 )0( x x x f 0 32 2 )1( )13(2 )0( x x x f; 0 . 2 1.直接法直接法: :根据定义逐步求高阶根据定义逐步求高阶( (偏偏) )导数导数. . 二、求高阶导数与高阶偏导数二、求高阶导数与高阶偏导数 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 14 ,uvn设设函函数数 和和 具具有有 阶阶导导数数 则则 )()()( )()1( nnn vuvu )()( )()2( nn CuCu )()(

11、 0 )()()( )2()1()()( ! )1()1( ! 2 )1( )()3( kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则: 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 15 22(20) ,. x yx ey 设设求求 解解 22 , x uevx 设设则则由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式知知 (20)2(20)22(19)2 2(18)2 ()20()() 20(201) ()()0 2! xx x yexex ex

12、22 ! 2 1920 22202 218 2192220 x xx e xexe 2022 2(2095). x exx 例例7 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 16 ( ) ln xn yaxy，求求(01).aa， ( ) ()(ln ) , xnxn aaa 1 ( ) ( 1)(1)! (ln ), n n n n x x 解解 例例8 ( )()( ) 0 ()(ln ) n nkxn kk n k yCax 1 0 ( 1)(1)! (ln ) kn kxn k nk k k C aa x 1 0 ( 1)(ln )(1)!.

13、xn kn kk nk k a akC x 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 17 常用高阶导数公式常用高阶导数公式 nn xnx )1()1()()4( )( n nn x n x )!1( )1()(ln)5( 1)( ) 2 sin()(sin)2( )( nkxkkx nn ) 2 cos()(cos)3( )( nkxkkx nn )0(ln)()1( )( aaaa nxnxxnx ee )( )( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则通过四则 1 )( ! )1() 1 ( n nn x n x 运算运算,

14、 ,变量代换等方法变量代换等方法, ,求出求出n阶导数阶导数. . 3.间接法间接法: 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 18 (5) 2 1 ,. 1 yy x 设设求求 解解) 1 1 1 1 ( 2 1 1 1 2 xxx y )1( ! 5 )1( ! 5 2 1 66 )5( xx y )1( 1 )1( 1 60 66 xx 例例9 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 19 66( ) sincos,. n yxxy 设设求求 解解 3232 )(cos)(sinxxy )coscos

15、sin)(sincos(sin 422422 xxxxxx xxxx 22222 cossin3)cos(sin x2sin 4 3 1 2 2 4cos1 4 3 1 x 53 cos4 , 88 x ). 2 4cos(4 8 3 )( nxy nn 例例10 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 20 已知函数已知函数y=f(x)，则它的微分为，则它的微分为 三、高阶微分三、高阶微分 ( ).dyfx dx 亦可称为一阶微分；亦可称为一阶微分； 类似地，二阶微分定义为类似地，二阶微分定义为 ( )dfdxdyxd ( )fx dxdx ( )

16、fx dx dx 2 ),(fxdx 记作记作 22 ( ).fxdxyd 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 21 一般的，已知函数一般的，已知函数y=f(x)，则它的，则它的n- -1阶微分为阶微分为 1(1)1 ( ); nnn dyfx dx 则则n阶微分定义为阶微分定义为 111 ( ) nnn dfdxyxdd 11 ( ) nn fx dxdx ( ) ( ), n n fxdx 记作记作 ( ) ( ). nnn fxd ydx 由此可得由此可得 ( 2 ) d d . n n x f y x 上一页上一页下一页下一页返回首页返回

17、首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 22 注注 (1) ()() nnnn dxdxdxd x ， (2) 求求 n 阶微分实质上就是求阶微分实质上就是求 n 阶导数阶导数. 解解 2 12,dyx dx 22 d yy dx 2 24.xdx ()ndx表表示示微微分分的的幂幂， n dx简简记记为为； () n d x指指幂幂的的微微分分， 1 () nn d xnxdx 即即 ； . n xnd x而而是是 的的 阶阶微微分分 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 23 (3) 求高阶微分时：求高阶微分时： 若若 x 是自变量，则

18、由于是自变量，则由于 dx 是不依赖于是不依赖于x 的任意的任意 的数，故关于的数，故关于 x 微分时，必须视微分时，必须视 dx为常数因子为常数因子. 若若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如不是自变量，而是某一变量的函数，如 ( )xg t ， ( ) .dxg t dtt 则则是是的的函函数数 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 24 ( )( )dyfx g t dt 2 ( )d yd fx dx ( )fx dx ( )( ) ()d fx dxfx d dx 22 (.)( )fx dxfx d x 22 ( )( )xg td

19、 xg t dt 因因，故故 2(2)2 dd.yfxx 而而 x 是自变量时，有是自变量时，有 2 ()d xd dx 2 ( )0,x dx 22 .( )d yfx dx 所所以以 结论：高阶微分不具有形式不变性结论：高阶微分不具有形式不变性. ( )( )( ( )yf xxg tyf g t 设设，则则对对于于，有有 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 25 22 (sin ) ()d yudu 2 sin ()u du 22 sin(2)xxdx 222 4sin;xx dx 再求二阶微分再求二阶微分, 可得可得 222 sind y

20、dx 2222 (2cos4sin)xxxdx 22222 4sins.2co x dxxx dx 由此可见，上述两种结果并不相等由此可见，上述两种结果并不相等. 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 26 一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜. 解解 cos,dyudu 2 cosd ydudu coscosdu duud du 22 sincos,uduud u 2,duxdx 2 222 4,dudux dx 222 2.d ud duu dxdx 故故 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 27 22