2986.抗旱优化模型

1、抗旱优化模型摘要:本题属于整数线性规划问题根据，题目的意思，我们可以知道有多种方案可以进行，第一种只进行管道的铺设，第二种只进行打井，第三种铺设管道和打井同时进行。对第三种方案进行模型建立，先利用matble1制出1号，2号，3号，4号井从2001-2009年产水情况的拟合曲线图，再用matble计算出现有四口井在2010年至2014年的产水量，再用lingo9.0软件进行优化规划求解。求出费用的最少，考虑一共打哪几口井且提供总水量以及费用，管道的供水量为多少以及管道费用多少。我们引入0-1变量，i=1,2,3,4,5.j=1,2,3,4,5,6,7,8. 只能取0或1，0-1变量表示第i年打

2、第j口井，总费用为打井费用和铺设管道费用，求出目标函数m为总费用的最小值。关键字：整数线行规划 拟合曲线 优化规划 0-1变量 最小值 一问题重述 位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全

3、部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。铺设管道的费用为p=0.66q0.51l（万元），其中q表示每年的可供水量（万吨/年），l表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之

4、后，每年能够通过管道至少提供100万吨 。 政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获吨水，请作出一个从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起，三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨）年份产水量编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.32

5、3.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 8个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号12345678打井费用57546553当年产水2536321531282212 二模型的合理假设1、不考虑小蓄水池的作用和利息的因素。2、假设该村水的供水仅有水井和管道提供。3、在表2的每口水井的年产水量会以固定的每年10%速率减少。4、不考虑铺设管道中的种种因素，铺设管道三年内完成且第4年开始供水。5、在所打井中

6、实际供水量不低于预测的供水量。6.不考虑气候因素，如降雨量增多等因素对模型中数据的影响三符号说明1、只能取0或1，0-1变量表示第年打第口井2、表示铺设管道的总费用；3、分别表示前三年每年铺设管道的费用；4、分别表示前三年每年铺设管道的长度；5、表示管道的输水量；6、表示铺设管道费用和打井给用之和；7、表示打井的总费用。四问题的分析根据题目的意思，我们可以知道有多种方案可以进行，第一种只进行管道的铺设，第二种只进行打井，第三种铺设管道和打井同时进行。第一种，只进行管道铺设方案，由于管道的需要三年的时间，所以2010、2011、2012年只有现有的四口井供水。如下图表（1），他们的供水量在200

7、1到2009年逐年下降。到2009年，1号井供水量下降到22.7；2号井产水量下降到2.0,3号井产水量下降到11.2；4号井产水量下降到16.3。从2010年开始，它们的供水量明显少于2010年,2011年，2012年该村所需的供水量150万吨、160万吨、170万吨。所以只进行管道铺设这个方案不符合要求。所以放弃该方案的模型。图表（1）第二钟只进行打井方案，现有四口井当前2009的年的供水总量为52.2万吨，如下图表（2）所示。可以知道2010年至2014年的产水量，预测的八口井2010年的供水总量为201万吨，从2010年开始第年的供水量为，求的第四年2013年的供水量万吨，而现有四口井

8、2013年的供水总量为20.72万吨，少于第四年所需水量的180万吨，所以不满足该村的需要，井的水量在减少，所以第五年也不满足需要，就应该考虑到铺设管道提供一部分的水量，才能满足需要。所以第二种方案放弃。表（1）年产水量编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.623号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.7232018.917.516.3总供水量81.6119.

9、297.985.676.568.363.257.152.2 图表（2）我们选作第三种，打井和铺设管道同时进行，先在matlab中做出四口水井的拟合图，以便直观明显的观察着四口水井产水量的变化趋势。再用一次拟合或二次拟合命令计算出现有四口井在2010年至2014年的产水量，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，所以可以知道该村还需要多少水量，因此我们的做一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。也就是一个优化规划，我们可以用lingo9.0软件进行优化规划求解。求出费用的最少，一共打几口井提供多少

10、水量以及打井费用为多少，管道的供水量为多少以及管道费用多少。我们引入0-1变量.只能取0或1，0-1变量表示第年打第口井，总费用为打井费用和铺设管道费用，目标函数为总的费用的最小值。五模型建立与求解5.1模型建立（1）由表1的现有的四口井的近几年的产水量的数据进行分析计算出2010年至2014年各井的预产水量，用matlab进行拟合，做出四口水井的拟合图x=2001:1:2009;y1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0y3=27.9 25.8 23.8 21

11、.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2y4=0 46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3subplot(2,2,1)plot(x,y1)title(1号井)subplot(2,2,2)plot(x,y2)title(2号井)subplot(2,2,3)plot(x,y3)title(3号井)subplot(2,2,4)plot(x,y4)title(4号井)得到1号，2号，3号，4号井的拟合图如下所示：对原有的四口井进行预测2010到2014年的产水量：1.在matlab输入框里输入以下数据： x=1:1:9 y=32.2 31.3 29.

12、7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7; a=polyfit(x,y,1)z=polyval(a,x)plot(x,y,k+,x,z,r)a = -1.2017 33.4639 x=10;11;12;13;14; y=-1.2017*x+33.4639得到1号井的产水量：y = 21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.64012.在matlab输入框里输入以下数据：x=1:1:9; y=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0; a=polyfit(x,y,3)z=polyval(a,x)plot(x,y

13、,k+,x,z,r)a = -0.0311 0.7966 -7.5771 28.2357 x=10;11;12;13;14;y=-0.0311*x.3+0.7966*x.2-7.5771*x+28.2357得到2号井的产水量：y = 1.0247 -0.1179 -1.7199 -3.9679 -7.04853.在matlab输入框里输入以下数据：x=1:1:9; y=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2; a=polyfit(x,y,1)z=polyval(a,x)plot(x,y,k+,x,z,r)a = -2.0850 29.9806

14、x=10;11;12;13;14; y=-2.0850*x+29.9806得到3号井的产水量：y = 9.1306 7.0456 4.9606 2.87560.79064在matlab输入框里输入以下数据：x=2:1:9; y=0 46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3; a=polyfit(x,y,3)z=polyval(a,x)plot(x,y,k+,x,z,r)a = -0.1773 3.7333 -27.0442 86.2095 x=10;11;12;13;14;15;y=-0.1773*x.3+3.7333*x.2-27.0442*x+86.2

15、095得到4号井的产水量： 11.7975 4.4663 -7.1001 -23.9655 -47.1937综合以上对1、2、3、4号拟合图的观察，以及对2010到2014年产水量的计算得到四口井2010-2014年的预测产水量。如下图表所示：下图表是根据四口水井在2010年到2014年的预测产水量以及各年的产水总量，然后利用excel作出的图表： 图表（3）年份产水量编号201020112012201320141号井21.4520.2519.0017.8416.642号井1.0200003号井9.137.04.962.880.794号井11.804.47000各年总产水量43.4031.67

16、23.9620.7217.43如上图表（3）所示，从四口水井在2010到2014年的预测产水量以及它们各年的产水总量，我们可以看出，在2010年随着时间的推移，四口井的产水量在逐渐降低。尤其是1号井到了2011年已经干涸了，而且3号水井到了2012年也开始干涸。1号和3号水井分别在2011年和2012年以后无产水量。表（2） 总费用打井支出铺设管道费用1号井2号井3号井4号井5号井6号井7号井8号井第一年铺设费用第二年铺设费用第三年铺设费用根据以上两图，我开始建立目标函数：min=57546553;约束条件：; ; ; ; ; ; ;模型求解 在lingo9.0软件中输入下面数据，并运行min

17、 = 5*n11+7*n12+5*n13+4*n14+6*n15+5*n16+5*n17+3*n18+p1+5*n21+7*n22+5*n23+4*n24+6*n25+5*n26+5*n27+3*n28+p2+5*n31+7*n32+5*n33+4*n34+6*n35+5*n36+5*n37+3*n38+p3+5*n41+7*n42+5*n43+4*n44+6*n45+5*n46+5*n47+3*n48+5*n51+7*n52+5*n53+4*n54+6*n55+5*n56+5*n57+3*n58;l1+l2+l3=20;p1=0.66*q0.51*l1;p2=0.66*q0.51*l2;p3

18、=0.66*q0.51*l3;q=100;5*n11+7*n12+5*n13+4*n14+6*n15+5*n16+5*n17+3*n18+p1=60;5*n21+7*n22+5*n23+4*n24+6*n25+5*n26+5*n27+3*n28+p2=60;5*n31+7*n32+5*n33+4*n34+6*n35+5*n36+5*n37+3*n38+p3=60;5*n41+7*n42+5*n43+4*n44+6*n45+5*n46+5*n47+3*n48 =60;5*n51+7*n52+5*n53+4*n54+6*n55+5*n56+5*n57+3*n58 =60;n11+n21+n31+n

19、41+n51=1;n12+n22+n32+n42+n52=1;n13+n23+n33+n43+n53=1;n14+n24+n34+n44+n54=1;n15+n25+n35+n45+n55=1;n16+n26+n36+n46+n56=1;n17+n27+n37+n47+n57=1;n18+n28+n38+n48+n58=150;(25*n11+36*n12+32*n13+15*n14+31*n15+28*n16+22*n17+12*n18)*0.9+ 31.67=160;(25*n11+36*n12+32*n13+15*n14+31*n15+28*n16+22*n17+12*n18)*0.9*

20、0.9+ 23.96=170;(25*n11+36*n12+32*n13+15*n14+31*n15+28*n16+22*n17+12*n18)*0.9*0.9*0.9+20.72 +q=180;(25*n11+36*n12+32*n13+15*n14+31*n15+28*n16+22*n17+12*n18)*0.9*0.9*0.9*0.9+ 17.43 +q=190;end由lingo数据可以得到： , 由所得数据，根据题意铺设管道钱取整数得：，万元万元打井费用万元总费用所以最小费用为m=173万元六、模型的评价及推广本模型利用了整数线性规划和拟合的方法，该模型虽然简洁明了，但可以用于各种企

21、业及其单位优化金额利用，以及最小利润预测化，可用于解决金融投资，工程，农业等方面。用运拟合的方法制出了四口井水从2000年-2010年的供水情况的曲线图，使人明了的知道四口井水的供水情况的趋势，为下一步所做的打井和铺管道提供一些线索，这样就可以更好的周密的为打井和铺管道策划和理。用运整数线性规划求出最优解，较合理的算出所应花费的最少费用。通过精密的评价知该模型有不少的有点，但不可所为的百洞不漏。 优点：原理简单，层次分明，对所应花的费用作出了客观的评价，对于目标函数结构复杂并且缺乏必要的数据资料的情况更合理 缺点：考虑的因素不够并且不太精确，所以算出的值不是那么合理。七、心得体会 听说学校要举

22、办一届数学建模竞赛，感到特别高兴，就和几个同学组了一个队报了名。之后我们就开始着手准备这次比赛：我们首先一起到图书馆借了一些相关的资料，然后就进行了明确的分工。到了比赛那天我们各自先认真阅读了这次比赛的题目，然后经过一段时间的讨论我们最终确定了题目。题目确定之后我们就进行了一下分工：一位同负责对数据进行分析，我负责在网上查阅资料，还有一位同学负责在图书馆所借的资料中查阅。相关资料查完之后我们就开始对第一题进行分析、讨论，在讨论的过程中我们有过激烈的争执，但是经过认真的思考我们最终统一了意见，建立了初步模型。时间一分一秒的过去，不知不觉就到了晚上，第一天晚上我们不知道要参加数模竞赛晚上还要熬夜熬

23、夜，见同学们都在认真做题，没有离去的意思，老师们也陪在身边进行指导。我们就决定留下来继续做。一位同学负责编程，得到第一题的初步结果，我和另一位同学负责对第二题进行分析。时间过得很快，不知不觉就到了早上，此时我们已是筋疲力尽了。中午醒来之后我们又开始了紧张的工作，对于第二题我们前一天晚上没有找到一点头绪，所以第二天我们的主要目的就是认真分析第二题并且建立一个初步模型。但是我们想了好长时间而且查了好多资料，但是还是没有找到一点头绪，不知不觉到了晚上，这时我们变的好紧张，都有点不知所措了，经过彼此之间的安慰渐渐的好了起来。之后我们又决定晚上留下来继续做，时间一分一秒的过去，最后我们决定将问题简化，建

24、立一个简单的模型。在不知不觉中又到了早上，我们整理完手中的资料就回去休息了。中午起来之后，我们就开始写论文，并且对一、二问进行改进。大概到了晚上九点多的时候我们基本上完成了这次比赛的论文，之后我们就开始对论文进行修改，最终我们成功的提交了论文。交完卷之后，虽然我们已是筋疲力尽，但是我们还是觉得特别开心、特别幸福，因为我们觉得我们有过一段不一样的经历，而且在这次经历中我们也收获了许多。到了暑假，学校就组织那些最终进入暑期培训名单的同学到新校区培训，到了新校区之后，学校首先就是为我们分寝室，我和其他七位同学被分到了三楼的一间房间。解决完住的问题之后，第二天我们就开始进行培训了，我又和其他两位同学组

25、了一个新队。学校的安排是培训25天，每天上午都有一个老师为我们上课，下午和晚上我们就针对老师讲过的内容自己练习，学有余力的时候可以练习其它与建模相关的内容。上课的时候，我们听的非常认真，而且还经常和老师一起讨论，练习的时候，我们也是非常认真、自律，很少做一些和学习无关的事情。我们学校新校区靠近河，到了晚上蚊虫很多，而且天气很热，但是它并没有动摇我们继续在这学习下去的决心，并且也没有影响我们每天的学习。培训结束之后，再回忆起这段时光，觉得回味无穷，我们不仅学了不少新知识，而且还结识了许多新朋友。八、参考文献1 杨启帆.方道元.数学建模m.杭州：浙江大学出版社，1999年.2 姜启源.谢金星.数学

26、建模m.北京：高等教育出版社，2003年.附录；模型在lingo中的运行程序 objective value: 172.7950 total solver iterations: 48 variable value reduced cost n11 1.000000 0.000000 n12 1.000000 0.000000 n13 1.000000 0.000000 n14 0.000000 0.2500000 n15 1.000000 0.000000 n16 1.000000 0.000000 n17 1.000000 0.000000 n18 0.5246914 0.000000 p

27、1 18.22097 0.000000 n21 0.000000 6.250000 n22 0.000000 9.000000 n23 0.000000 8.000000 n24 0.000000 4.000000 n25 0.000000 7.750000 n26 0.000000 7.000000 n27 0.000000 5.500000 n28 0.000000 3.000000 p2 60.00000 0.000000 n31 0.000000 6.250000 n32 0.000000 9.000000 n33 0.000000 8.000000 n34 0.000000 4.000000 n35 0.000000 7.750000 n36 0.000000 7.000000 n37 0.000000 5.500000 n38 0.000000 3.000000 p3 60.00000 0.000000 n41 0.000000 6.250000 n42 0.000000 9.000000 n43 0.0000