欠驱动完整系统解耦算法的滑模控制

1、5.9 基于欠驱动系统解耦算法的滑模控制桥式吊车、 Pendulum Robot 、 Acrobat Robot 、倒立摆系统和 VTOL 飞行器都是典 型的欠驱动系统。下面介绍一种欠驱动系统解耦算法，可解决欠驱动系统控制输入的 解耦问题，从而可以设计滑模控制算法。5.9.1 欠驱动系统解耦算法对于如下耦合欠驱动系统q1 p1p1 f1 q, p g1 q2 u（5.70）q2 p2p2 f2 q, p g2 q2 u其中 q q1 q2 ， p p1 p2 。针对如式（ 5.70 ）所示的耦合欠驱动系统， R.O.Saber 提出一种通用的解耦算法，该 算法很好地解决了结构如式（ 5.70

2、）的欠驱动系统耦合问题 12,13 。 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解耦算法如下 12 ：z1q2 g1 s0 g2 sz2 p1gg1 qq1 2 p2g2 q25.71 )1 gg1 p2 gg1 f2 g2g25.72 )2 f2 q, p g2 q2 u对解耦算法分析如下：由于z1 z2 ，解耦算法的实质为在z2 中消除 u ，即g1g11p2g2g2z2 p1f1 g1u g1g1gg1 p2g1 f2g22g2g2=f1p21 f2 g2ug25.9.2 倒立摆动力学系统的解耦对于典型一级倒立摆， 小车质量为 M ，摆的质量为 m，小车位置为 x ，摆的角度为 。 l 为摆长 L 的一半

3、， u为控制输入。在平衡点附近，有 sin ，cos 1 ，线性化后的单 级倒立摆方程为 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。m(m M )gl(M m)I Mml 222m gl(M(M m)I Mml 2 (Mml2 u d tm)I Mml 2I ml 22 u d tm)I Mml 2(5.73)1其中 Iml2 为摆杆围绕其重心的转动惯量，3d t 为控制扰动。控制的目标是通过给小车底座施加一个力u ，使小车停留在零位置， 并使杆不倒下， 即闭环控制的平衡点为0，0 ， xx。为了采用滑模控制， 需要对式（ 5.73）进行解耦。 设 q1 ,q2 x，则 p1, p2取f1 q,pm(m M )g

4、l(M m)I Mml2 q1mlg1 q2 (M m)I Mml 2f2 q, p22 m gl(M m)I Mml 2 q1g2 q2 I ml 2 ，2 2 (M m)I Mml 2ml。I ml 2ml2g1 q2(M m)I Mml 22g2 q2I ml22(M m)I Mml 2采用标准解耦算法式（ 5.71 ），则解耦算法为q2 g1 smlz1 q1 0 ds q12 q21 1 0 g2 s 1 I ml 2 2g1 q2mlz2 p1p2 p12 p2( 5.74 )g2 q2I ml21 q22 p2则倒立摆平衡点0, x 0，0, x 0 等价于 z1 0, z2 0

5、， 1 0,2 0 。倒立摆模型式（5.73 ）最后的解耦结果为m(m M)gl2m2gl2(M m)I Mml2ml 22I ml2 (M m)I Mml 2q15.75)22m gl(M m)II ml2Mml2 q1 (M m)I Mml2 u+d t取 T1m(m M )gl2(M m)I Mml 2I ml2(M m)I Mmlm2gl2ml ， T2 22I ml2 (M m)I Mml 22则上式可写为(Mm2gl2m)I2Mml 2z1 z25.76 )122 T2q1 T3 u+d t变为由于 q1mlz1 I mml l2q2 z1mlI ml 21 z1 T 4 1，其中

6、 T4mlI ml 2，则上式2T2z1 T2T4 15.77 )T3 u+d t5.9.3 滑模控制器的设计针对欠驱动系统式（ 5.77）设计滑模控制律，取1 2, 2 z1 z2 1 ，设计滑1 C 2模面为(5.78)其中 C c1 c2 c3 。则1 C2 T2z1 T2T4 1 T3 u+d t C2 设计控制律为1T341C2 hsgn(5.79)其中 h d t 。122取 Lyapunov 函数为则hsgn d t 0由上式可知，存在滑动模态，取到达时间为ts，当 t ts时，有1 C2 0 ，即 1 C 2 。5.9.4 滑模参数 C 的设计当 t ts 时，有z22 T1z

7、1 T1T4 1 =A1 1+A22= A1C +A2 2(5.80)20 1 0其中 A1 0 0 1 ， A2 T1 0 T1T4 。0 0 0滑 模 参 数 C 的 设 计 原 则 为 使 A1C A2 为 Hurwitz ， 以 保 证 2 0 ， 从 而1C20。由 12, 2z1z21 可知， 当 t时，有 z10，z20 ，2 0， 2 0 。，即控制目标为0，0， x 0 和 x 0 。A1C +A2 0 0 1 c10T1c1 c2 c3 001 c2 c3 + T1 0 00 0 0 1 00 c1 c20T1T400T1T4c3则可通过下式设计 A1C A2 的极点sIA

8、1C +A2 =sT1c11 s c20T1T4s c33由 s k0得 s3 3ks2 3k2s k3 0，k 0 ，可得满足极点为 k的如下关系c3=3kc2T1T4 T1=3k2T1T4 c1 +T1c3 =k 3而得到使 A1C A2 为Hurwitz的滑模参数 C 为(5.81)5.9.5 仿真实例被控对象取式 (5.73)，物理参数取 M 1，m 0.10 ，L=0.50，初始条件取 (0) 10 ，(0) 0， x(0) 0.20 ， x(0) 0，干扰取 d t =sin t 。仿真中，采用控制律式( 5.79)，滑模参数 C 按式( 5.81)设计，取 k 5， h 1.5

9、，采用饱和函数方法，取边界层厚度 为 0.01，仿真结果如图 5.23至图 5.25所示。 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。elgnth0.20.10-0.1-0.20510 time/(s)1520deepselgn0.80.60.40.20-0.2dth0510 time/(s)1520图 5.23 倒立摆的角度和角速度noitisoptrax0.30.20.10-0.10510 time/(s)1520deepstra0.20-0.2-0.4-0.6dx510 time/(s)150200 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 time(s)图5.24 小车的位置和速度210-1tu

10、 -2itnup -2iltro -3 tn co -4-5-6-7-8图 5.25 控制输入信号仿真程序：(1) Simulink 主程序： chap5_11sim.mdl2) 控制器 S 函数程序： chap5_11ctrl.mfunction sys,x0,str,ts=s_function(t,x,u,flag) switch flag,case 0,sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes;case 3,sys=mdlOutputs(t,x,u);case 1, 2, 4, 9 sys = ;otherwise function sys,x0,str,ts=m

11、dlInitializeSizes sizes = simsizes;error(endUnhandled flag =,num2str(flag);sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 1; sizes.NumInputs = 4; sizes.DirFeedthrough = 1; sizes.NumSampleTimes = 1; sys=simsizes(sizes); x0= ; str=;ts=0 0;function sys=mdlOutputs(t,x,u) g=9.8;M=1.0;m=0.1;L=0.5; I=1/12*m*L

12、2;l=1/2*L;T4=-m*l/(I+m*l2);T2=-m2*g*l2/(m+M)*I+M*m*l2;T3=(I+m*l2)/(m+M)*I+M*m*l2;T1=m*(M+m)*g*l/(M+m)*I+M*m*l2-T4*T2;th=u(1);dth=u(2);x=u(3);dx=u(4);q1=th;q2=x; p1=dth;p2=dx;z1=q1+m*l/(I+m*l2)*q2; z2=p1+m*l/(I+m*l2)*p2;kesi1=q2;kesi2=p2;miu1=kesi2; miu2=z1 z2 kesi1;%; k=5;c3=-3*k; c2=-(3*k2+T1)/(T1*

13、T4); c1=-(k3-T1*c3)/(T1*T4);C=c1 c2 c3; % sigma=miu1-C*miu2;dmiu2=z2;T1*z1+T1*T4*kesi1;kesi2;h=1.5;fai=0.01;if abs(sigma)=fai sat=sigma/fai;else sat=sign(sigma);end ut=1/T3*(-T2*z1-T2*T4*kesi1+C*dmiu2-h*sat);sys(1)=ut;(3) 被控对象 S 函数程序： chap5_11plant.m function sys,x0,str,ts = spacemodel(t,x,u,flag) s

14、witch flag, case 0,sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes;case 1, sys=mdlDerivatives(t,x,u);case 3, sys=mdlOutputs(t,x,u);case 2,4,9 sys=;otherwiseerror(Unhandled flag =,num2str(flag);endfunction sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes sizes = simsizes;sizes.NumContStates = 4; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumO

15、utputs = 4; sizes.NumInputs = 1; sizes.DirFeedthrough = 0; sizes.NumSampleTimes = 1; sys = simsizes(sizes); x0 = -10/57.3,0,0.20,0; %x0 = 0.01,0,0.020,0; str = ;ts = 0 0;function sys=mdlDerivatives(t,x,u) %Single Link Inverted Pendulum Parameters g=9.8;M=1.0;m=0.1;L=0.5;I=1/12*m*L2; l=1/2*L; t1=m*(M

16、+m)*g*l/(M+m)*I+M*m*l2; t2=-m2*g*l2/(m+M)*I+M*m*l2; t3=-m*l/(M+m)*I+M*m*l2; t4=(I+m*l2)/(m+M)*I+M*m*l2;ut=u(1); sys(1)=x(2);%ddth%ddxsys(2)=t1*x(1)+t3*(ut+sin(t); sys(3)=x(4);sys(4)=t2*x(1)+t4*(ut+sin(t); function sys=mdlOutputs(t,x,u) sys(1)=x(1);%thsys(2)=x(2);sys(3)=x(3);%xsys(4)=x(4);( 4) 作图程序：

17、chap5_11plot.m close all ;figure(1); subplot(211);plot(t,x(:,1), r , linewidth ,2););ylabel( angle );legend( th );xlabel( time/(s)grid on; subplot(212);plot(t,x(:,2),r , linewidth,2);legend( dth grid on;);xlabel( time/(s);ylabel(angle speed); 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。figure(2); subplot(211);plot(t,x(:,3),legend(

18、xr);xlabel(, linewidthtime/(s),2););ylabel(cart position); 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。grid on; subplot(212); plot(t,x(:,4),r, linewidth,2);legend( dx grid on;);xlabel(time/(s);ylabel(cart speed); 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。figure(3);plot(t,ut(:,1),k, linewidth,2);xlabel( time(s) grid on;);ylabel( control input u);12 R.O.Saber. Input CouplingJ. 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。参考文献Global Configurati