概率统计解题技巧

1、第八讲 概率统计的解题技巧【命题趋向】 概率统计命题特点：1.在近五年高考中 ,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看 ,从 12 分提高到 17分;由其是实施新课标考试的省份 , 增加到两道客观题和一道解答题 值得一提的是此累试题体现了 考试中心提出的 “突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能” 的指 导思想 ,在命题时 ,提高了分值 ,提高了难度 ,并设置了灵活的题目情境 ,如测试成绩、串联并联 系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础 ,注

2、重应用 .2.就考查内容而言 ,用概率定义 (除法 )或基本事件求事件 (加法、减法、乘法 )概率，常以小题 形式出现；随机变量取值取每一个值的概率列分布列求期望方差常以大题形式出 现概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关【考点透视】 1了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义2了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概 率.3了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的 概率乘法公式计算一些事件的概率4会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率5 掌握离散型随机变量的分布列 .6

3、掌握离散型随机变量的期望与方差 . 7掌握抽样方法与总体分布的估计 .8掌握正态分布与线性回归 .【例题解析】考点 1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识 :(1) 等可能性事件 (古典概型 )的概率： P(A)card(A) m;card(I) n等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数 n; 设所求事件 A ，并计算事件 A 包含的基本事件的个数 m; 依公式 P(A) m求值 ;n 答，即给问题一个明确的答复 .(2) 互斥事件有一个发生的概率： P(AB) P(A) P(B); 特例：对立事件的概率： P(A)P(A)P(A A)1.(

4、3) 相互独立事件同时发生的概率： P(A B)P(A)P(B);特例：独立重复试验的概率： Pn(k)Cnkpk(1 p)n k.其中 P 为事件 A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式 (1-P)+P n 展开的第 k+1 项.(4) 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：等可能事件第一步，确定事件性质 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种 . 第二步，判断事件的运算 和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件 . 第三步，运用公式 等可能事件 : P(A) n求解互斥事件： P(A B) P(A)

5、P(B)独立事件： P(A B) P(A) P(B)n次独立重复试验: Pn(k) Cnkpk(1 p)n k第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复 .例 1(2007 年上海卷文 )在五个数字 1，2，3，4，5中， 若随机取出三个数字， 则剩下两个数字都 是奇数的概率是 (结果用数值表示) 考查目的 本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.1解答过程 0.3提示:P C313 3 .C35 5 4 102例 2(2007 年全国 II 卷文 ) 一个总体含有 100 个个体， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取 一个容量为 5 的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 考查目的 本

6、题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法 .用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间 497.5g501.5 的意义和概率的求法 . 解答过程 1 .提示 :P 5 1 .20 100 20例 3 (2007 年全国 I卷文)从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位： g)：492496 494 495498497 501 502504 496497503 506 508507492 496 500501 499根据的原 理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g501.5g 之间的概率约 为考查目的 本题主要考

7、查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间 497.5g501.5 的意义和概率的求法 .解答过程 在 497.5g501.5 内的数共有 5 个，而总数是 20 个，所以有 5 1.20 4点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误 .例 4. (2006 年湖北卷)接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有 5人接种该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为 . (精确到 0.01)考查目的 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以 及推理和运算能力解答提示 至少有 3 人出现发热反应的概率为C53 0.803 0.202 C54

8、 0.804 0.20 C55 0.805 0.94.故填 0.94.例 5( 2006 年江苏卷)右图中有一个信号源和五个接收器.信号接收器与信号源在同一个串联线路中时， 就能接收到信号， 否 则就不能接收到信号 .若将图中左端的六个接线点随机地平均 分成三组， 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组， 再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是A） 4（B ） 1 （C） 4（D） 8考查目的 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推45 36 15 15理和运算能力 .222 解答提示 由题意， 左端的六个接线点随机地

9、平均分成三组有C6C4C2 15种分法， 同理右端A33 222的六个接线点也随机地平均分成三组有C62C42C22 15种分法；要五个接收器能同时接收到信A33 号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中， 即五个接收器的一个全排列， 再将排列 后的第一个元素与信号源左端连接， 最后一个元素与信号源右端连接， 所以符合条件的连接 方式共有 A55 120 种，所求的概率是 P 120 8 ，所以选 D.5 225 15点评： 本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题， 并进一步求得概率问题， 其 中隐含着平均分组问题 .例 6 (2007 年全国 II 卷文 ) 从某批产品中，有放

10、回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ：“取出的 2 件产 品中至多有 1 件是二等品”的概率 P(A) 0.96(1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ； (2)若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2件，求事件 B ：“取出的 2 件产品中至少有一件 二等品”的概率 P(B) 考查目的 本小题主要考查 相互独立事件、互斥事件等的概率计算， 运用数学知识解决问题 的能力，以及推理与运算能力解答过程 (1)记 A0表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，A1表示事件“取出的 2件产品中恰有 1 件二等品”则 A0，A1 互斥，且 A A0 A1，故P(A) P

11、(A0 A1) P(A0) P(A1) (1 p)2 C12p(1 p) 1 p2.2于是 0.96 1 p 解得 p1 0.2， p2 0.2 (舍去)2）记 B0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，则 B B0 2若该批产品共 100 件，由（ 1）知其中二等品有 100 0.2 20件，故 P（B ） C820 316 C100 495P(B) P(B0) 1 P(B0) 1 341965 1479951 本，例 7（2006 年 上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 共 8 本将它们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率 是 （结果用分数

12、表示） 考查目的 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推 理和运算能力 .解答提示 从两部不同的长篇小说 8本书的排列方法有 A 88种，左边 4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有 A44A44A22种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是P A44A44A22 1 种.所以 ,填 1 .PA8835 35例 8（ 2006 年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球， 白球；乙袋装有 2 个红球， n 个白球 .由甲，乙两袋中各任取 （）若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率； （ ）若取到的 率为 3 ，

13、求 n.4甲袋装有2 个球 .4 个球中至少有 2 个红球的概2 个红球， 2 个考查目的 本题主要考查排列组合、 概率等基本知识， 同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.标准解答 （I）记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A.22P（A） C22 C22 1 1P（A） 2 2C4 C516 10 601个红球”为事件 B ，“取到的 4个球只有 1 个红球”为事件 B1 ，“取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .（ II ）记“取到的 4 个球至多有由题意，得 P(B) 1 3 1.2n244P(B) C21 C21 Cn2 C22 C21 Cn1P(B1)C42 Cn22 C42 C

14、n2 2 3(n 2)(n 1)22P(B2 ) C222 C2n2n(n 1) ;2 C42 Cn2 2 6(n 2)(n 1)n(n 1)2所以 , P(B) P(B1) P(B2)2n2n(n 1) 1，3(n 2)(n 1) 6(n 2)(n 1) 4化简，得 7n2 11n 6 0, 解得 n 2 ，或 n 3 (舍去)，7故 n 2.例 9. (2007 年全国 I 卷文 ) 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的 概率是 0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 25

15、0 元()求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率；()求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650元的概率考查目的 本小题主要考查 相互独立事件、独立重复试验等的概率计算， 运用数学知识解决问题的能力， 以及推理与运算能力解答过程 ()记 A表示事件：“ 3位顾客中至少 1位采用一次性付款” ，则 A表示事件：“ 3位顾客中无 人采用一次性付款” 2P(A) (1 0.6)2 0.064 ， P(A) 1 P(A) 1 0.064 0.936 ()记 B 表示事件：“ 3 位顾客每人购买 1件该商品，商场获得利润不超过 650 元”B0 表示事件：“

16、购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款” B1表示事件：“购买该商品的 3位顾客中恰有 1位采用分期付款” 则 B B0 B1 3 1 2P(B0) 0.63 0.216， P(B1) C31 0.62 0.4 0.432 P(B) P(B0 B1)P(B0 ) P(B1)0.216 0.4320.648 例 10 ( 2006 年北京卷)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过 .假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c ，且三门课程考试是否及格相互 之

17、间没有影响 .()分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； ()试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)考查目的 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力 .标准解答 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，则 P(A)=a，P(B) b，P(C)=c.( ) 应聘者用方案一考试通过的概率p1=P(ABC)+P( ABC)+P(ABC)+P(ABC)=a b (1-c)+(1-a) bc+a(1-b)c+ab c =ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率111

18、11p2=1P(AB)+1 P(B C)+1P(AC)=1 (ab+bc+ca)=1(ab+bc+ca)3 333312( ) p1- p2= ab+bc+ca-2abc- (ab+bc+ca)= ( ab+bc+ca-3abc)33 233(abc)2 3abc = 23 (abc) (1 abc) 0.p1p2例 11 (2007 年陕西卷文 )某项选拔共有四轮考核， 每轮设有一个问题， 能正确回答问题者进入下一轮考核， 否则即被 淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4、3、2、 1，且各5555 轮问题能否正确回答互不影响 .()求该选手进入第四轮才被淘汰的概率

19、 ;()求该选手至多进入第三轮考核的概率 . (注：本小题结果可用分数表示) 考查目的 本小题主要考查 相互独立事件、独立重复试验的概率计算， 运用数学知识解决问 题的能力，以及推理与运算能力解答过程 ()记“该选手能正确回答第 i轮的问题”的事件为 Ai(i 1，2，3，4) ，则 P(A1) 4， 15 321P(A2) ， P(A3) ， P(A4) ，555 该选手进入第四轮才被淘汰的概率 4 3 2 4 96 P4 P( A1 A2 A3 A4) P(A1)P(A2)P(A3)P(P4)4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 5 5 625 ()该选手至多进入第三轮考核的概率P3

20、 P(A1 A1A2 A1 A2 A3) P(A1) P(A1)P(A2) P(A1)P(A2)P(A3) 1 4 2 4 3 3 101 5 5 5 5 5 5 125 考点 2 离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念 随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母、等 表示 .随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 . 随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量 .2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1，x2 ，xi ， 取每一个值

21、x(i i 1， 2，)的概率 P(xi ) = Pi ，则称下表 .x1x2xiPP1P2Pi为随机变量 的概率分布，简称 的分布列 .由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）Pi 0，i 1，2，;（2） P1 P2 =1.常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为 0，1，2， n，并且 Pk P（ k） Cnkpkqn k，其中 0 k n， q 1 p ，随机变量 的分布列如下：01knP00nCn0p0qn1 1 n 1C1np1qn 1k k n k Cnk pk qn

22、 kn n 0Cnn p nq0称这样随机变量 服从二项分布，记作 B（n,p），其中 n、 p为参数，并记：Cnkpkqnk b（k;n,p） .（2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离 散型随机变量，“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生 .随机变量 的概率分布为：123kPpqp2 qpk1 qp例 12 （ 2007 年四川卷理） 厂家在产品出厂前 ,需对产品做检验 ,厂家将一批产品发给商家时 ,商家按合同规定也需 随机抽取一定数量的产品做检验 ,以决定是否接收这批产品 .（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8

23、,从中任意取出 4 件进行检验 ,求至少有1 件是合格的概率；（）若厂家发给商家 20 件产品中 ,其中有 3 件不合格 ,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验 ,只有 2 件都合格时才接收这批产品 .否则拒收 ,求出该商家检验出不合格产品 数 的分布列及期望 E ,并求出该商家拒收这批产品的概率.考查目的 本题考查相互独立事件、 互斥事件等的概率计算， 考察随机事件的分布列， 数学期 望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力 .解答过程 （）记“厂家任取 4件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A用对立事件 A 来算，有 P A 1 P A 1 0.24 0.9984P0

24、P） 可能的取值为 0,1,2 012P136513190190190C2C17C2C2013619011C3C17C2C20190P 2 CC32C203190136513 3E 0 1 2 190190190 10记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率P B 1 1361902795所以商家拒收这批产品的概率为 27 95例 13 （ 2007 年陕西卷理）某项选拔共有三轮考核， 每轮设有一个问题， 能正确回答问题者进入下一轮考核， 否则即被 淘汰. 已知某选手能正确回答第一 、二、三轮的问题的概率分别为 4 、3 、2 ,且各轮问题能否 555 正确回答

25、互不影响 .（）求该选手被淘汰的概率 ;（）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 . （注：本小题结果可用分数表示）考查目的 本题考查相互独立事件、 互斥事件等的概率计算， 考察随机事件的分布列， 数学期 望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力 .解答过程 解法一： （）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为Ai（i 1，2，3） ，则432P(A1) ， P(A2) ， P(A3)，5 5 5该选手被淘汰的概率P P(A1 A1A2 A2A2 A3) P(A1) P(A1)P(A2) P(A1)P(A2)P(A3)1 4 2 4 3 3 1015

26、5 5 5 5 5 125） 的可能值为 1，2，3 ， P（ 1） P（A1） 1，P( 2) P(A1A2) P(A1)P(A2) 4 2 8 ，5 5 254 3 12P( 3) P(A1A2) P(A1)P(A2) 45 53 1225 E 1 51 2 285 3 1225的分布列为123P1812525255725解法二：（）记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai（i 1，2，3） ，则 P（A1） 4 ，i 1 532 P(A2)， P(A3)554 3 2 101 该选手被淘汰的概率 P 1 P(A1A2A3) 1 P(A1)P(A2)P(A3) 1 4 3 2

27、101 5 5 5 125）同解法 考点 3 离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1) 离散型随机变量的数学期望： E x1 p1 x2 p2 ；期望反映随机变量取值的平均水平离散型随机变量的方差： D(x1E )2 p1(x2E)2 p2(xnE)2 pn；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度 .基本性质： E(a b) aE b； D(a b) a2D .(4)若 B(n， p)，则 E np ; D =npq(这里 q=1-p) ;如果随机变量 服从几何分布， P( k) g(k, p)，则 E1 ，D = q 其中 q=1-p.pp2例 14甲、乙两名工人

28、加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 ，和的分布列如下：012012P613P532101010101010则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪 ：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是 要看出次品数的波动情况，即方差值的大小 .解答过程： 工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为：613E 0 1 2 0.7 ，10 10 102 6 2 1 2 3 ；D (0 0.7)2(1 0.7)2(2 0.7)20.891；10 10 10工人乙生产出次品数 的期望和方差分别为：532252322E 0513220.7，D(00.7)25

29、(10.7)23(20.7)220.664101010101010由 E=E知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 D D ，可见乙的技术比 较稳定 .小结： 期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散 的程度 .例15.(2007年全国 I 理) 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200元；分 2 期或 3期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润)求事件 A ：“购买该商

30、品的 3位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A)；)求 的分布列及期望 E 考查目的 本小题主要考查 概率和 离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力 .解答过程 ()由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” 知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”P(A) (1 0.4)2 0.216 ， P(A) 1 P(A) 1 0.216 0.784 () 的可能取值为 200 元， 250 元， 300 元P( 200) P( 1) 0.4 ，P( 250) P( 2) P( 3) 0.2

31、 0.2 0.4 ，P( 300) 1 P( 200) P( 250) 1 0.4 0.4 0.2 的分布列为200250300P0.40.40.2E 200 0.4 250 0.4 300 0.2 240 (元)小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力 .例 16.某班有 48 名学生，在一次考试中统计出平均分为70 分，方差为 75 ，后来发现有 2 名同学的成绩有误，甲实得 80 分却记为 50 分，乙实得 70 分却记为 100 分，更正后平均分和 方差分别是A.70，

32、25 B.70，50 C.70， 1.04 D.65 ， 25解答过程： 易得 x没有改变， x=70，而 s2= 1 ( x12+x22+502+1002+x482) 48x 2 =75，482 1 2 2 2 2 2 2s = (x1 +x2 +80 +70 + +x48 ) 48x 48 = 1 (7548+48 x 212500+11300) 48x 2481200=75=7525=50.48答案：B考点 4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1简单随机抽样： 设一个总体的个数为 N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本， 且每 次抽取时各个个体被抽到的概率相等， 就称这样的抽样为简单

33、随机抽样 .常用抽签法和随机数表法.2系统抽样： 当总体中的个数较多时， 可将总体分成均衡的几个部分， 然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本， 这种抽样叫做系统抽样 (也称为机械抽样) .3分层抽样： 当已知总体由差异明显的几部分组成时， 常将总体分成几部分， 然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样 .总体分布的估计 由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确 .总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布 . 当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应

34、的频率表 示，几何表示就是相应的条形图 .当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布 . 总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无 限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线 .典型例题例 17.某工厂生产 A 、 B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3： 5.现用分层抽样方法抽出 一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= .解答过程： A 种型号的总体是 2 ，则样本容量 n=16 10 80.10 2例 18一个总体中有 100 个个体， 随机编号 0，1 ，2，99，依

35、编号顺序平均分成 10 个小组， 组号依次为 1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1组 随机抽取的号码为 m ，那么在第 k组中抽取的号码个位数字与 m k 的个位数字相同， 若 m 6， 则在第 7 组中抽取的号码是 解答过程： 第K 组的号码为 (k 1)10 ，(k 1)10 1，(k 1)10 9，当 m=6时，第 k 组抽取的号的个位数字为 m+k 的个位数字，所以第 7 组中抽取的号码的个位数字为 3 ，所以抽取号码为 63例 19 考查某校高三年级男生的身高，随机抽取 如下：40 名高三男生，实测身高数据（单位： cm）171163163

36、166166171169167169151165168174159167176157162161158168168160168165168170160168174156157164169180164163163167161作出频率分布表；画出频率分布直方图 思路启迪 ： 确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点 解答过程： 最低身高为 151，最高身高 180，其差为 180-151=29。确定组距为 3，组数为 10，列表如下：频率分布直方图如下：小结： 合理、 科学地确定组距和组数， 才能准确地制表及绘图， 这是用样本的频率分布估计总 体分布的基本功 估计总体分布的

37、基本功。 考点 5 正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念（ x ）2如果连续型随机变量 的概率密度函数为 f （x） 1 e 2 2 ，x R 其中 、 为常数，2并且 0，则称 服从正态分布，记为 N （ ， 2）.（2）期望 E =，方差 D2.（3）正态分布的性质正态曲线具有下列性质 : 曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x对称 . 曲线在 x=时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低. 曲线的对称轴位置由 确定；曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖” ；反之越“高瘦”.（4）标准正态分布当 =0， =1 时 服从标准的正态分布，记作 N

38、（0，1）（5）两个重要的公式 （ x） 1 （x）, P（a b） （b） （a） .（6）N（ , 2）与 N（0,1）二者联系. 若 N（ , 2），则 N（0,1） ;若 N（ , 2） ，则P（ab） （b ） （a ） .2.线性回归 简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法 . 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型： 确定性的函数关系和不确定的函数关系 .不确 定性的两个变量之间往往仍有规律可循 .回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统 计方法 .它可以提供变量之间相关关系的经验公式 .具体说来，对 n个样本数据（ x1,y1），（ x2, y2

39、 ），（ xn, yn ），其回归直线方程，或经验公n式为： y? bx a.其中i1xiyi nxy，其中 x, y分别为| xi |、 | yi |的平均数 .b n ,a y b x,xi n（x）2i1例 20.如果随机变量 N（，2），且 E=3，D=1，则 P（11等于 （ ） A.2（ 1）1B.（ 4） （2）C.（2） （4）D.（4）（ 2）解答过程： 对正态分布， =E=3，2=D=1，故 P（11）=（13） （1 3）=（ 2） （ 4）=（4） （2）.答案： B例 21. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在 d ，液体的温度 （单位：）是一个随

40、机变量，且N（ d，0.52）.（1）若 d=90，则89 的概率为；（2）若要保持液体的温度至少为80 的概率不低于 0.99，则 d 至少是?（其中若N（0，1），则 （2）=P（2）=0.9772，（2.327）=P（2.327）=0.01）.思路启迪 ：（ 1）要求 P（89）=F（89），N（d，0.5）不是标准正态分布，而给出的是（2），（ 2.327），故需转化为标准正态分布的数值 .（ 2）转化为标准正态分布下的数值求概率p，再利用 p 0.99，解 d.解答过程：（1）P（89）=F（89）=（ 89 90 ）=（ 2）=1 （ 2）=10.9772=0.0228.0.5（2

41、）由已知 d 满足 0.99 P（ 80）， 即 1P（80）10.01， P（ 80） 0.01.（80 d ） 0.01= （ 2.327）.0.5 80 d 2.327.0.5 d 81.1635.故 d 至少为 81.1635.小结：(1)若 N(0，1)，则=N(0，1).( 2)标准正态分布的密度函数 f( x)是偶函数， x0 时， f( x)为减函数 .例 22设 X N( , 2 )，且总体密度曲线的函数表达式为： f (x) 1 e 4 ，x R.f (x) 2 e(1)则 ，是；(2)则 P(| x 1| 2)及 P(1 2 x 1 2 2)的值是 .思路启迪 ： 根据表

42、示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出 和.利用一般正态总体N( , 2) 与标准正态总体 N(0，1)概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解 决.2 x2 2x 1 (x 1) 解答过程： 由于 f(x) 1 e 4 1 e 2( 2) ，根据一般正态分布的函数表达形式，2 2 2可知=1，2，故 XN(1，2).(2)P(|x 1| 2) P(1 2 x 1 2)F(1 2) F(1 2) ( 2 1) ( 2 1)22(1) ( 1)2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826.又 P(1 2 x 1 2 2) F(1 2 2) F(1 2)( 2 2 1) ( 2

43、 1) (2) ( 1)22(2) (1) 1 0.9772 0.8413 1 0.8185小结： 通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联 .例 23 公共汽车门的高度是按照确保 99% 以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如 果某地成年男子的身高 N(173，7)(单位： cm)，则车门应设计的高度是(精确到1cm)？思路启迪 ：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为xcm，使其总体在不低于 x 的概率小于 1%.解答过程： 设该地区公共汽车车门的最低高度应设为 xcm，由题意，需使 P( x)179.16，即 77 公共汽车门的高度至少应设计为 180cm，可确保

44、 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞 . 【专题训练与高考预测】.选择题1.下面关于离散型随机变量的期望与方差的结论错误的是( )A.期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值集中与离散的程度 B.期望与方差都是一个数值，它们不随试验的结果而变化 C.方差是一个非负数D.期望是区间 0，1 上的一个数 .2.要了解一批产品的质量，从中抽取 200 个产品进行检测，则这A. 总体 B.总体的一个样本3.已知 的分布列为：设 3 2则 D 的值为A. 5 B. 434.设 B(n,p) ，C.个体 D. 样本容量C. 23E 12 ， D 4 ，则 n,p 的值分别为D. 3200

45、 个产品的质量是 ( )101P111236A.18 ， 13B. 36 ， 13C. 2，36 D. 18， 2335.已知随机变量服从二项分布， B(6,1) ，则 P( 2)等于3()A. 3B.4C. 13D. 80162432432436.设随机变量的分布列为P( k)k ,其中 k=1,2,3,4,5,则 P(115 25) 等于 ( )2A. 1B.1C.1 D. 152967.设 15000件产品中有1000 件废品 ,从中抽取 150 件进行检查,则查得废品数的数学期望为( )A.15B.10C.5D.都不对)8. 某市政府在人大会上 ,要从农业、工业、教育系统的代表中抽查对

46、政府工作报告的意见.为了更具有代表性 ,抽取应采用( )A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法D. 分层抽样9. 一台 X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为 0.8000,有四台这种型号的自动机床各 自独立工作 ,则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是( )A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.972810. 某校高三年级 195名学生已编号为 1，2，3， 195，为了解高三学生的饮食情况，要按 1： 5 的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取3 名学生的编号可能是( )A.3 ，24，33B.31，47，147C.133，

47、153，193D.102，132，15911. 同时抛掷 4枚均匀硬币 80次,设4枚硬币正好出现 2枚正面向上 ,2枚反面向上的次数为 ,则 的数学期望是 ( ) A.20 B.25 C.30 D.4012.已知 N(0, 2),且 p( 2 0) 0.4,则P( 2)等于 ( )A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.413. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、 120个、 180个、 150 个销售点 .公司为了调查产品销售的情况， 需从这 600个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为 ；在丙地区中有 20个特大型销售点，要从中抽取7 个调查其销售收入和

48、售后服务情况，记这项调查为 .则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法C.系统抽样法，分层抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法14. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50 名学生这一天平均( )A.0.6 h每人的课外阅读时间为.填空题15. 某工厂规定 :工人只要生产出一件甲级产品发奖金 50 元,生产出一件乙级产品发奖金 30 元,若 生产出一件次品则扣奖金 20 元,某工人生产甲级品的概率为 0.6,乙级品的概率为 0.3,次品的概率 为 0.1,则此人生产一件产品的平均奖金为元 .16. 同时抛掷两枚相同 的均匀硬币 ,随机变量1 表示结果中有正面向上 , 0 表示结果中没有正面向上 ,则 E.17. 甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位： t/hm2）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2