勾股定理及两点间的距离公式

1、模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲(1) 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方利用勾股定理往往构造方程，已达到 解决问题的目的;(2) 应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，矢注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角 形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量矢系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有矢边长的问题时，要灵活的运用方程的思想例1】(1 )在直角 ABC 中 Z C=90 Z A=30 、 BC=1 、贝AB=(2)在直角 ABC 中 Z C=90 Z A=45

2、 AB=3，则 AC=例2 ( 1)等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是 ；(2)等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为例3】(1)直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为 ；(2) 直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为(3) 等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是 例4】(1 )若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是(2)如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为 2 /14例6】如图，已知：R t ABC中，Z ACB是直角，例5】 如图，在直角 ABC中，Z ACB=90，ZADC的周9/14例7】已知已直角三角形的

3、周长为4+26，斜边上的中线为2 ，求这个直角三角形的面积例8】如图，直线MN是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30。的方向上有 栋别墅C，朝正北方向走了 400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）例9 如图，公路MN和公里PQ在点P处交汇，且Z QPN=30，点A处有一所中学，AP=160米，假 设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN上沿PN方向行驶时，学校是 否会受到噪音的影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是

4、多少秒？例10】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC进行翻折，点D落在E处，求出重叠部分 AFC的面积亠例11】如图，AB两个村子在河边CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米 BD =3千米CD =3千米现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向 A、B两村送水，也可以将水送 一村再转送另一村铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0. 01万元）模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用知识精讲2、逆定理:(1 )如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利

5、用逆定理 来判断三角形是否为直角三角形(2)在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较 小两边的平方和例12】下列命题中是假命题的是()A 在厶ABC中，若Z B=Z C-ZA，则厶ABC是直角三角形B 在AABC中，若a2 (be) (be)，则 ABC是直角三角形C在ZXABC中，若Z B : ZC : ZA=3:4:5，则厶ABC是直角三角形DZXABC中，若a:b:c 5:4:3 则厶ABC是直角三角形例13 ( 1)将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是三角形；(2)若 ABC的三边A、B、C满足(ab) (a2 b2 c2)

6、0则 ABC是三角形例14】1) 一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米？2)如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是 米例15】ABC的三边分别为A、B、C，且满足a2 b2 c2 50 6a 8b 10c，判断 ABC的形状例16】如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA丄AB于点A，CB丄AB于点B，已 知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E(1 )若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处？(2)若使得C、D两村到E站的距离和最小，E站建在离A站多少千米处？AE

7、B例17】如图、在四边形ABCD中，AB=BC=2 ，CD=3 DA=1 且Z B=90 求DAB的度数例18】 如图，已知在 ABC中，ZB=90，AB=BC，AD是BC边上的中线，EF是AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，求AE : BE的值模块三：两点间的距离公式知识精讲3、距离公式：如果平面内有两点A (xi yi ) 、B (X2，y2)，则A、B两点间的距离为：(xi X2) 2 ( yi y2)2 (1 )当A (xi yi) 、B(X2，)两点同在x轴上或平行于x轴的直线上，则有yi y2 AB= | xi X21 :2)当 A (xi yi)、B(X2，)两点同在y

8、轴上或平衔轴的直线上则有 xi X2 AB=| yi y2|例题解析例 19已知点 A (2，2)、B ( 5，1) (1)求A、B两点间的距离； (2)在x轴上找一点C，使AC=BC 例20(1)已知A ( x，3)、B ( 3，x+1 )之间的距离为5，则x的值是2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，3）的距离为5，则点P的坐标为例21】（1）以点A （1，2）、B （2，1），C （4为顶点的三角形是 _ ；（2）已知点A（0,3）、B（01），ZABC是等边三角形，则点C的坐标是 例22】已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P 使PA=PB

9、例23】已知直角坐标平面内的点P （4，m ），且点P到点A （2，3）、B （1，2）的距离相等，求点P的坐标例24已知点A（2,3）B（4,5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由例25】已知直角坐标平面内的点人（4，3）、b（6,3），在x轴上求一点C牡 ABC是等腰三角形随吐检测例26】 已知点A （4，0）、B （2，1），点C的坐标是（x，2-x），若厶ABC是等腰三角形，求C 坐标习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12 （单位：cm ）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为

10、（）D 810 12习题6如图在厶ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5 AC=3 AD=2 求： ABC的面积习题2】已知点A (2, 4) B (1，3) C (3，2)，那么 ABC的形状是()A 等腰三角形C等腰直角三角形B直角三角形D以上都不是13 /习题3】(1)如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为 ；(2)如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为习题4】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使得点D落在BC上的点F处，AB=8，AD=10 求EC的习题 5如I图在四边形 ABCD 中、ABBC AB=9 、BC=12 CD=15，DA=15 2 求四边形 ABCD 的面积

11、习题7】若A、B、C是三角形的边长且矢于x的方程x2 2(a b)x c2 2ab 0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状习题8】如图，在一条公路上有P、Q两个车站，相距27km，A、B是两个村庄，AP丄PQ，BQ丄PQ，且AP=15km，BQ=24km，现在要在公路上建立一个商场M使得A、B两个村庄到商场M的距离相等，求PM的长习题9】已知点A2,8B1,4C在y轴上，使ABC为直角直角三角形，求满足条件的点C的坐标BPMQ习题10】 如图在ABC中ACB 90，AC BC，M是ABC内一点且AM 3，BM 1，CM 2,求BMC的度数习题11】 若在 ABC中，AB=c，AC=b B

12、C=a，Z ACB=90，则a2 b2 c2试用两种方法证明作业1】下列命题中，正确的有()个(1 )腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等(2) 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等(3) 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A0B - 1C - 2D - 318/作业2如图，图中的字母、数代表正方形的面积则A=222作业3】 如图，Rt ABC中，斜边AB 1，则AB2 BC2 AC2的值是作业4】已知点A3，5，点B的横坐标为3，且A、B两点之间的距离为10，那么点B的坐标是作业5现将直角三角形ABC的直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，C与E重合，且

13、AC=3 BC=4，则 CD 等于 _ .作业6如果ABC的周长为12，而AB BC 2AC，AB BC 2，那么ABC的形状是作业7已知等腰直角三角形ABC斜边BC的长为2， DBC为等边三角形，那么A、D两点的距离为作业8知：如图，已知在Rt ABC中，B 90，C3O0，将ABC绕点A逆时针旋转30后得到APQ 若AB 1，则两个三角形重叠部分的面积为作业9】 已知：如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD都为5厘米，动点 P从A出发ABD ），速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（DCBA）到A，速度为28厘米/秒，5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时APQ的形状.作业10】阅读下列题目的解题过程：ABC的二功，且满足a2c2 b2c2 a4b4，试判断ABC的形状已知a b、c解：Q a2c2 b2c24422222a4 b4 (A)、 c a b a b22ab( B)c2 a2 b2(C)，ABC是直角三角形问：（1 ）