随机过程习题与答案

1、第二章 随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、 通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不 同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果dd是一个随机过程，则其在时刻九取值d是一个随机变量。4川小于或等于某 一数值为的概率为Hd w蜀，随机过程dd的一维分布函数为1U1, 6）= HdG W %（2-1）如果尺（罔，小的偏导数存在，则dd的一维

2、概率密度函数为ox(2-2)对于任意时刻心和切把dm 为和4甸 电同时成立的概率巧（不,%2； tl9 t2）=p做）仝,（t2）x2称为随机过程x（z）的二维分布函数。如果/(xpx2；rpr2) =O代（心兀孙仏）dx dx2(2-3)(2-4)存在，则称血 屯；g切为随机过程的二维概率密度函数。对于任意时刻fl,切，把化（勺 与，xn； G-） = P做）兀，頃攻-）%（2-5）称为随机过程x（z）的门维分布函数。如果dxYdx2久存在，则称厶曲，捡，； fl, t2,，fn）为随机过程-（0的刀维概率密度函数。3. 随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协

3、方差函数和互相关函数。 随机过程蛊（M在任意给定时刻r的取值x（r）是一个随机变量，其均值为E歹（切=匸必（兀艸（2 - 7）其中，/Jx, /）为蛊（d的概率密度函数。随机过程“（M的均值是时间的确定函数，记作自, 它表示随机过程x（z）的门个样本函数曲线的摆动中心。随机过程蛊（d的方差的定义如下：Dt) = Et)-a(t)2(2-8)随机过程x(z)的方差常记作r(/)o随机过程“(f)的方差的另一个常用的公式为 巩刃)=町 F(f)-2d(f)R) +，(f)= EEp)_2a 町 R) + ap)=(2 - 9)也就是说，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻F,对于均值

4、自（f）的偏 离程度。随机过程蛊（d的相关函数的定义如下：人耳厶（兀,兀;f J JdTdRr（E=e鈕畑(2 -10)式中，“仏）和用也）分别是在心和氏时刻观測得到的随机变量。尽鸟是两个变量心和 t2的确定函数。随机过程（M的相关函数表示在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联 程度。随机过程x（d的协方差函数的定义如下：BgJ = E 做）-也）裂2） - d（g） =Lx Lc 不一曲 J比一曲2）厶（兀,兀；f J Jcbqch （2-11） 式中，Q、瓦创分别是在和$时刻得到的“（d的均值；4 （旳，盘；6,切是以d的二维 概率密度函数。呱 6）与尽L爲之间有如下关系式：B&,/,）

5、= R&（2 -12）若自仏）=$（甸=0,则 B（ti, &） = R（t,甸。随机过程x（d和刀（M的互相关函数的定义如下：心（A，2） =（心）（勾）1（2-13）4. 平稳过程及其性质平稳过程包括严平稳过程（强平稳过程或狭义平稳过程）和广义平稳过程。如果随机过 程的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数 D,有人（兀,心，,乙；心，厶，儿）=人（兀，兀2，心 厶+ 44+ 4昇n+ 4）（2-14）则称该随机过程是严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。严平稳随机过程的一维分布函数和均值都与时间无关，二维分布函数和自相关函数都只 与时间间隔有关。

6、把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅均值与时间无关和自相关函数只与时间间隔有关的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成 立。平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。因此，在求解各种统计平均时，无需无限多次 的样本，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替平稳随机过程的“统计平均” 值即可，从而使测量和计算大为简化。平稳过程Mr）的功率谱密度与其自相关函数是一付立叶变换对。据此，可以得到两条结 论：平稳过程的功率等于其自相关函数在零点的取值尺0）；各态历经过程任一样本函数 的功率谱密度等于平稳过程的功率谱密度。5. 高斯过程高斯过程又被称为正态随机过程。

7、如果随机过程的任意n维3=1,2,.）分布均服从 正态分布，则称它为正态过程或高斯过程，其a维正态概率密度函数表示式为(2-15)/ 一加2/ z何也|_2|儿=* V 3丿I乐1=1其中，数学期望=）1;方差 几二瓯U）；归一化协方差矩阵行列式1人2bg|B|=1氐.1丘爼）一勺弘）一理如果高斯过程在不同时刻不相关，则它们也是统计独立的。高斯过程经过线性系统后, 其系统输出也是高斯过程。6. 窄带随机过程如果随机过程刃。的谱密度集中在中心频率4附近相对窄的频带范围 3内，即满足 Df 4的条件，且远离零频率，则称其为窄带随机过程。随机过程Mf）可以表示为(t) =(t)cosa)ct + (

8、p.(t), a(t) 0(2 -16)其中，念（d为随机包络；人为随机相位；为中心角频率。显然，念（d和人（d的变化相对 于载波产生的相移（上）的变化要缓慢得多。将窄带随机过程表示式展开为(2-17)郭)= (0 cos(Qf) - M (0 sing/)其中，二选（dcos化（川；毘（/） = （/）sin化（別。吳（0和灵（”分别被称为同相分量和正交 分量。窄带随机过程Md的统计特性可以由还（d和总M或盖和巫（M的统计特性确定。若Mr） 的统计特性已知，则忽（z）和Z或去和冬（d的统计特性也随之确定。由干刃d平稳且均值为零，故对于任意的时间&都有/） = o ,所以E戍=0, E鹫=0(

9、2 -18)若窄带过程Md是平稳的，则炎和关（Z）也是平稳的。 平稳窄带随机过程Md的自相关函数可以表示为企(Q = &(Qcos(qQ-心(r)sin(QJ)= Rc(r)cos(Q) +心(r)sin(QJ)(2-19) 一个均值为零的窄带平稳高斯过程Mr),它的同相分量齐(d和正交分量关同样是平稳 高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的齐(d与理是统计独 立的。弘服从瑞利(Rayleigh)分布，么:服从均匀分布。7. 髙斯白噪声和带限白噪声电于系统中常见的热噪声近似为白噪声，白噪声的幅值服从高斯分布。因此，在通信系 统中，常用髙斯白噪声作为信道中的噪声模型。白噪声

10、通过一个有限带宽的信道或滤波器后, 输出噪声的带宽就是有限的，如果其频谱在信道或滤波器的通带内仍具有白色特性，则称其 为带限白噪声。白噪声n(d的功率谱密度在所有频率上均为常数，即/G(X),+CO)(2 - 20)或者化(0 =如/g(0,+co)(2-21)其中，必为正常数。式(2 - 20)是白噪声川。的双边功率谱密度，式(2 - 21)是其单边功 率谱密度。白噪声川*的自相关函数为R(t) = St)(2 - 22)上式表明，白噪声仅在r=0时才相关，而在任何两个不同时刻的随机变量都是不相关 的。如果白噪声幅值的概率分布服从髙斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两 个不同时刻上

11、的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。带限白噪声一般包括低通白噪声和带通白噪声。如果白噪声通过理想低通滤波器或理想 低通信道时，则其输出的噪声被称为低通白噪声；如果白噪声通过理想带通滤波器或理想带 通信道时，则其输出的噪声被称为带通白噪声。1.1.2难点随机过程分析的难点主要包括平稳随机过程通过线性系统后的分布函数、概率密度函数 和数字特征。设平稳随机过程也的均值、自相关函数和功率谱密度分别为绚、尺和只(彳，系统单 位冲激响应和传输函数分别为力(0和如。输出随机过程爲(M的均值为E 佥=E 匸 h(T)勺(f -r)dr =匸 h(r)E 盘(r-r)dr=X = of /?(

12、r)d t = gH(0)(2 - 23)JJ-X式中，刊0)是线性系统H(f)在20处的频率响应。由此可见，输出过程的均值是一个常数。 输出随机过程o(t)的自相关函数为R(f/+ C = E佥 4)生 4 + C=斗匸也灿-a)da7(0)魏 + 0)d0=J：匸 h(a)h(0)EE_ a)(. + r- 0)dod0(2 - 24)=匸匸 h(a)hp)R. (r + a- 0)d ad0 = Ro (r)上式表明，随机过程的自相关函数仅是时间间隔f的函数。综合上面两点，若线性 系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。输出随机过程$(的功率谱密度为Po(f)=C We-drJX=(a)%

13、(0)RiC + a-0)dad0*湖drr Z 匸/(Q)e心da匸/7(0)e-d0匸K(r)eTdL=Hf ) H(f) Pf ) = H(f ) P)(2 - 25)由上是式可见，输出随机过程爲(d的功率谱密度等于输入随机过程也的功率谱密度乘 以系统传输函数模值的平方。随机过程$(d可以表示为 a)=匸(f Y)dz = Hm f (r -rk)/(rk)J rkk 20当刍(r)是高斯分布的时，叔-制加制4氐是一个高斯随机变量，而无限个高斯随机变量 的叠加也是一个高斯分布的。因此，随机过程$(d呈高斯分布。1.2习题详解2-1 设随机过程 Rd = Acos(coz) + Bcos(

14、co0，-8 V V oo , co 为常数，A B 为互 相独立的随机变量，且E(A) = E(B) = 0, D(A) = D(B) a2。试判断X(t)是否为平稳过程。解 EX(/) = EAcos(d/) + Esm(dX) = 0 ,R(fJ + r) = EX(t)X (/ + r)=E 4 cos(効)+ B sin(曲)A cos(効 + cor) + B sin(曲 + yr)=E 4 cos )cos(効 + cor) + E sm) sin(血 + cdt)+EAB cos(ef) sin(曲 + cot) + sin() cos(q/ + cdt)=a2 cos(yr)

15、 cos + cot) + sin(曲)sin + 勿)=a2 cos(cr)因此，Rz)的均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关，它是平稳过程。2-2离散白噪声 A(/2), 72 = 0, 1, 2,其中，是X切是两两不相关的随机变 量，且EA(n) = 0, DA(n) F。试求Rn)的功率谱密度。解Rn)的自相关函数为R(m) = EX (n)X (n + /?)= Rd)的功率谱密度为S(0)=工 R(m)e3 = a27r；?t=-x2-3已知零均值平稳随机过程 A(Z),-oo t0, 0H吕。试求输出过程巾， r0tx5sin(7i+6)=25Esm2 6 = 25 0.2

16、 sin2 0 + 0.8sin2(0.57r) = 202-7随机过程=召sin(cod - &cos(cod,其中，X和X都是均值为0,方差为 ，的彼此独立的高斯随机变量，试求：随机过程Rd的均值、方差、一维概率密度函数和 自相关函数。解随机过程Rd的均值为EX(t) = EX1 sin(a)Z) - X2 cos(cor) = sin(of)EXJ-cos(a)f)EXJ = 0随机过程Rd的方差为DX(t) = EX2(t)-E2X(t)sm2(cor)+ X? cos2(co/)-2%. sin(co/)cos(co/) = sin2(co7)X12 + cos2(cor)X22-s

17、in(2coZ)EX1X2 =cr siii2 (cor) + cr cos2 (cor) 一 sin(2a)0 - EXi - EX2 = cr随机过程Rd的自相关函数为= EX=EX sin(co/1)-X2 cos(co/1)X1 sin(co/2)-X2 cos(co/j=Exj sin(3/Jsin(3) Xf cos(a)tl)cos(co/2)-XlX2 sin(co/1 + co/2)J=cr2 smCco/J sin(co/2) + cos(co/J cos(cof ?) E X J E X J siiXco + co/2) =a2 cos(coZ1-co/2) = cr c

18、os cor其中，1= t2 - tl.随机过程Rd的一维概率密度函数为jr2a72-8平稳随机过程Rd和Hd的均值分别为去和刘，自相关函数分别为尺；和尺, 且它们彼此独立。随机过程ZM =如+和ZM = Rd Hr)的。解随机过程乙的自相关函数为心(WJ = EZ“)Z) = E X ( +X (f J + Y(Q= Ex(Qxa)+x(QY(/j+m)x)+y(fjyg= Z)+ RQ + EX(0引畑 + EY(fjEX&)= Rx(T)+ RY(T)+ 2axaY随机过程乙(z)的自相关函数为/?/) = EZ(JZ) = EX(/jm)X)y(7= x(OX(r2) r(oy(r2)

19、 = /?x(r)/?r(r)2-9已知随机过程Rd = Q(d cos。 +弘其中，随机变量&在(0, 2兀)上服从均匀分布，是旬M广义平稳过程，且其自相关函数为-lr 00rlOthers与&统计独立。试求随机过程的自相关函数、功率谱密度和平均功率，并判断其是 否为广义平稳过程。解随机过程Rd的均值为E X (/) = Ea(t) cos(叫 f + 0 = E(r)- E cos(co0Z + 0)=(/) cos(CD0r + 0d = 0随机过程Rd的自相关函数为Rx (人,g) = X(r1)X(r2) = (rjcos + 9)f/(r2)cos(co 上 + 0)=ES(/)q

20、(L) fcos(cOofi + 0) cos(叫/丄 + 0)=R(t EcOS(C00Z2- 3(/1) + COS(3oh +coQZ2 + 20)2= -Rt)E cos(cd0/2 -J 4- E cos(3o/ +叫心 + 20)= |/?(r)coSl2(coor)+jj cosOoh +coor2 + 2&)d 0 =(r) cos(co0r)其中，r= 6 -纭由此可见，随机过程RM的自相关函数只与时间间隔有关，均值函数与时间无关，是广 义平稳过程。随机过程Rd的功率谱密度为心9)=厂心(也)弓召如(力5)+住+列)*严比22兀=扌5(炉 現)十5(Q+Q)*Sa，|Sa?随

21、机过程Rd的平均功率为S = Rx (0尸出(0) * cos(0)=2-10随机过程的均值为0,自相关函数为尺力，它通过一个如图题2-10所示的 系统后的输出为随机过程Hd。试求随机过程的自相关函数和功率谱密度。解由题意可得Y(t)=X(t) + Xt-T)因此，系统的传输函数为随机过程Hd的功率谱密度为PY9) = |H(Q)f Px =卩 + exp(-j迹)f Px (Q) =|1+cos(6yT) - j sm(eT ) FRX (r) = 2|1 + cos(T)|匸 Rx (r)ejrd r随机过程HR的自相关函数为RQ = L 片) = 2尸t Px + 匕(Q)cos(E)=2心+ 2厂Pg-=2 Rx (r) + FlPx (e) e 问+ 厂1 竹