整式的乘法与因式分解复习人教版八年级上

1、 主题主题1 1 幂的运算幂的运算 【主题训练主题训练1 1】(2013(2013舟山中考舟山中考) )下列运算正确的是下列运算正确的是( () ) A.xA.x2 2+x+x3 3=x=x5 5 B.2xB.2x2 2-x-x2 2=1=1 C.xC.x2 2x x3 3=x=x6 6 D.x D.x6 6x x3 3=x=x3 3 【自主解答自主解答】选选D.A.xD.A.x2 2+x+x3 3=x=x5 5，这两项不是同类项，无法合并，这两项不是同类项，无法合并， 故本选项错误；故本选项错误； B.2xB.2x2 2-x-x2 2=x=x2 2，合并同类项时，把同类项的系数相加减，字母及

2、，合并同类项时，把同类项的系数相加减，字母及 字母指数保持不变，故本选项错误；字母指数保持不变，故本选项错误； C.xC.x2 2x x3 3=x=x5 5，同底数幂相乘，底数不变，指数相加而不是相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加而不是相乘， 故本选项错误；故本选项错误； D.xD.x6 6x x3 3=x=x3 3，同底数幂相除，底数不变，指数相减，故本选项，同底数幂相除，底数不变，指数相减，故本选项 正确正确. . 【主题升华主题升华】 幂的幂的“四种运算四种运算” 1.1.同底数幂相乘：同底数幂相乘：a am ma an n=a=am+n m+n(m (m，n n为正整数为正整数).

3、). 2.2.幂的乘方：幂的乘方：(a(am m) )n n=a=amn mn(m (m，n n为正整数为正整数).). 3.3.积的乘方：积的乘方：(ab)(ab)n n=a=an nb bn n(n(n为正整数为正整数).). 4.4.同底数幂相除：同底数幂相除：a am ma an n=a=am-n m-n(a0 (a0，m m，n n都是正整数，且都是正整数，且mn).mn). 它们是整式乘除的基础，注意公式的逆用它们是整式乘除的基础，注意公式的逆用. . 1.(20131.(2013衡阳中考衡阳中考) )下列运算正确的是下列运算正确的是( () ) A.3a+2b=5ab B.aA.

4、3a+2b=5ab B.a3 3a a2 2=a=a5 5 C.aC.a8 8a a2 2=a=a4 4 D.(-2a D.(-2a2 2) )3 3=-a=-a6 6 【解析解析】选选B.aB.a3 3a a2 2= a= a3+2 3+2=a =a5 5. . 2.(20132.(2013广州中考广州中考) )计算：计算：(m(m3 3n)n)2 2的结果是的结果是( () ) A.mA.m6 6n B.mn B.m6 6n n2 2 C.mC.m5 5n n2 2 D.m D.m3 3n n2 2 【解析解析】选选B.(mB.(m3 3n)n)2 2=(m=(m3 3) )2 2n n2

5、 2=m=m6 6n n2 2. . 3.(20123.(2012黄冈中考黄冈中考) )下列运算正确的是下列运算正确的是( () ) A.xA.x4 4x x3 3=x=x12 12 B.(x B.(x3 3) )4 4=x=x81 81 C.xC.x4 4x x3 3=x(x0) D.x=x(x0) D.x3 3+x+x4 4=x=x7 7 【解析解析】选选C.xC.x4 4x x3 3=x=x7 7，A A错误；错误；(x(x3 3) )4 4=x=x12 12， ，B B错误；错误； x x4 4x x3 3=x=x，C C正确；正确；x x3 3+x+x4 4中，中，x x3 3和和x

6、 x4 4不是同类项，不能合并，不是同类项，不能合并， D D错误错误. . 4.(20124.(2012眉山中考眉山中考) )下列计算正确的是下列计算正确的是( () ) A.aA.a5 5+a+a5 5=a=a10 10 B.a B.a3 3a a3 3=a=a9 9 C.(3aC.(3a3 3) )3 3=9a=9a9 9 D.a D.a12 12 a a3 3=a=a9 9 【解析解析】选选D.A.aD.A.a5 5+a+a5 5=2a=2a5 5，错误；，错误；B.aB.a3 3a a3 3=a=a6 6，错误；，错误； C.(3aC.(3a3 3) )3 3=27a=27a9 9，

7、错误，错误. . 5.(20125.(2012福州中考福州中考) )下列计算正确的是下列计算正确的是( () ) A.a+a=2aA.a+a=2a B.b B.b3 3b b3 3=2b=2b3 3 C.aC.a3 3a=aa=a3 3 D.(a D.(a5 5) )2 2=a=a7 7 【解析解析】选选A.A.对于选项对于选项A A：a+a=2aa+a=2a，正确；选项，正确；选项B B是同底数幂相是同底数幂相 乘，底数不变，指数相加，正确答案是乘，底数不变，指数相加，正确答案是b b6 6，选项，选项B B错误；选项错误；选项C C 是同底数幂相除，底数不变，指数相减，正确答案是是同底数幂

8、相除，底数不变，指数相减，正确答案是a a2 2，选项，选项 C C错误；选项错误；选项D D是幂的乘方，底数不变，指数相乘，正确答案是是幂的乘方，底数不变，指数相乘，正确答案是 a a10 10，选项 ，选项D D错误错误. . 6.(20126.(2012衡阳中考衡阳中考) )下列计算正确的是下列计算正确的是( () ) A.3a+2a=5aA.3a+2a=5a2 2 B.(2a) B.(2a)3 3=6a=6a3 3 C.(x+1)C.(x+1)2 2=x=x2 2+1 D.x+1 D.x2 2-4=(x+2)(x-2)-4=(x+2)(x-2) 【解析解析】选选D.AD.A选项属于合并

9、同类项，只把系数相加减，字母选项属于合并同类项，只把系数相加减，字母 及字母的指数不变，结果应为及字母的指数不变，结果应为5a5a，故，故A A选项错误，选项错误，B B选项属于积选项属于积 的乘方，应把积中每一个因式分别乘方，结果应为的乘方，应把积中每一个因式分别乘方，结果应为8a8a3 3，故，故B B选选 项错误；项错误；C C选项属于完全平方公式，展开结果应为选项属于完全平方公式，展开结果应为x x2 2+2x+1+2x+1，故，故 C C选项错误；选项错误；D D选项属于用平方差公式进行因式分解，两个数的选项属于用平方差公式进行因式分解，两个数的 平方差，等于这两个数的和与这两个数的

10、差的积，正确平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，正确. . 7.(20127.(2012滨州中考滨州中考) )根据你学习的数学知识，写出一个运算结根据你学习的数学知识，写出一个运算结 果为果为a a6 6的算式的算式. . 【解析解析】如如a a2 2a a4 4=a=a6 6，(a(a2 2) )3 3=a=a6 6等等. .答案不唯一答案不唯一. . 答案：答案：a a2 2a a4 4( (答案不唯一答案不唯一) ) 8.(20138.(2013资阳中考资阳中考)(-a)(-a2 2b b2 2) )2 2a=a=. . 【解析解析】(-a(-a2 2b b2 2) )2 2a=

11、 aa= a4 4b b4 4a=aa=a5 5b b4 4. . 答案：答案：a a5 5b b4 4 主题主题2 2 整式乘除整式乘除 【主题训练主题训练2 2】(2013(2013河南中考河南中考) )先化简，再求值：先化简，再求值： (x+2)(x+2)2 2+(2x+1)(2x-1)-4x(x+1)+(2x+1)(2x-1)-4x(x+1)，其中，其中x=-x=- 【自主解答自主解答】原式原式=x=x2 2+4x+4+4x+4x+4+4x2 2-1-4x-1-4x2 2-4x=x-4x=x2 2+3.+3. 当当x=- x=- 时，原式时，原式=(- )=(- )2 2+3=5.+3

12、=5. 2. 22 【备选例题备选例题】(2013(2013福州中考福州中考) )化简：化简：(a+3)(a+3)2 2+a(4-a).+a(4-a). 【解析解析】(a+3)(a+3)2 2+a(4-a)+a(4-a) =a=a2 2+6a+9+4a-a+6a+9+4a-a2 2 =10a+9.=10a+9. 【主题升华主题升华】 1.1.整式的乘法：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘整式的乘法：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘 多项式及乘法公式多项式及乘法公式. . 2.2.整式的除法：单项式除以单项式、多项式除以单项式整式的除法：单项式除以单项式、多项式除以单项式. .整式

13、整式 乘除的关键是幂的运算法则乘除的关键是幂的运算法则. . 【知识拓展知识拓展】 1.1.整式乘法中的化简求值整式乘法中的化简求值 整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有：整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有：(1)(1)按照题目规按照题目规 定的运算顺序，对原式进行化简定的运算顺序，对原式进行化简.(2).(2)将对应的字母数值代入化将对应的字母数值代入化 简后的结果进行计算简后的结果进行计算.(3).(3)注意代入时，不要代错，在求值时，注意代入时，不要代错，在求值时， 式子的运算符号和顺序都不变式子的运算符号和顺序都不变. . 2.2.整式的混合运算整式的混合运算 整式的混合运算用到

14、的知识点比较多，除了整式加减、乘除，整式的混合运算用到的知识点比较多，除了整式加减、乘除， 乘法公式，还要用到去括号、乘法分配律等乘法公式，还要用到去括号、乘法分配律等. . 进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序，先算什么再算进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序，先算什么再算 什么，每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误什么，每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误. . 1.1.（20132013泰安中考）下列运算正确的是（泰安中考）下列运算正确的是（ ） A A3x3x3 35x5x3 3= =2x B2x B6x6x3 32x2x-2 -2=3x =3x C C D D3(2x

15、3(2x4)=4)=6x6x1212 【解析解析】选选C.3xC.3x3 35x5x3 3= =（3 35 5）x x3 3= =2x2x3 3，故，故A A错；错；6x6x3 32x2x-2 -2= = （6 62 2）（x x3 3x x-2 -2） ）=3x=3x5 5，故，故B B不正确；不正确； 故故C C正确；正确；3(2x3(2x4)= 4)= 3 32x+2x+（3 3）（4 4）= =6x+126x+12， 故故D D错错 326 11 ( x )x 39 2 32236 111 ( x )( )xx 339 ， 2.(20132.(2013济南中考济南中考) )计算：计算：

16、3(2x+1)-6x=3(2x+1)-6x=. . 【解析解析】3(2x+1)-6x=6x+3-6x=3.3(2x+1)-6x=6x+3-6x=3. 答案：答案：3 3 3.(20123.(2012嘉兴中考嘉兴中考) )化简：化简：(x+1)(x+1)2 2-x(x+2).-x(x+2). 【解析解析】(x+1)(x+1)2 2-x(x+2)=x-x(x+2)=x2 2+2x+1-x+2x+1-x2 2-2x=1.-2x=1. 4.(20124.(2012贵阳中考贵阳中考) )先化简，再求值：先化简，再求值： 2b2b2 2+(a+b)(a-b)-(a-b)+(a+b)(a-b)-(a-b)2

17、 2，其中，其中a=-3a=-3，b=b= 【解析解析】2b2b2 2+(a+b)(a-b)-(a-b)+(a+b)(a-b)-(a-b)2 2=2b=2b2 2+a+a2 2-b-b2 2-a-a2 2+2ab-b+2ab-b2 2=2ab.=2ab. 当当a=-3a=-3，b= b= 时，原式时，原式=2ab=2=2ab=2(-3)(-3) =-3. =-3. 1 . 2 1 2 1 2 5.(20135.(2013宁波中考宁波中考) )先化简，再求值：先化简，再求值：(1+a)(1-a)+(a-2)(1+a)(1-a)+(a-2)2 2，其，其 中中a=-3.a=-3. 【解析解析】原式

18、原式=1-a=1-a2 2+a+a2 2-4a+4=-4a+5-4a+4=-4a+5，当，当a=-3a=-3时，时， 原式原式=12+5=17.=12+5=17. 主题主题3 3 因式分解因式分解 【主题训练主题训练3 3】(2013(2013泰州中考泰州中考) )若若m=2n+1m=2n+1，则，则m m2 2-4mn+4n-4mn+4n2 2的的 值是值是. . 【自主解答自主解答】m=2n+1m=2n+1，m-2n=1m-2n=1， 又又m m2 24mn+4n4mn+4n2 2=(m=(m2n)2n)2 2， 原式原式=(m=(m2n)2n)2 2=1=12 2=1.=1. 答案：答案

19、：1 1 【主题升华主题升华】 1.1.因式分解的知识框架图因式分解的知识框架图 2.2.因式分解法口诀：一因式分解法口诀：一“提提”二二“套套”三三“彻底彻底”. .首先提取首先提取 公因式；然后考虑套公式；两项相减考虑平方差，若是三项就公因式；然后考虑套公式；两项相减考虑平方差，若是三项就 用完全平方；最后检查是否分解彻底用完全平方；最后检查是否分解彻底. . 1.(20131.(2013河北中考河北中考) )下列等式从左到右的变形，属于因式分解下列等式从左到右的变形，属于因式分解 的是的是( () ) A.a(x-y)=ax-ayA.a(x-y)=ax-ay B.xB.x2 2+2x+1

20、=x(x+2)+1+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=xC.(x+1)(x+3)=x2 2+4x+3 D.x+4x+3 D.x3 3-x=x(x+1)(x-1)-x=x(x+1)(x-1) 【解析解析】选选D.AD.A，C C中的变形就是整式乘法，不是因式分解；中的变形就是整式乘法，不是因式分解；D D 将将x x3 3-x-x化为了化为了x x，x+1x+1，x-1x-1的积的形式，且等号两边相等，故的积的形式，且等号两边相等，故 是因式分解；是因式分解；B B中变形结果仍是中变形结果仍是x(x+2)x(x+2)与与1 1的和，故不是因式分的和，故不是因式分 解解. .

21、2.(20132.(2013贺州中考贺州中考) )把把a a3 3-2a-2a2 2+a+a分解因式的结果是分解因式的结果是( () ) A.aA.a2 2(a-2)+a(a-2)+aB.a(aB.a(a2 2-2a)-2a) C.a(a+1)(a-1)C.a(a+1)(a-1)D.a(a-1)D.a(a-1)2 2 【解析解析】选选D.aD.a3 3-2a-2a2 2+a=a(a+a=a(a2 2-2a+1)=a(a-1)-2a+1)=a(a-1)2 2. . 3.(20133.(2013烟台中考烟台中考) )分解因式：分解因式：a a2 2b-4bb-4b3 3= =. . 【解析解析】a

22、 a2 2b-4bb-4b3 3=b(a=b(a2 2-4b-4b2 2)= b(a+2b)(a-2b).)= b(a+2b)(a-2b). 答案：答案：b(a+2b)(a-2b)b(a+2b)(a-2b) 4.(20134.(2013郴州中考郴州中考) )已知已知a+b=4a+b=4，a-b=3a-b=3，则，则a a2 2-b-b2 2= =. . 【解析解析】因为因为a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=4=(a+b)(a-b)=43=12.3=12. 答案：答案：1212 【知识拓展知识拓展】在求代数式的值的时候，往往先将代数式用因式在求代数式的值的时候，往往先将代数式用因

23、式 分解进行变形，用含已知条件的代数式表示原代数式，再将已分解进行变形，用含已知条件的代数式表示原代数式，再将已 知条件整体代入，这样使计算简便知条件整体代入，这样使计算简便. . 5.(20135.(2013湖州中考湖州中考) )因式分解：因式分解：mxmx2 2-my-my2 2. . 【解析解析】mxmx2 2-my-my2 2=m(x=m(x2 2-y-y2 2)= m(x+y)(x-y).)= m(x+y)(x-y). 6.(20136.(2013赤峰中考赤峰中考) )化简：化简：(a+3)(a+3)2 2-(a-3)-(a-3)2 2. . 【解析解析】原式原式=(a+3)+(a-

24、3)(a+3)-(a-3)=(a+3+a-3)(a+3-=(a+3)+(a-3)(a+3)-(a-3)=(a+3+a-3)(a+3- a+3)=2aa+3)=2a6=12a.6=12a. 【知识归纳知识归纳】因式分解的方法因式分解的方法 名称名称提公因式法提公因式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式 公式公式 ma+mb+mc=ma+mb+mc= m(a+b+c)m(a+b+c) a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) a a2 22ab+b2ab+b2 2= = (a(ab)b)2 2 项数项数 ( (左边左边) ) 最少两项最少两项两项两项三项三项 适用适用 条件条件 有公因式有公因式 平方差形式平方差形式 (1)(1)两项两项. . (2)(2)每项都是平方每项都是平方 形式形式. . (3)(3)两项符号相反两项符号相反 完全平方形式完全平方形式 (1)(